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双星系统引力波爱因斯坦方程详解（修订版）续

已有 361 次阅读 2026-9-6 22:31 |系统分类:科研笔记

上节博文求出双星系统满足引力场方程的引力波解，由于速度项是小量，速度平方项可以忽略去

$记.Phi =1-.frac {4GMlnr} {r}-.frac {2GMln{r}_{0}-7GM/6} {r}=1+f(r),., ., 略去速度平方项即带有{(R.omega )}^{2}项$

$单个A星的度规写作$

${g}_{13}={g'}_{13}-.frac {R.omega xz} {{r}^{3}}.psi (xcos.theta +ysin.theta )$

${g}_{23}={g'}_{23}-.frac {R.omega ., yz} {{r}^{3}}.psi (xcos.theta +ysin.theta )$

${g}_{00}=-1+.frac {2GM} {r}$

${g}_{01}=R.omega cos.theta +R.omega [f(r)cos.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )(xcos.theta +ysin.theta )$

${g}_{02}=R.omega sin.theta +R.omega [fsin.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(y-Rcos.theta )(xcos.theta +ysin.theta )]$

${g}_{03}=0$

${g}_{11}={g'}_{11}-.frac {2xR.omega } {r}cos.theta -.frac {2xR.omega } {r}[fcos.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )(xcos.theta +ysin.theta )]$

${g}_{22}={g'}_{22}-.frac {2yR.omega } {r}sin.theta -.frac {2yR.omega } {r}[fsin.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(y-Rcos.theta )(xcos.theta +ysin.theta )$

${g}_{33}=1+f(r)+.frac {.psi } {{r}^{2}}{z}^{2}$ ${g}_{12}={g'}_{12}-.frac {R.omega } {r}[ycos.theta +xsin.theta ]-.frac {R.omega } {r}(ycos.theta +xsin.theta )f+.frac {R.omega .psi } {{r}^{3}}(xcos.theta +ysin.theta )$

$.times (2xy+Rysin.theta -Rxcos.theta )$

$注意，{g'}_{11}=1+f(r)+.frac {.psi } {{r}^{2}}{(x+Rsin.theta )}^{2}$ ,

${g'}_{12}=.frac {.psi } {{r}^{2}}(xy-xRcos.theta +yRsin.theta -{R}^{2}sin.theta cos.theta )$

${g'}_{13}=.frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )z$

${g'}_{23}=.frac {.psi } {{r}^{2}}(y-Rcos.theta )z$

因为是通过坐标变换过来的，当然是场方程的解，可以写成如下形式

${g}_{.mu .nu }={.eta }_{.mu .nu }+{h}_{.mu .nu }., ，.left | {{h}_{.mu .nu }} .right |<<1$

${h}_{.mu .nu }., 满足线性化的场方程。但细致观查却发现$ $在{h}_{.mu .nu }., 各项中有纯粹的坐标变换项，如{g}_{01}中的., R.omega cos.theta ，这些项是物理上$

不可接受的，必须剔除出这些项。可以证明剔除这些相互剩下的仍然满足场方程。不妨把各项应剔除的成分写成度规分量的形式 ${e}_{00}=0., ,., {e}_{11}=-.frac {2xR.omega } {r}cos.theta ,., {e}_{22}=.frac {2yR.omega } {r}sin.theta ,., ., ., {e}_{33}=0,., ., {e}_{01}=R.omega cos.theta ,., {e}_{02}=-R.omega sin.theta$

${e}_{12}=-.frac {R.omega } {r}(ycos.theta +xsin.theta ),., {e}_{13}=0={e}_{23}$ ${e}_{03}=0$

$即., {h}_{.mu .nu }={e}_{.mu .nu }+{.zeta }_{.mu .nu }., ，., 其中., {.zeta }_{.mu .nu }., 为剩下的成分$ ${e}_{.mu .nu }., 满足线性场方程$

通过直接的计算可以验证，

$因此{.zeta }_{.mu .nu }., 也满足线性化的场方程，由于{.zeta }_{.mu .nu }., 的绝对值远小于1，场方程非线性部分$

$剔除物理上不可接受的成分后., {h}_{.mu .nu }={.zeta }_{.mu .nu }., ，即物理上可接受的度规是剔除了{e}_{.mu .nu }$

后剩余的部分

当考虑B星时，由于B星的相位比A星超前π，所以A星里的正弦余弦同时变号就是B星的度规，不难得到合成度规，即两星共同形成的引力场里的度规

${g}^{c}_{00}=-1+.frac {4GM} {r}$

${g}^{c}_{11}=2f(r)+.frac {.psi } {{r}^{2}}({x}^{2}+{R}^{2}{sin}^{2}.theta )-.frac {4x.omega } {{r}^{3}}.psi {R}^{2}sin.theta (xcos.theta +ysin.theta )$

${g}^{c}_{22}=1+2f(r)+.frac {2.psi } {{r}^{2}}({y}^{2}+{R}^{2}{cos}^{2}.theta )+.frac {4y{R}^{2}} {{r}^{3}}.psi .omega cos.theta (xcos.theta +ysin.theta )$

${g}^{c}_{33}=1+2f(r)+.frac {2.psi {z}^{2}} {{r}^{2}}$

${g}^{c}_{10}=.frac {2{R}^{2}} {{r}^{2}}.psi .omega sin.theta (xcos.theta +ysin.theta )$

${g}^{c}_{02}=-.frac {2{R}^{2}} {{r}^{2}}.psi .omega cos.theta (xcos.theta +ysin.theta )$

${g}^{c}_{03}=0$

${g}^{c}_{21}=.frac {2.psi } {r}(xy-{R}^{2}{cos}^{2}.theta )+.frac {2{R}^{2}} {{r}^{3}}.psi .omega ({y}^{2}{sin}^{2}.theta -{x}^{2}{cos}^{2}.theta )$

${g}^{c}_{23}=0$

${g}^{c}_{13}=0$

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