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球面引力波（3）

已有 315 次阅读 2026-8-24 18:59 |系统分类:科研笔记

本文在直角坐标系就弱场近似情况讨论球面引力波，由于球面引力波在远离源处趋向于平面波，所以讨论球面波实际上也是解释平面波的行为。在直角坐标系 t,x, y, z 度规张量可表示为

${g}_{.mu .nu }={.eta }_{.mu .nu }+{h}_{.mu .nu },., ., ., .left | {{h}_{.mu .nu }} .right |<<1,., {.eta }_{.mu .nu }., 为闵氏度规，{.eta }_{00}=-1，{.eta }_{11}{=.eta }_{22}={.eta }_{33}=1，{.eta }_{.mu .nu }=0., .mu 不等于.nu$

在此情况下张量指标的升降用闵氏度规，希腊指标等于0，1，2，3，重复指标代表从0到3求和

${h}^{.mu }_{.beta }={.eta }^{.mu .nu }{h}_{.beta .nu }., ,., ., ., h={.eta }^{.mu .nu }{h}_{.mu .nu }., ,., ., {h}^{j}_{i}={h}^{i}_{j}={h}_{ij},., ., {h}^{0}_{0}=-{h}_{00},., 指标., i,., j=1,., 2,., 3$

$线性化的里奇张量., {R}_{.mu .nu }=.frac {1} {2}(.frac {{.partial }^{2}h} {{.partial x}^{.nu }.partial {x}^{.mu }}-.frac {{{.partial }^{2}h}^{.sigma }_{.mu }} {{.partial x}^{.sigma }{.partial x}^{.nu }}-.frac {{.partial }^{2}{h}^{.sigma }_{.nu }} {{.partial x}^{.mu }{.partial x}^{.sigma }}+{.eta }^{.sigma .rho }.frac {{.partial }^{2}{h}_{.mu .nu }} {{.partial x}^{.rho }{.partial x}^{.sigma }})$

$真空场方程., {R}_{.mu .nu }=0$ , ${x}^{0}=t,., {x}^{1}=x,., {x}^{2}=y,{x}^{3}=z$

$根据球对称理论，度规的形式为., {h}_{00}=.psi (r,t)., ,., {h}_{0i}=0,., {h}_{ij}=A(r,t){.delta }^{ij}+B(r,t){x}^{i}{x}^{j}$

$当., i=j., 时，.delta =1，i不等于j., 时.delta =0$ ， $r={({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{1/2}$

$对于球面波., {h}_{00}., 的一般形式应为., .frac {qsin(kt-kr)} {r},., ., 但我们只关心远处的行为，在远处$

$.frac {1} {r}., 因子变化很慢，在不太大的区域可视为常数，这也是球面波近似平面波的依据$

$在远处.frac {1} {r}可以吸收到q当常量对待，因此不妨写远处的{h}_{00}=qsin(kt-kr)$

$这是以光速传播的引力波，., 为确保光速在引力波场里的速度不变，可以证明$

$下列解满足真空场方程., {h}_{0i}=0，{h}_{ij}=-.frac {qcos(kt-kr)} {kr}{.delta }^{ij}+[.frac {qcos(kr-kr)} {k{r}^{3}}-.frac {qsin(kt-kr)} {{r}^{2}}]{x}^{i}{x}^{j}$

通过直接的计算不难验证上述解满足真空场方程（线性化的），且保证波场里的光速不变。以沿X轴运动的光速为例，

$0={ds}^{2}=-[1-qsin(kt-kx)]{dt}^{2}+[1-qsin(kt-kx)]{dx}^{2}$

得 $dx/dt=.pm 1$ 。注意本文没有用谐和条件，利用谐和条件得到的解不能保证光沿径向运动的速度不变。在X轴上静止物体的测地方程为

$.frac {{d}^{2}x} {{dt}^{2}}+{.Gamma }^{1}_{00}=.frac {{d}^{2}x} {{dt}^{2}}-qkcos(kt-kx)=0$ $，., k代表波源的震荡频率，q代表该处的波幅$

由于受力的作用物体的长度会发生周期性变化，这给测量引力波提供依据。但要注意波长与物体长度的匹配，尽可能使效果明显些。

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