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四色定理的思考

1.四色定理的提出

网上有言:“人其实很矮小，是被书垫高的”.人类对于巨人的认识必须经过三个阶段:第一，仰视阶段:第二，平视阶段:第三，俯视阶段.仰视阶段是学习阶段，这是人类认识真理的开始，没有这一阶段的刻苦学习，你就不会有扎实的科学基础，是无根的草.但是你的认识如果永远停留在对巨人的仰视阶段，那你就永远只能是一个长不大的孩子，所以随着读书量的增加，你既要能发现巨人思想中正确的东西，还要能发现存在的问题，这你就进入了与巨人平视的阶段.你的认识如果永远停留在对巨人的平视阶段，那你也就永远只能是发现了问题而还不能够解决问题.这就是说，你还没有站在巨人的肩上，而只有能够将巨人们相互矛盾的思想统一起来，只有这时候，你才是真正站在了巨人的肩上.

1852年10月13日G.Federich对他的数学老师D.Morgan说，他的弟弟G.Francis问能不能证明只用4种颜色给地图染色，使得相邻国家和地区的颜色不同.Morgan教授不能证明，写信给大数学家W.R.Hamilton.Hamilton也不能证明.直到1878年6月13日，Cayley教授在London数学学会上以书面方式提出了地图染色的“4色猜想”.1879年他又在皇家几何图形学会会议录第一卷中再次提出这个猜想，这个猜想在一个半多世纪以来,曾积累大量文献而无结果，地图染色的“四色猜想”曾被称为数学中的陷阱，以便提醒数学工作者有被陷入而不能自拔的危险.直到1976年K.Apple，W.Haken和J.Koch宣称，他们用几台计算机运行120机时（超过百亿次运算）证明了四色猜想的正确性.但他们认为四色猜想的推理证明是必要的，并预言可能会有一位中学生来完成这个证明.由于计算机证明存在着计算模型中不可约构形集是否完备，程序运行是否精确，逻辑运算是否严密.这些问题使计算机证明并不完美.虽然1997年简化了这个证明，但是基本问题还在，因此人们一直期待“四色猜想”的推理证明.作为一位数学家的技巧，就是把数学问题化简为它们的最简单、最优美的形式.

2.四色定理的推广

在直线上最少需用两种颜色即可把区间分开，在平面上根据四色定理最少且只需用四种颜色即可区分开各区域，在三维空间中数学家已经证明了不少于7种颜色才能区分开各区域，笔者认为在三维空间中只需用8种颜色可区分开各区域，在四维空间中最少且只需用16种颜色可区分开各区域，……，在n维空间中最少且只需用2ⁿ种颜色可区分开各区域.

笔者认为，既然在平面直角坐标系中四色定理成立，根据拓扑学理论，可以推广到任何平面图形成立.证明这个命题只需类比庞加莱猜想提出一个命题——在任一张地图上，都可以通过变换变化成矩形网格形状.

拉格朗日曾经说过：“我把数学看成是一件有意思的工作，而不是想为自己建立什么纪念碑.可以肯定地说，我对别人的工作比自己的更喜欢，我对自己的工作总是不满意.”2020年9月16日，李尚志在石家庄二中西校区说：“数学的最高境界是简洁的逻辑美.”

附录：庞加莱猜想——任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球.

2006年6月3日哈佛大学讲座教授、美国科学院院士、中国科学院外籍院士丘成桐，在北京宣布：经美俄中数学家30多年的共同努力，两位中国数学家----中山大学的朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学讲席教授曹怀东，最终证明了百年数学难题----庞加莱猜想；2006年6月1日出版的《亚洲数学期刊》，以全部版面刊登他们的长达328页的数学论文----《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿--佩雷尔曼理论的应用》.2006年8月俄罗斯数学家佩雷尔曼，因在证明庞加莱猜想的过程中作出奠基性的贡献，获2006国际数学家大会的菲尔茨奖.

向世界上最优秀的拓扑学家，发出挑战的庞加莱猜想并不难理解.这个猜想是：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面”.不用严格的数学方法，这个猜想可以这么证明：如果我们用可伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，就可以既不扯断它，也不让它离开表面，能使它慢慢移动收缩为一个点.反证法是，如果我们想象同样的橡皮带，以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的.这就是说，苹果类似的三维球面表面才是“单连通的”.而轮胎面类似的三维环面不是相同的拓扑类型，从而得证任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是等价一个三维圆球.显然这是一个很基本的问题.

一个不分球面与环面不同伦的时代结束了；在数学发展史上,庞加莱猜想是一座前无古人的高峰.庞加莱猜想被封顶证明，使它变为是正定理，即三维空间每一条封闭的曲线都能收缩成的一点，就等价于是圆球.而正定理被证明，也反证明了逆定理.即在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是等价于一个三维的圆球，而可能是等价于一个三维的环面.总起来说，就是庞加莱猜想实际提出了两种先验图式的时空与质能的先验图像和经验图像.所以庞加莱猜想被封顶证明，结束了21世纪前的球量子一家独大的时代，迎来了21世纪环量子的生长发育.

推论：任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面.