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双星和绕中心运动的单星引力波辐射比较

已有 243 次阅读 2026-9-7 09:50 |系统分类:科研笔记

上期博文给出了双星和单星系统的度规，不难看出绕中心运动单星的辐射大于双星的辐射，这里作个详细的比较。

$对于引力波的研究联络分量{.Gamma }^{1}_{00}，{.Gamma }^{2}_{00},., ., ., {.Gamma }^{3}_{00}., ., 最重要，因为它涉及引力波对$

$远处静止物体的作用，而这些又涉及度规张量的分量{g}_{01}，测地方程$

$.frac {{d}^{2}{x}^{.mu }} {{dt}^{2}}+{.Gamma }^{.mu }_{.alpha .beta }.frac {{dx}^{.alpha }} {dt}.frac {{dx}^{.beta }} {dt}-{.Gamma }^{0}_{.alpha .beta }.frac {{dx}^{.mu }} {dt}.frac {{dx}^{.alpha }} {dt}.frac {{dx}^{.beta }} {dt}=0., ., 是引力场里粒子运动的动力学方程$

$这里已消去了固有时。可以看出{.Gamma }^{i}_{ii}., 对高速粒子起作用，对于静止在X$

$轴上的粒子，它的测地方程为., .frac {{d}^{2}{x}^{i}} {dt}=-{.Gamma }^{i}_{00}=-.frac {{.partial g}_{0i}} {.partial t}+.frac {1} {2}.frac {.partial {g}_{00}} {.partial {x}^{i}}$

$先考虑单星辐射的情况，.frac {{d}^{2}x} {{dt}^{2}}=-.frac {{.partial g}_{01}} {.partial t}+.frac {{.partial g}_{00}} {.partial x}=.frac {2GMR{.omega }^{2}} {x}sin.theta +.frac {GM} {{x}^{2}}$

$.frac {{d}^{2}y} {d{t}^{2}}=-.frac {.partial {g}_{02}} {.partial t}=-R{.omega }^{2}f(r)cos.theta$ , $.frac {{d}^{2}z} {d{t}^{2}}=0$

$注意., {g}_{01}=R.omega [f(r)cos.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )(xcos.theta +ysin.theta )]$

${g}_{02}=R.omega [f(r)sin.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(y-Rcos.theta )(xcos.theta +ysin.theta )$

${g}_{03}=0$

$在X轴上y=0$

由此可见静止在X轴上的粒子既受径向力也受XY面的切向力，因此为这绕中心运动的星体辐射的是横波，径向力最大时切向力最小，反之亦然。

对于双星

${g}^{c}_{01}=2.omega .psi {R}^{2}sin.theta (xcos.theta +ysin.theta )/{r}^{2}$

${g}^{c}_{02}=-2.omega {R}^{2}.psi cos.theta (xcos.theta +ysin.theta )/{r}^{2}$

${g}^{c}_{03}=0$

静止在X轴上的粒子同样受切向和径向的力，但强度要弱得多。

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