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双星系统爱因斯坦场方程引力波解详解（续 1）

已有 230 次阅读 2026-9-1 12:26 |系统分类:科研笔记

接上文

${h}_{00}=.frac {2GM} {r}(1-.frac {xsin.theta -ycos.theta +R/2)} {{r}^{2}}R)+{(R.omega )}^{2}[.phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}{(xcos.theta +ysin.theta )}^{2}]$

$.theta =.omega (t-r)$ $注意利用了., ., .frac {1} {r'}.approx .frac {1} {r}-.frac {R(xsin.theta -ycos.theta +R/2)} {{r}^{3}},., ., .phi (r').approx .phi (r),., ., ., .psi (r').approx .psi (r)$

${h}_{01}=.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {.partial t}.frac {{.partial x'}^{.beta }} {.partial x}{h'}_{.alpha .beta }=.frac {x} {r}{h'}_{00}+R.omega cos.theta (1-.frac {x} {r}R.omega cos.theta ){h'}_{11}-.frac {x} {r}{(R.omega )}^{2}sin.theta sin.theta {h'}_{22}$

$-.frac {x} {r}{(R.omega )}^{2}cos.theta sin.theta {h'}_{12}+R.omega sin.theta (1-.frac {x} {r}R.omega cos.theta ){h'}_{12}$

$.frac {2GMx} {{r}^{2}}[1-.frac {R(xsin.theta -ycos.theta +R/2)} {{r}^{2}}]+R.omega [.phi cos.theta +.frac {.psi } {{r}^{2}}(x+Rsin.theta )(xcos.theta +ysin.theta )]$

$-.frac {x{(R.omega )}^{2}} {r}[.phi +.frac {1} {{r}^{2}}.psi {(xcos.theta +ysin)}^{2}]$

$把上式里的x,., y., 互换就是{h}_{02}$

${h}_{12}=.frac {{.partial x'}^{.beta }} {.partial x}.frac {{.partial x'}^{.alpha }} {.partial y}{h'}_{.alpha .beta }=.frac {xy} {{r}^{2}}{h'}_{00}+(1-.frac {x} {r}R.omega con.theta )R.omega cos.theta (-.frac {y} {r}){h'}_{11}-.frac {x} {r}R.omega sin.theta (1-.frac {y} {r}R.omega sin.theta ){h'}_{22}$

$+(1-.frac {x} {r}R.omega cos.theta )(1-R.omega .frac {y} {r}sin.theta ){h'}_{12}+{(R.omega )}^{2}.frac {xy} {{r}^{2}}sin.theta cos.theta {h'}_{12}$

$=.phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}({y}^{2}-2Rycos.theta +{R}^{2}{cos}^{2}.theta )$

${h}_{11}=.phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}({x}^{2}+2Rxsin.theta +{R}^{2}{sin}^{2}.theta )$

${h}_{22}=.phi +.frac {.psi } {{r}^{2}}[{y}^{2}-2Rycos.theta +{(Rcos.theta )}^{2}]$

${h}_{33}=.frac {4GM{z}^{2}} {{r}^{3}}(1-.frac {R} {2r})$

待续

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