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双星系统引力波爱因斯坦方程详解（修订版）

已有 104 次阅读 2026-9-5 16:15 |系统分类:科研笔记

在球对称的静态引力场里，沿径向运动的光速应保持不变即dr/dt始终为1，席瓦西度规不满足这一基本要求，所以应由描述光速不变的度规取代，这一度规同样描述广义相对论的三大实验（水星进动，光线弯曲，雷达波的延迟），而且更接近观测。

$在通常的., t,., r,., .theta ,.phi ., 坐标系，体现光速不变的度规是$

${ds}^{2}=-(1-{2GM/}{l}){dt}^{2}+(1-{2GM}/{l}){dr}^{2}+{l}^{2}({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2})., ., ., ., ., ., ., ., (1)$

$其中l=l(r)., 是由r=l+2GMln(l-2GM)., +C., 决定的隐函数，C是积分常数$

$由., l., 在天体表面的连续性决定，C=7GM/6-2GMln{r}_{0}., ,., ., {r}_{0}., 为天体半径$

$M为天体质量。（1）描述的径向光速显然始终为1，切向光速允许微弱变换$

$这是光线弯曲的要求。这里的., r,., t., 是无限远处静止观察者测量的径向距离$

和记录的时间。现在利用该静态度规求解双星系统的引力波解，并指出静态的席瓦西解否定引力波的存在。

本文的求解建立在扎实的基础之上，而以往的求解与引力源的运动情况匹配的不紧密，引力波的强度靠猜猜，本文弥补这一缺陷

$如图，设两星A,., B., 以角速度.omega ., 沿轨道半径R逆时针运转，我们先考察A$

$坐标轴X',., Y',Z'., 始终平行于X,Y,Z., ,., ., Z'轴与Z轴垂直纸面没画出。A过Y$

$轴时的时刻不妨记着零。由于引力波以光速传播，{t}_{1}., 时刻的度规., t., 时刻$

$到达., 点（x,., y,., z），那么有下列关系$

$t-{t}_{1}=.sqrt {{(x+Rsin.omega {t}_{1})}^{2}+{(y-Rcos{.omega t}_{1})}^{2}+{z}^{2}}.approx r,., ., r=., .sqrt {{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$

$这里利用了远处条件., r>>R.., ., ., ., 把（1）变换到直角坐标系t,., x,., y,., z$

$在远处., {g}_{00}=-1+.frac {2GM} {r},., ., {g}_{0i}=0,., {g}_{ij}=.Phi {.delta }^{ij}+.psi .frac {{x}^{i}{x}^{j}} {{r}^{2}}$ $i，j., =1,., 2,., 3., 为空间指标，希腊指标.mu ,., .nu ,., .alpha ,., .beta ,., .rho ,., .sigma =., 0，1，2，3$

$其中.Phi =1-.frac {4GMlnr} {r}-.frac {2GMln{r}_{0}-7GM/6} {r}., ,., ., .psi =.frac {4GMlnr} {r}+.frac {2GMln{r}_{0}-7GM/6} {r}-.frac {2GM} {r}$

$i., 等于., j., 时., .delta ., 等于1，., i., 不等于j., 时., .delta =0$

$把上述度规里的{x}^{i}., 理解作., {x'}^{i}., 就是X'系里的静态度规,., 注意., r'=.sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}$

$在{t}_{1}时刻., X'系与X系坐标之间有下列变换关系., ., x'=x+Rsin.omega (t-r),$

$y'=y+Rcos.omega (t-r)., ,., z'=z,., t'=t.., ., 只需把上述用t',., x',., y',., z'., 表示的X'系球对称$

$度规变换成用t,., x,., y,., z., 表示的度规就得到X系的引力波解，按张量变换$

${g}_{.nu .mu }=.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {{.partial x}^{.mu }}.frac {{.partial x'}^{.beta }} {{.partial x}^{.nu }}{g'}_{.mu .nu }., ,., 这确保变换后的{g}_{.mu .nu }., 仍是场方程的解，不难得到$

${g}_{00}={g'}_{00}+{(.omega R)}^{2}{cos}^{2}.theta {g'}_{11}+{(R.omega )}^{2}{sin}^{2}.theta {g'}_{22}+2{(R.omega )}^{2}sin.theta cos.theta {g'}_{12}$

$=-1+.frac {2GM} {r}+{(R.omega )}^{2}[.Phi (r)+.frac {.psi (r)} {{r}^{2}}{(xcos.theta +ysin.theta )}^{2}]，., .theta =.omega (t-r)$

$注意利用了近似., r'=.sqrt {{x'}^{2}{+y'}^{2}+{z'}^{2}}., =.sqrt {{(x+Rsin.theta )}^{2}+{(y-Rcos.theta )}^{2}+{z}^{2}}.approx r$

$., 因此., {g'}_{00}=-1+.frac {2GM} {r'}.approx -1+.frac {2GM} {r},., ., ., ., ., ., lnr'.approx lnr$

${g'}_{ij}=.Phi (r')+.psi (r').frac {{x'}^{i}{x'}^{j}} {{r'}^{2}}.approx .Phi (r)+.psi (r).frac {{x'}^{i}{x'}^{j}} {{r}^{2}}$

同理计算出 ${g}_{01}=.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {.partial t}.frac {{.partial x'}^{.beta }} {.partial x}{g'}_{.alpha .beta }=R.omega cos.theta (1-.frac {x} {r}R.omega cos.theta ){g'}_{11}-.frac {x} {r}{(R.omega sin.theta )}^{2}{g'}_{22}-.frac {x} {r}({R.omega )}^{2}sin.theta cos.theta {g'}_{12}$

$+R.omega sin.theta (1-.frac {x} {r}R.omega cos.theta ){g'}_{12}$

$=R.omega [.Phi (r)cos.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )(xcos.theta +ysin.theta )]+.frac {x} {r}{(R.omega )}^{2}[.Phi (r)+.frac {.psi } {{r}^{2}}{(xcos.theta +ysin.theta )}^{2}]$

$把., x,., y., 对调就是{g}_{02}$

${g}_{03}=0$

${g}_{12}={g'}_{12}-.frac {R.omega } {r}[(ycos.theta +xsin.theta ).Phi +.frac {2xy.psi } {{r}^{2}}(xcos.theta +ysin.theta )]+.frac {xy{(.omega R)}^{2}} {{r}^{2}}[.Phi +$

$.frac {.psi } {{r}^{2}}{(xcos.theta +ysin.theta )}^{2}]$

${g}_{13}={g'}_{13}=.frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )z$

${g}_{23}=-.frac {y} {r}R.omega cos.theta {g'}_{13}+{g'}_{23}., =.frac {-yR.omega } {r}cos.theta .frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )z+.frac {.psi } {{r}^{2}}(y-Rcos.theta )z$

${g}_{11}=.Phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}[{x}^{2}+2Rxsin.theta +{(Rsin.theta )}^{2}]-.frac {2xR.omega } {r}[.Phi cos.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(xy+Rsin.theta )(xcos.theta +ysin.theta )]$

$x,y., 交换得到., {g}_{22}$

${g}_{33}={g'}_{33}=.Phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}[{x}^{2}+2xRsin.theta +{(Rsin.theta )}^{2}]$

$上述解可写成., {g}_{.mu .nu }={.eta }_{.mu .nu }+{h}_{.mu .nu }., 的形式，.left | {{h}_{.mu .nu }} .right |<<1,., 爱因斯坦真空场方程成为$

${R}_{.mu .nu }=.frac {1} {2}(.frac {{.partial }^{2}h} {{.partial x}^{.mu }{.partial x}^{.nu }}-.frac {{.partial }^{2}{h}^{.rho }_{.mu }} {{.partial x}^{.rho }{.partial x}^{.nu }}-.frac {{.partial }^{2}{h}^{.sigma }_{.nu }} {{.partial x}^{.mu }{.partial x}^{.sigma }}+.frac {{.partial }^{2}{h}_{.nu .mu }} {{.partial x}^{.rho }{.partial x}^{.sigma }}{.eta }^{.rho .sigma })+非线性部分=0$ $（2）$

$前面一项是线性部分，{h}_{.nu .mu }., 满足真空场方程（2）。由于{h}_{.mu .nu }., 的绝对值远小于1$

$非线性部分自动退化为0，., 所以{h}_{.nu .mu }., 使前半部分也为0，即满足线性化的场方程$

$现在考虑星B的度规解，星B的相位相当于A的相位加上.pi ,., 即.omega (t-r)+.pi ，$

因此把A星的度规里的正弦和余弦变号就是B星相应分量的度规，B星的度规同样满足方程（2），且非线性部分自动为零，

$即{h}^{A}_{.mu .nu }., ., 与., {h}^{B}_{.nu .mu }., ., 都满足线性化的场方程，所以其和., {h}^{A}_{.mu .nu }+{h}^{B}_{.mu .nu }., 也满足线性化的场方程$

$非线性部分自动为零，所以由其和组成的度规{g}_{.mu .nu }., ={.eta }_{.mu .nu }+{h}^{A}_{.mu .nu }+{h}^{B}_{.mu .nu }$

是真空场方程在t,x, y, z 坐标系里的解。不难写出合成度规的形式，由于正弦余弦同时变号，抵消一部分

${h}^{c}_{00}={h}^{A}_{00}+{h}^{B}_{00}=.frac {4GM} {r}+2{(R.omega )}^{2}[.Phi (r)+.frac {.psi } {{r}^{2}}{(xcos.theta +ysin.theta )}^{2}]$ ${h}^{c}_{01}=2{R}^{2}.omega .psi sin.theta (xcos.theta +ysin.theta )/{r}^{2}., +.frac {2x} {r}{(R.omega )}^{2}[.Phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}{(xcos.theta +ysin.theta )}^{2}]$

$x,y., 交换就是{h}^{c}_{02}$

${h}^{c}_{03}=0$

${h}^{c}_{12}=.frac {2.psi } {{r}^{2}}[xy-{(Rsin.theta )}^{2}]+.frac {2xy} {{r}^{2}}[.Phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}{(xcos.theta +ysin.theta )}^{2}]$

${h}^{c}_{13}=.frac {2.psi } {{r}^{2}}xz$

${h}^{c}_{23}=-.frac {2xyz} {{r}^{3}}.psi R.omega cos.theta +.frac {2.psi } {{r}^{2}}yz$

${h}^{c}_{11}=-.frac {8GM} {r}lnr-.frac {4GMln{r}_{0}-7GM/3} {r}+.frac {2.psi } {{r}^{2}}({x}^{2}+{R}^{2}{sin}^{2}.theta )-.frac {4x{R}^{2}.omega } {{r}^{3}}sin.theta (xcos.theta +ysin.theta )$

$x,y., 交换得., {h}^{c}_{22}$

${h}^{c}_{33}=-.frac {8GMlnr} {r}-.frac {4GMln{r}_{0}-7GM/3} {r}+2.frac {.psi } {{r}^{2}}[{x}^{2}+{R}^{2}{sin}^{2}.theta ]$

$A,., B., 两星在远处的合成引力场的线元为{ds}^{2}={g}_{.mu .nu }{dx}^{.mu }{dx}^{.nu }$

${g}_{.nu .mu }={.eta }_{.nu .mu }+{h}^{c}_{.nu .mu }., ,., ., ., ., c., 代表合成$ $合成度规就是两星共同形成的引力场的度规$

以上计算是我们继续讨论的基础。含时间项在三角函数里，其作用很弱，说明引力波的强度很弱

$.psi ., 为零时没有时间项，也就不存在引力辐射，而席瓦西度规., {g}_{00}=-1+.frac {2GM} {r}$

${g}_{ii}=1+.frac {2GM} {r},., ., {h}_{0i}=0,., {h}_{12}={h}_{13}={h}_{23}=0., ，., 相当于.psi =0，故如果静态的球对称$

引力场由席瓦西度规描述则双星系统无引力波解

我们考察一个远处静止在X轴上粒子的受力情况，

$.frac {{d}^{2}x} {{dx}^{2}}=-{.Gamma }^{1}_{00}=-.frac {{.partial g}_{01}} {.partial t}+.frac {1} {2}.frac {{.partial g}_{00}} {.partial x}=-.frac {2{R}^{2}{.omega }^{2}} {{r}^{2}}.psi cos2.omega (t-r)-.frac {GM} {{r}^{2}}$

$.psi .sim .frac {4GM} {r}lnr,., R.omega =v., 是小量，$ 星体的质量越大速度越大辐射的引力波

越强，一般情况下信号极弱，不易观测，相比之下单个绕中心运动的星体发出的引力波信号较强，因为没有抵消的部分。银河系盘状辐射信号也很弱。

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