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自然摆动单摆的机械能在各惯性系都成立

刘明成

                      （河北师范大学物理学院，河北 石家庄  050016）

摘  要：首先推出了在地面系和相对于地面匀速运动的小车系自然摆动的单摆在摆动过程中机械能都守恒的结论，验证了机械能守恒定律满足力学相对性原理，解决了力学教学界60年的困惑，并对当前力学教材提出了几条修改建议.

关键词：单摆；动能；势能；保守力；机械能守恒；相对性原理

              中图分类号：O 313.1     文献标识码：A          文章编号：

将摆锤质量为m，轻质摆线（摆线质量视为0）长度为L的单摆挂在与地面相固连的摆架上，将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为θ₀（θ₀∈[0⁰，90⁰]时自然放手，在忽略各种阻尼时，单摆就做自然摆动，θ₀为最大摆角．有一小车在地面（地球质量视为充分大，稳定地保持为惯性系）上以正常数u向右运动.

求证：在地面系和小车系上观察，单摆的机械能都守恒.

解：赵凯华编著的《新概念物理教程:力学》给出了保 守力的一些充分条件: (1)对于一维运动,位置x 单值函数的力是保 守力,例如服从胡克定律的弹性力; (2)对于一维以上的运动,大小和方向都与位置无关的力是保守力,例如重力; (3)凡是有心力都是保守力.由于单摆中摆线拉力是有心力，所以是保守力.

由于把地球视为惯性系，因此必须假定地球质量充分大，忽略其能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.根据文献[1]无论是地面系，还是小车系摆线的拉力都是一个保守力.

在地面系，建立平面直角坐标系如图1所示．由于在摆动过程中摆线的拉力和重力在该直线上的分力与位移垂直不做功，因此只需考虑重力在切线方向的分力.单摆在t=0时刻从最大摆角θ₀开始摆动（规定初始时刻的势能为0），在t时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ，v，a，E_k(t)，E_p(t)，E(t)；在小车系，单摆t时刻的速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：v₁，a₁，E_1k(t)，E_1p(t)，E₁(t)．则在地面系：在地面上观察时，以单摆的悬挂点o为极点，单摆静止时与摆线重合的射线oy为极轴，从o到摆锤的矢量r为极径，极轴和极径的夹角θ为极角建立平面极坐标系如图2所示.

设在地面上观察时，单摆在t=0时刻从最大摆角θ₀（θ₀∈（0⁰，90⁰]）开始摆动(规定初始时刻的势能为0)，t时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ，v，a，E_k(t)，E_p(t)，E(t)；在小车上观察时，单摆在t时刻的摆角、速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ₁，v₁，E_1k(t)，E_1p(t)，E₁(t)；在地面上和小车上观察时，都设摆锤的最高点为零势点.则有：

v===．

dt=（0≤θ≤θ₀）．

mgsin θ=ma，gsin θ=a==×=×v，vdv=-gLsin θdθ，

dv=-gLθdθ，v²=gL(cos θ-cos θ₀)．v=．

==-

=-=-＜0,

     所以对于一个确定的单摆而言，只要初始状态确定，单摆的摆角是时间t 的单值函数，因此我们只需证明任意摆角的机械能相等即可，在本题中是减函数.

E_k(t)= E_k′(θ)=mv²=mgL(cos θ-cos θ₀)；

E_P(t)= E_p′(θ)= mgy=mg(Lcos θ₀-Lcos θ)+0=-mgL(cos θ-cos θ₀)．

E(t)=E_k(t)+E_P(t)= E_k′(θ)+E_P′(θ)=mgL(cos θ-cos θ₀)-mgL(cos θ-cos θ₀)=0．

所以在地面系摆锤的机械能守恒，守恒值为0.

在地面系——设初相为0，v=ωR，x=Rcosωt，y= R sinωt；

将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：x₁=x-ut=Rcosωt-ut，y₁= y=R sinωt

=-u=-vcos θ-u，= (-=+-2u；=，=．

=+=+-2u+=++2u×vcos θ=

2gL(cos θ-cos θ₀)+u²+2u×cos θ．

E_1k(t)= E_1k′(θ)=m=mgL(cos θ-cos θ₀)+mu²+mu×cos θ．

==-0=；===；a₁=a=gsin θ．

m=m；m=m；ma₁=ma=mgsin θ．

0-E_1p(t) =-E_1p′(θ)=ds +×(-u)dt=

 (-Ldθ)+mu×=

-mgL dθ+muL×=

mgLcos+mugL×=

mgL(cos θ-cos θ₀)+ d(cosθ-cos θ₀)=

mgL(cos θ-cos θ₀)+×(cos θ-cos θ₀ +×2 (cos θ-cos θ₀cos θ₀=

mgL(cos θ-cos θ₀)+mu×(cos θ-cos θ₀ +mu×(cos θ-cos θ₀cos θ₀=

mgL(cos θ-cos θ₀)+mu×(cos θ-cos θ₀+cos θ₀)=

mgL(cos θ-cos θ₀)+mu×cos θ．

E_1p(t)= E_1p′(θ)=-mgL(cos θ-cos θ₀)-mu×cos θ．

E₁(t)=E_1k(t)+E_1p(t)= E_1k′(θ)+E_1p′(θ)=

mgL(cos θ-cos θ₀)+mu²+mu×cos θ-

mgL(cos θ-cos θ₀)-mu×cos θ=mu²=常数.

所以在小车系单摆的机械能也守恒，守恒值为mu².当u=0时两个坐标系重合，动能、势能分别对应相等，守恒值也相等，符合对应原理的要求，外势能（质点的势能）不具有伽利略变换的不变性.若u≠0时，由于在单摆问题摆角比较小，cos θ≠0，因此当且仅当cosθ=cosθ₀时势能相等.

从分析力学的角度看动能T=mgL(cos θ-cos θ₀)+mu²，势能V=-mgL(cos θ-cos θ₀)，机械能为mu².动能、势能与矢量力学不同，但是机械能相同.

另证：由于把地球视为惯性系，因此必须假定地球质量充分大，忽略其能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.根据文献[1]无论是地面系，还是小车系摆线的拉力都是一个保守力.

设与单摆还未摆动而自然下垂位置重合的竖直直线与水平地面的交点O为地面系的原点，点o为小车系的原点.设0时刻o与O完全重合，单摆从摆角θ₀开始摆动．设在t时刻，摆锤与小车o的位置如图1所示；摆锤在小车系的位矢、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能分别为：

r，v，a，f，e_k，e_p，e；

在地面系的位矢、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能分别为：R，V，A，F，E_k，E_p，E．则在地面系观察时，在地面单摆体系中，因为摆锤仅受到重力和拉力的作用，拉力与位移始终垂直不做功，摆锤的机械能E守恒，即E=D=常数，亦即dE=dD=0.

据伽利略变换或图3知：

R=r+ut，V=v+u，A=a+0=a，F=mA=ma=f．

V²=V×V=(v+u)×(v+u)=v×v+2v×u+u×u=v²+2u×v+u²，

mV²=mv²+mu×v+mu²，E_k=e_k+mu×v+C，

dE_k=de_k+mu×dv+dC=de_k+u×mdt+0=de_k+f×udt．

dE_p=-F×dR=-f×d(r+ut)=-f×dr-f×d(ut)=de_p-f×udt．

dE_k+dE_p=de_k+f×udt+de_p-f×udt=de_k+de_p，d(e_k+e_p)=d(E_k+E_p)，de=dE=0．

所以，在小车系观察时，摆锤的机械能守恒.

设在t=0时刻摆锤位于最高点，此时为地面系和小车系的公共势能0点，则：

E_k(0)=mV ²=m×0²=0，E_p(0)=0，E(t)=E_k(t)+E_p(t)=E_k(0)+E_p(0)=0+0=0．

e_k(0)=mv²=m(-u)²=mu²，e_p(0) =0，e(t)=e_k (t)+e _p(t)=e_k(0)+e_p(0)=mu²+0=mu².

说明：1.在单摆问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理.摆线的约束力是一个保守力，在小车系对摆锤做功的同时改变摆锤的动能和势能，不改变摆锤的机械能，与直接计算重力机械能得出的结果一致.文献[2]提出了约束力是一个保守力的问题，文献[1]证明了“光滑约束中的约束力是一个保守力”，建议力学教材指明这个问题，不要认为力学中保守力只有弹簧弹力、万有引力和重力，把约束力当成外力，在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里做功，这样机械能守恒定律就不满足力学相对性原理了^[3～18].这个习题自从文献[6～7]提出以来，力学界讨论60年一直未能定论，原因之一在于没有认识到约束力也是一个保守力，流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.

2．在上面单摆问题中势能包括重力势能，不是严格意义上的重力势能，因为质点受到的合力不等于重力.单摆问题是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑摆线质量是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能.本题是两个保守力共同作用下的机械能守恒问题，摆锤的重力势能+摆锤的拉力势能+摆锤的动能=摆锤机械能守恒量，在地面系摆锤的拉力不做功，拉力势能始终不变，可以认为是0，就成为重力机械能守恒的问题.在这个问题中，在小车系看来可以认为是重力机械能不守恒，不能认为是机械能不守恒.在这个问题中如果按照重力机械能计算是开放系统，按照机械能计算是孤立系统.

当观察者相对于单摆静止时，利用重力机械能守恒定律得出的结果等效；当观察者相对于单摆的悬挂点匀速运动时，直接利用重力机械能守恒定律是错误的，应该利用保守力所做的功等于势能的减少来计算.机械能守恒定律中保守力应该是保守力的合力，考虑了势能就不能再计算保守力的功了，本题中如果按照重力机械能计算显然不满足力学相对性原理^[3～18].重力机械能不守恒，不代表机械能（力学能）不守恒.

3．机械能守恒定律是牛顿定律的推论，牛顿第二定律中的力是指质点受到的合力，因此机械能守恒定律中的保守力应该是指保守力的合力，本题不是重力机械能问题.在这个问题中如果按照重力机械能计算是开放系统，按照机械能计算是孤立系统.

4．按照外场（外势能）计算，势能属于质点，一个保守力的功等于势能的减少，势能是坐标的函数，势能不是伽利略变换的不变量；按照内场计算，势能属于系统，一对保守力的功等于势能的减少，势能是相对位置的函数，势能是伽利略变换的不变量.二者有着本质的区别，量变引起质变，建议力学教材明确指出.本题中地球和摆锤的质量相差极其悬殊，按照内场（内势能）计算，地面系不再是惯性系，需要计算惯性力势能，不具有可操作性，因为我们不知道地球的具体质量，它是一个变量.

5．地面系和小车系在起始时刻的势能零点重合，任何时刻小车系势能零点是地面系势能零点的伽利略像点，这是相对性原理的要求.斜面问题与单摆处理方法相似，斜面的支持力也是一个保守力^[19]，这个问题在国际上也比较纠结^[20].文献[1]证明了匀速圆周运动中质点的机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献[21]证明了弹簧振子机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献[22]自由落体运动机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献[23]万有引力机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献[24]利用内势能计算斜面问题此时地面系和小车系都是非惯性系，需要考虑惯性力做功的问题.

6．在本文中摆锤受到摆线的作用力是弹力，约束力势能是弹性势能，但是没有弹性形变，文献[25]指出质点只要受到弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变，例如小滑块在光滑斜面上下滑，斜面的形变为0，质点依然具有弹性势能[19].有人说没有形变哪来的弹力，确实这样，一个物体放在水平地面上受到支持力是弹力，但是我们不必考虑形变，力学中有时不必考虑力的性质来源，重力来源于万有引力，摩擦力还来自于电磁力呢？我们计算摩擦力时从来不考虑电磁力的问题，研究质点的重力时也不考虑万有引力.对于普通的力学实验，我们一般选地面系作为惯性系，此时忽略地球能量的变化，地球已经不再是研究对象.

7．当小车相对于地面变速运动时，此时重锤受到一个惯性力，由于惯性力也是一个保守力^[26]，因此在小车系测量的机械能依然是守恒的，即在所有参照系测量摆锤的机械能都是守恒的.爱因斯坦的广义相对性原理是完全正确的：物理规律对于所有的参照系都相同.

8．由于旋度具有伽利略变换的不变性，因此力的保守性也具有伽利略变换的不变性.文献[26]证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，保守力经过伽利略变换不可能变成显含时间的力.根据dEp=（-f）dr与F=/可以得知力显含时间的充要条件为势能显含时间，因此在保守力场计算势能不可能显含时间. 文献[11]和[27～28]的观点是错误的.

9.力的旋度等于0，环路积分为0和作用力F是某位势的梯度三者是等价的.

设定F为在空间任意位置定义（或空间内单连通的区域）的矢量场，假若它满足以下三个等价的条件中任意一个条件，则可称此矢量场为保守矢量场：

①F的旋度是零：；

②假设粒子从某闭合路径C的某一位置，经过这闭合路径C，又回到原先位置，则力矢量F所做的机械功W等于零：；

③作用力F是某位势的梯度：.

①⇒②：设定C为任意简单闭合路径，即初始位置与终结位置相同、不自交的路径.思考边界为C的任意曲面S.斯托克斯定理表明.假设F的旋度等于零，方程左边为零，则机械功W是零，第二个条件是正确的.

②⇒③：假设对于任意简单闭合路径C，F所做的随体功W是零，则保守力所做于粒子的随体功，独立于路径的选择.设定函数  ，其中x和o分别是特定的初始位置和空间内任意位置. 根据微积分基本定理，.所以第三个条件是正确的.

③⇒①：假设第三个条件是正确的.思考下述方程：

所以第一个条件是正确的，因此这三个条件彼此等价.由于符合第二个条件就等于通过保守力的闭合路径要求，所以只要满足上述三个条件的任何一条件，施加于粒子的作用力就是保守力.如果作用在物体的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关，即不仅力有势，且在相应的势能表达式中不显含时间，该力则为保守力.势能定理为=-fdr，势能是位置的函数，环路积分必等于0.验证一个力是保守力，三个条件只要证明一个即可.环路积分等于0是判定力是保守力的充要条件.

10.可逆与不可逆也是物理学的重要原理,凡是可逆的就是守恒的、绝对的,而凡是不可逆的就是不守恒的、相对的.在这个问题中，在所有参照系机械能都守恒，都是可逆的.如果在一个参照系机械能守恒，在另一个参照系机械能不守恒，即在一个参照系是可逆的，在另一个参照系是不可逆的，显然不满足相对性原理.

11.文献[1]、[21～23]和[29]得出在选择相同的势能零点、时间原点的情况下运动系的机械能与静止系的机械能之差为mu²，当运动系的速度方向改变时，即使选择相同的势能零点、时间原点机械能的增加量可能不等于mu²，但是此时机械能依然守恒（例如在光滑水平面上一个质点从原点出发沿着x轴正半轴匀速运动，速度为v，一辆小车沿着与x轴成30⁰角从原点出发，速度为u，他测量质点的动能为E₁，另一辆小车从原点出发沿着y轴正半轴匀速运动，速度为u，他测量的动能为E₂，显然E₁不等于E₂，势能都没有变化，因此机械能也不相等.在自由落体运动中，选择地面为原点，同时也是势能零点，一辆小车水平运动，一部电梯竖直运动，速度大小相等，测量机械能显然不相等.）；运动系的速度不变，势能零点不同也可以，机械能之差不等于mu²，但是此时机械能也是守恒的；运动系的速度不变，势能零点相同，时间原点不同得出机械能还是守恒，机械能之差不变，因为能量守恒是时间均匀性的一种反映.

当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加mu² - mu.v₀，其中v₀为t=0时静止系测量的质点初速度（因为在原点处势能相等，动能之差等于mu² -mu.v₀，在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为mu² - mu.v₀），在上面的的单摆问题中由于v₀=0，因此运动系比静止系机械能增加mu².其他情况不再分析，下面以竖直上抛运动问题为例说明——

以相对于地面的恒速u竖直上升的电梯（忽略空气阻力等非保守力），在水平地面上以速度v₀竖直上抛一个小球G（可以视为质点），试问在电梯上和地面上观察（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系），质点G的机械能是否守恒，并说明理由.

解：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于小球势能的减少.

以小球G开始上升点o为坐标原点，过o的竖直向上的直线为y轴，建立直线坐标系．设最低点的势能为0.

设t时刻，电梯上观察到小球 G的坐标、速度、加速度、动能、势能、机械能分别为：y，v，a，E_k(t)，E_p(t)，E(t)；地面上观察到小球 G的坐标、速度、加速度、动能、势能、机械能分别为：y₁，v₁，-g，E_1k(t)，E_1p(t)，E₁(t)．于是有：y₁=y+ut，v₁=v+u，v=v₁-u.

在地面上观察时，

-g=，dv₁=-gdt，=dt，v₁-v₀=-g(t-0)，v₁=v₀-gt．v₁=0时v₀-gt=0，v₀=gt，t=.

v₁=，dy₁=v₁dt，=dt =-gt)dt，y₁-0=v₀(t-0)-g (t²-0²)，y₁=v₀t-gt².

y_1m=v₀-g=-=，0≤y₁≤.

E_1k(t)=m=m(v₀-gt)² =m(-2gtv₀+g²t²)=m-mgtv₀+mg²t².

E_1p(t)=mgy₁== mgtv₀-mg²t².

E₁(t)=E_1k(t)+E_1p(t)=m-mgtv₀+mg²t²+ mgtv₀-mg²t²=m=const.

所以在地面上观察时G的机械能守恒，守恒值为m.

在电梯上观察时，小球 G的机械能比在地面上观察时只增加了m(v₀-u)²-m，所以

E(t)=E₁(t) +m(v₀-u)²-m=

m+m(v₀-u)²-m=m(v₀-u)²=mv₀²+mu² - mv₀u=const.

所以在电梯上观察时G的机械能守恒，守恒值为m(v₀-u)²=mv₀²+mu² - mv₀u.

当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合对应原理的要求.

玻尔及其对应原理堪称肯定传统理论中的真理成分及其价值,关注并解决新旧理论之间的继承关系的典范和构建物理理论的重要科学方法.历史的辩证的方法也表明: “今天被认为是合乎真理的认识都有它隐藏着的,以后会显露出来的错误的方面”.从对应原理我们可以得到这样的启迪,科学的发展过程是不断发现问题,排除错误,通近正确认识的无止境的过程.是从常规科学经历反常和危机而引发的科学革命,再形成新的常规科学的无限演进过程.

文献[30]证明了能量守恒定律和动量守恒定律在牛顿力学和狭义相对论中都具有协变性，经典力学中所有动力学理论都满足力学相对性原理，在一个惯性系成立，在其他惯性系一定成立[31～32].奥卡姆剃刀定律(奥康的剃刀)就是简约有效原理（用较少的东西，同样可做好的事情）；换句话说，如无必要，勿增实体.对于科学家来说，当你有两个（或多个）处于竞争地位的理论都能得出相同的结论，则简约（或可证伪）的那个理论更好.换句话说，如果你有两个（或多个）原理都能解释观测到的事实，则应该使用简单（或可证伪）的那个，直到找到更多的证据.奥卡姆剃刀原理已经成为重要的科学思维理念.自然界总是选择最短的道路，花费最短的时间，体现为最小作用理原理.奥卡姆剃刀原理是定性的理论；量子三维常数理论（真正的大统一理论）是定量又定性的理论.量子三维常数理论（真正的大统一理论）是最简约及最自然的理论.

爱因斯坦认为：“马赫的真正伟大，就在于他的坚不可摧的怀疑态度和独立性.”科学发展的历史表明，一个成功的理论是来源于科学实验和科学观测，随着观测事实的累积，一方面使理论得到更广泛的证实，另一方面必然会暴露出理论的局限性，从而迫使理论朝着更深刻和更普遍的方向发展.所谓更普遍就是要求新理论能概括更多的观测事实，从而扩大了理论的适用范围，但在旧理论的适用条件下，必然能返回到旧理论所能描述的全部特征，这也是衡量一个理论正确与否的重要判据之一.我国并不缺少原创理论与技术，缺的是客观公平的项目评选机制，有关颠覆性创新纳入不到国家支持体制，加上一元化立项机制的诸多弊端，使得我们解决卡脖子及有关技术问题并不具有预期性，唯有确立两元或三元化立项机制，才能保障国家具有拿到原创成果的预期性.

致谢：文章在写作工作过程中，曾经受到广义相对论专家、河北师范学报（自然科学版）副主编、河北师范大学刘明成教授，两弹元勋、国家自然科学一等奖获得者、中国科学院三等奖获得者、中国科学院力学研究所吴中祥研究员，中国科学院资深院士、美国杜邦公司中心研究院院士沈致远教授的多次指导，在此谨致谢忱！！

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[32]李学生.声波方程满足伽利略变换下的形势不变性.百科论坛，2020年第6期05卷:268.

The mechanical energy of a natural pendulum can be found in each inertial system

Liu Ming-cheng

(College of Physics‚Hebei Normal University‚Shijiazhuang 050016‚China)

Abstract: First, the conclusion that the mechanical energy of the single pendulum naturally swinging in the ground system and the cart system moving uniformly relative to the ground is conserved during the swing process is put forward, which verifies that the law of conservation of mechanical energy satisfies the principle of mechanical relativity, solves the confusion of the mechanical teaching circle for 60 years, and puts forward several modification suggestions for the current mechanical teaching materials.    Key words: single pendulum; kinetic energy; potential energy; conservative force; conservation of mechanical energy; principle of relativity.