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数集的连续性

爱因斯坦在1936年3月发表的《物理学和实在》一文中指出：“欧几里得几何的纯逻辑的（公理学的）表示，固然有较大的简单性和明确性这个优点，可是它为此所付出的代价是放弃概念构造同感觉经验之间的联系，而几何学对于物理学的意义仅仅是建筑在这种联系之上的.致命的错误在于：认为先于一切经验的逻辑必然性是欧几里得几何的基础，而空间概念是从属于它的.这个致命错误是由这样的事实所引起的：欧几里得几何的公理构造所依据的经验基础已被遗忘了.”

   德国的赫曼•韦尔，是20世纪杰出的数学人物.他联系微积分运算要求连续性，反之把不连续的量子距离，称为相性因子.杨振宁院士就是从韦尔思想发展到圆周相性，以规范场解决电磁学中虚数相性因子问题，而在力学矢量分析中韦尔相性因子只被称为“韦尔张量”，即牛顿的平移与圆周运动结合结构域只是一种韦尔张量结构域.

爱因斯坦在1922年的《论理论物理学的现代危机》一文中批评说：“人们不止一次地提出过这样的意见，认为自然规律未必能用微分方程来描述.事实上，从量子论的观点来看，是否容许体系有这种状态呢？为了有可能回答这个问题，我们应当认为，体系运动的周期［即体系运动的整个过程］，全都只能按照量子规则形成［而非按照微积分中的实数点连续性规则形成］.为了真正证明［即根据公理推导出］量子关系，显然需要新的数学语言.无论如何，用微分方程组和积分条件来记录自然规律，正如我们今天所做的那样，是同合理的想法矛盾的.理论物理学的基础重新受到震撼，实验要求我们能够在新的更高的水平上找到描述自然规律的方法.新思想要到什么时候才会出现呢？谁要是能够活到那个时候并且能够看到这一点，那该是多么幸福啊.”

    正如恩格斯《反杜林论》中指出：“只有思想上极其幼稚的人，才会相信数学家的话：第一条线是由点在空间的运动产生的”（《马克思恩格斯全集》第二十卷，p43），此话就是指欧几里得几何学《原本》中单纯思辨（不能以经验的方式通达其对象）的“公设1.从任一点到另任一点作直线［是可能的］”或现代数学的实数理论中“连续数点或实数点的集合构成线”这样用点（没有部分）概念偷换了线（有部分）概念的数学规则，其违反了形式逻辑的同一律，即形式逻辑上的致命错误.就像罗素悖论所揭示的逻辑错误那样，其“最终的结果是现在盛行的理论思维的纷扰和混乱”（《马克思恩格斯全集》第二十卷，p384）.

    关于点的定义，数学史权威莫里斯·克莱因教授在他的《古今数学思想》一书（第一册第三章第10节）中曾指出：“亚里士多德讨论定义.他对定义的想法是符合现代精神的；他说定义只不过是给一批文字定个名.他又指出定义必须用先存在于所定义事项的某种东西来表述.因此他批评‘点是没有部分的那种东西’这一定义，认为‘那种东西’这几个字没有说出所指的究竟是什么，除非所指的可能就是‘点’［例如，除非‘那种东西’所指的是事先给出的实物线段之‘界’］，因而［‘点是没有部分的那种东西’］这个定义并不合适.”所以，合适的定义是“点为实物线段之界”.关于无穷的两个疑难：1.无测度之点如何积累成有测度的线的，犹其是当我们发现具有与直线等势的不可列无穷多的点（康托尔尘埃集）累积起来仍无测度时？2.为什么积聚成实无穷的自然数集中的每个元素都是有限的，即存在无穷多的不等的有限大自然数，这矛盾吗？第一问涉及无穷小，核心是离散性与连续性之关系.第二问涉及无穷大，核心是有限性与无穷性之关系.

有限，潜无穷，可列无穷，不可列无穷，……连续到底意味着什么？如果我们讲有理数是稠密的，又是离散的，那么无理数就是连续的吗？似乎也不是.毕竟以有理数的稠密性可以割断任何连续统！既然无理数也不连续，为何它们就有测度？有测度与连续不连续无关？那么我们将一个连续统不停地均匀地去掉一些点集，不连续到何种程度其测度才会改变甚至消失？例如从闭区间[0，1]中1.去掉所有的有理数点；2.去掉所有的代数数点；3.去掉康托尔尘埃集点……，到哪一步其测度发生了实质性变化？

2000多年前，古希腊毕达哥拉斯学派认为万物皆数；如今数字货币、数字经济、数字城市、数字交通、数字大脑、数字音乐、数字地球等等...已耳熟能详；300多年前牛顿的微积分促进了现代科技的大发展，100多年前非欧几何使得爱因斯坦的广义相对论横空出世，麦克斯韦借助方程组建立电磁场理论...如今数学已渗透到现代科技的每一个领域，而集合论是现代数学的基础.

定义1（数集的连续性）：若数集A是数集B的子集，把两个数集按照某种规则排序后，若集合A的所有元素在集合B中连续的，则称集合A在集合B上是连续的.例如：数集｛0，1,2,3,4,5,6｝在自然数集上是连续的，在有理数集和实数集上是离散的.

离散与连续的相对性与绝对性原理：连续和离散是矛盾的两个方面，它们共生互补，缺一不可，是相对性与绝对性的统一，根据唯物辩证法的观点它们也具有统一性的一面，从某一个方面考察是连续的量，从另一个方面考察是离散的.离散和连续两者既没有绝对连续不可分的对象，也没有完全连续的对象，这两个方面不仅是现实的，而且常常在某些情况下连续表现为决定性的，在某些情况下离散表现为决定性的.我们称之为离散与连续的相对性与绝对性原理.

笔者认为：离散与连续的关系可以用玻尔的并协原理表述，一些经典概念的应用不可避免的排除另一些经典概念的应用，而这‘另一些经典概念’在另一条件下又是描述现象不可或缺的；必须而且只需将所有这些既互斥又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成对现象的详尽无遗的描述.由哥德尔不完全性定理：任意理论不能递归公理化.也即告诉我们：任何一个充分丰富的形式系统，如果它是和谐的，则该系统内存在这样的语句，使与非在系统内部都不可以证明的.这个定理说明，任何形式体系都不能囊括一切，都是不完全的.