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爱因斯坦场方程球面引力波的严格解

已有 168 次阅读 2026-9-3 14:52 |系统分类:科研笔记

根据球对称性，球对称引力场的度规一般形式是

${ds}^{2}=B(r,t){dt}^{2}+A(r,t){dr}^{2}+D(r,t)drdt+L(r,t)({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2})$

$为了体现引力场里的光速不变取A(r,t)=-B(r,t),., ., D(r,t)=0$

$上式变为$ ${ds}^{2}=-A(r,t){dt}^{2}+A(r,t){dr}^{2}+L(r,t)({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2})$

$对于球对称的振荡源，A(r,t),., L(r,t)., 是时间的函数，这就出现引力波解$

$设引力源的质量M不变，半径., r={r}_{0}+qsin.omega t., 作振荡变化$ $，{r}_{0}., 为源的平均半径$ , $在., t,., r,.theta ,.phi ., 坐标系$

$体现光速不变（指径向光速不变），描述静态球对称引力场的度规是$

${ds}^{2}=-(1-.frac {2GM} {l}){dt}^{2}+(1-.frac {2GM} {l}){dr}^{2}+{l}^{2}({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2})$ $（1）$

$其中l=l(r)., 是由下式决定的隐函数，$ $r=l+2GMln(l-2GM)+C$

$常数., C=7GM/6-2GMln{r}_{0}., 为积分常数，是由源的表面., l., ., 的连续性决定$

$在远处., l.sim r,., l.approx r-2GMln(r-2GM)-C$

$由于引力波以光速传播，t., 时刻., r., 处的度规即是t'., 时刻r'处的度规$ ，

$存在下列关系., r'=r+qsin.omega (t-r)., ,., ., t'=t-qsin.omega (t-r)$

$.theta '=.theta ,., .phi '=.phi$

$相当于一坐标变换，现在需要把由t',., r'., ,.theta ',.phi '., 表示的静态度规变换成用., t,., r,., .theta ,.phi 表示$

$的度规$ $t',., r'., 表示的度规是静态形式的，变换后的度规含时间，即$

${ds}^{2}=-(1-.frac {2GM} {l})[1-2qcos.omega (t-r)]{dt}^{2}+(1-.frac {2GM} {l})[1-2qcos.omega (t-r)]{dr}^{2}$

$+{l}^{2}({d.theta }^{2}+{sin}^{2}.theta {d.phi }^{2})$ $（2）$

这就是振荡球对称引力源外的度规，其中

$l=l(r')=r'-2GMln(r'-2GM)+C,., ., r'=r+qsin.omega (t-r)$

$由于（2）是通过坐标变换得到的，这保证了（2）一定是场方程的解$

$需说明的是别克霍夫定理事先设定L(r,t)., 只能等于r,., 这是其否定振荡源产生$ $引力波的原因。这是一个错误的定理，直接把一些重要的可能解排除在外$

上述引力波是真空场方程的严格解，对于远处的情况可作进一步的简化。q 就是振荡源的振幅，不是任意设定的。

（1）里的度规张量各分量是联系着的，由于远处的l=r, 度规张量的22分量和33分量回归平直度规，因此各分量也应回到平直度规，所以（2）并不代表00分量和11分量的度规可以传到无限远。

关于（1）的求解见本人的论文《引力场方程光速不变解及其宇宙学新视角》

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