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双星系统爱因斯坦场方程的引力波解

已有 324 次阅读 2026-8-30 21:16 |系统分类:科研笔记

人们对双星系统很感兴趣，憧憬它是发射引力波的理想波源，但究竟是否发射引力波，发射的引力波强度有大，与源什么依赖关系，好多人并没有真正解决。本文从求解双星系统的爱因斯坦引力场方程开始，对这问题作较清晰和系统的处理。以往对引力波的求解往往脱离场方程，实际上得到的引力波只是猜测，尤其无法确定引力波的强度，本文弥补这一缺失。我们关注的是远处的行为，在远处引力场是弱场，在直角坐标系t ,x, y, z论述是方面的，度规张量可表示为

${g}_{.mu .nu }={.eta }_{.mu .nu }+{h}_{.mu .nu }., ,., ., .left | {{h}_{.mu .nu }} .right |<<1,., ., .eta ., 为闵氏度规., {.eta }_{00}={.eta }^{00}=-1，其它分量为1或0$

篇希腊指标取0，1，2，3. 空间指标用i，j 表示，取1，2，3. 弱场近似下

$在源外{{h}_{.mu .nu }}_{}., 满足线性化的真空场方程.,$

${R}_{.nu .mu }=.frac {1} {2}(.frac {{.partial }^{2}h} {{.partial x}^{.mu }{.partial x}^{.nu }}-.frac {{.partial }^{2}{h}^{.rho }_{.mu }} {{.partial x}^{.rho }{.partial x}^{.nu }}-.frac {{.partial }^{2}{h}^{.sigma }_{.nu }} {{.partial x}^{.mu }{.partial x}^{.nu }}+{.eta }^{.rho .sigma }.frac {{.partial }^{2}{h}_{.mu .nu }} {{.partial x}^{.rho }{.partial x}^{.sigma }})=0$

关于度规符合的意义和运算约定在上期《球面引力波 3》中有说明，这里不过度阐述。直角坐标系线性化的场方程满足普通散度为零，若坐标变换在直角坐标系之间进行，即

${x'}^{.mu ., }={x}^{.mu }+{.xi }^{.mu }({x}^{.mu })$

$那么变换后的度规{h'}_{.mu .nu }仍是线性化场方程的解,., 这是下面求解的依据$

$这里要求.frac {{.partial .xi }^{.mu }} {{.partial x}^{.nu }}., 最多与{h}_{.mu .nu }., 是同量级$ ， $这使得变换后的{h}_{.mu .nu }., 仍满足线性化的场方程。$ ${h}_{.mu .nu }., 满足张量的变换规则，{h}_{.mu .nu }=.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {{.partial x}^{.mu }}.frac {{.partial x'}^{.beta }} {{.partial x}^{.nu }}{h'}_{.alpha .beta }$

$如图，设A,B双星以角速度.omega 沿半径轨道R互绕，不妨设A到达Y轴时的时刻记$

$为零，我们先求求解A的引力场度规，然后统一考虑。由于引力波以光速传播，$

$A在{t}_{1}., 时刻发出的度规在t., 时刻到达., 点（x,., y,., ., z）,., 有下列关系$

${(t-{t}_{1})}^{2}={{(x+Rsin.omega{t}_{1})}^{2}+{(y-Rcos.omega{t}_{1})}^{2}}+{z}^{2}., ., .approx r这里利用了r>>R$

$r=.sqrt {{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$

设坐标轴X', Y', Z' 与坐标轴 X, Y, Z 始终平行，Z', Z 轴垂直纸面没画出。

X'系看来，A 形成球对称的静态引力场，其度规是现场的，这里利用满足径向光速不变的度规（X'系的观察者看来），作者认为通常席瓦西度规存在缺陷，这里不作采用。

在X'系，远处满足径向光速不变条件的度规为

${g}_{'00}=-1+2GM/{r'},., ., ., ., ., ., ., ., {h'}_{0i}=0,., ., ., ., ., ., {h'}_{ij}=.phi (r'){.delta }^{ij}., +.psi (r')., .frac {{x'}^{i}{x'}^{j}} {{r'}^{2}},$

$其中., .psi (r')=-.frac {2GM} {r'}-.phi (r')., ,., ., .phi (r')=.frac {4GMlnr'} {r'}+.frac {4GMln{r}_{0}-7GM/3} {r'}$

${h'}_{00}=.frac {2GM} {r'},., ., M., 为A的质量，{r}_{0}., 为A的半径,., r'=.sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}$ $,., i=j., 时., .delta ., 为1，i., 不等j., 时., .delta =0$

$以上球对称静态的满足光速不变条件度规的求解可见本人论文$

《引力场方程耦合系数的修改与宇宙学新视角》或其它论文

$由于{t}_{1}时刻X'系上的静止度规就是t时刻X系上的度规，此时两坐标的关系$

$x'=x+Rsin.omega (t-r)., ,., ., y'=y-Rcos.omega (t-r),., z'=z,., t'={t}_{1}=t-r$

$r=.sqrt {{x}^{2}{+y}^{2}+{z}^{2}}., ,.,$

利用这一变换关系，把上面的静态度规变换成用 t, x , y, z 表示的度规，就得到X系的度规

${h}_{00}=.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {{.partial x}^{0}}.frac {{.partial x'}^{.beta }} {{.partial x}^{0}}{h'}_{.alpha .beta }={h'}_{00}+{(R.omega )}^{2}{cos}^{2}.omega (t-r)., {h'}_{11}+{(R.omega )}^{2}{sin}^{2}.omega (t-r)., {h'}_{22}$

$+2({R.omega )}^{2}sin.omega (t-r)., cos.omega (t-r){h'}_{12}$

待续