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复数集的引入及其意义

事实，作为认识论范畴通常指己被正确认识到的客观事物、事件、现象、关系、属性、本质及规律性的总称.客观存在的事物、现象、关系只有被人的感觉和思维如实反映，并作为人们进一步认识和行动的依据，才称为“事实”.事实与客观存在既有联系，即本质上是一致的，但又有区别.事实就其内容来说，都是客观的，有时亦称“客观事实”.事实有时指客观事物、事件或现象本身.有时指对客观事物、事件、现象及其关系的反映和描述，是在实验、观察或调查中所得到的关于对象的映像.数学，是研究数量、结构、变化空间以及信息等概念的一门学问，是形式科学的一种.在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究科学技术必不可少的基本工具.数是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念，是比较同质或同属性事物的等级的简单记录形式.代表数的一系列符号，包括数字、运算符号等，统称为记数系统.简单计数是一个重复加或减1的数学行为，通常用于算出对象有多少个或放置想要之数目个对象，即对第一个对象从一算起且将剩下的对象和由二开始的自然数一对一对应.

“实数”不仅是现行数学基础，也是整个现行理学基础，但以“实数”为元素的集合，连逻辑主义数学家罗素和弗雷格也怀疑：‘集合论……都是逻辑的悖论.逻辑在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解.这一问题直接威胁到数学的基础……更重要的是，集合论悖论威胁到自然数的定义.’弗雷格说‘对什么是1这样一个貌似简单的问题，尚未有一个完满的答案……否则，我们最终将弄不清楚负数、分数或复数.’现在有了由[逻辑]法得到的“实数”新概念，集合论悖论就可消除，因为“实数”被［逻辑］扬弃为<自然数>n后是有限的了.至于罗素悖论是罗素运用康托的集合论来解决“自然数列”问题时发现的，至今还没有解决（只是用公理化避开了）；而用新概念，就可知道罗素悖论中的“集包含自身为一元”这一命题是源于有悖的“实数”概念的.

逻辑，原意为思想、理性.中译名由中国近代严复在《穆勒名学》(译自穆勒《逻辑体系》一书)中首次使用.表示客观事物发展的规律或表示思维的规律、规则.逻辑真理是指无须直接借助于感性经验，而仅依靠一定逻辑系统的逻辑证明(逻辑推理)即可判定其必然为真的真理，与经验真理相对.在哲学史上，17世纪德国莱布尼茨最早提出区分逻辑真理与事实真理.他明确提出“有两种真理:推理的真理和事实的真理.”(《单子论》).复数的发明是从意大利数学家卡当（JeromeCardan，公元1501.9.24～1576.9.21）在解三次方程的实践中发现负数的平方根开始的，卡当在他于公元1545年出版的《大术》（一说《重要的艺术》）一书中写出了“卡当公式”.法国数学家、哲学家、物理学家、生理学家、解析几何的创始人笛卡尔（RenéDescartes，公元1596.3.31～1650.2.11），于公元1637年出版的《几何学》中提出了“虚数”的名词和概念.法国数学家、英国皇家学会会员、柏林科学院和巴黎科学院院士棣莫佛(AbrabamDemoivre，公元1667.5.26～1754.11.27)于公元1730年提出了著名的“棣莫佛定理”.法国数学家、哲学家、物理学家、天文学家让·勒朗·达朗贝尔(JeanLeRondAlembert，公元1717.11.17～1783.10.29)于公元1747年提出了按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算.世界四大数学家之一，瑞士大数学家、力学家、物理学家欧拉（LeonhardEuler，公元1707.4.15～1783.9.18），于公元1748年发现了著名的欧拉公式，并且在公元1777年出版的著作《微分公式》中采用i=作为虚数的单位.挪威测量学家成塞尔（公元1745～1818）于公元1779年发表了对虚数的直观的几何解释的作法.德国数学家阿甘得（公元1777～1855）于公元1806年公布了虚数的图象表示法，提出了“复平面”概念.世界数学王子、国际四大数学家之一，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家高斯（CarlFriedrichGauss，公元1777.4.30～1855.2.23），于公元1831年用实数组a，b写出了复数的代数式abi，建立了复数的某些运算，并于1832年提出了“复数”的名词.这样，复常数就经历了约300年的创立与发展的过程后，终于定了型，并成为“数”这个大家族中的一员.由此看来，复常数是从解三次方程的实践中，抽出虚数的单位i=以后，将虚数的单位i=与实常数结合而成的，从而弥补了实数的非位置性.

数轴可以容纳有理、无理数，但无法容纳下虚数.但是，把实数轴扩展为复平面，虚数是自然而然的事.从目前掌握的物理知识看，物理量存在的空间突破四维时空而居住在高维空间的可能性很大，而我们的物理测量则局限于四维时空中进行.假设存在某种高维虚物理量，它在四维时空中的投影是可测的实物理量.这种投影可理解为某个高维复空间中的虚物理到四维时空某个物理量的变换（或映射），把虚数映射为实数的变换并不困难，如对复函数做内积运算等.

20世纪初奥地利维特根斯坦又通过区分逻辑命题与非逻辑命题(指事实命题、经验命题)具体分析了这两类命题的真理性.提出“人们单是从符号中就能够知道其为真的”逻辑真理，亦称“形式真理”.真理是要经过证明的，在证明真理的过程中，首先要解决的是真理的标准问题.所谓标准，即准绳、参照系.