在《基于图(Graph)的5种电路分析方法（2）——系统模型》中，用系统模型总结了现有电路理论[1-4]分析电路网络的数学原理：首先将一个电路等效成一个由Z个二端子元件支路与（N+1）个节点连接构成的有向图；再通过有向图，列写支路电压和支路电流的Z个约束方程，包括：1）支路电流在N个节点的KCL方程；2）支路电压在（Z–N）个独立回路的KVL方程；最后，结合给定的Z个支路电压-支路电流VCR，建立以支路电压和支路电流为变量的（2Z）个电路方程。其中，Z个支路VCR是给定元件的物理属性，Z个KCL与KVL方程，是支路电流、支路电压在节点和回路中的数学约束。

教科书[1-4]中，基于图的5种电路分析方法，可以说是列写KCL与KVL代数表达式的5种“套路”：

1）“支路”法，直接用关联矩阵A列写支路电流的KCL约束，用回路矩阵B列写支路电压的KVL约束。

2）“节点”法、“割集”法，分别用“节点电压”和“树支电压”对支路电压作变量代换。

3）“回路”法、“网孔”法，分别用“回路电流”和“网孔电流”对支路电流作变量代换。

使用电路分析“套路”列写的电路方程组，注重数学形式，缺乏物理图像。本文将进一步，介绍电路方程组背后，电路的一个重要物理特性：电荷-磁通二象性。

（一）电荷-磁通二象性

“电荷生电位，环流生磁通”。在一个电路中，

1）节点电位的增大和减小，来源于电荷在节点的聚集和扩散；

2）回路环流的增大和减小，对应着磁通在回路的耦合和释放。

因此，类似于光的“波粒二象性”，电路也具有“一体两面”特性，称之为“电荷（charge）-磁通（flux）二象性（duality）”[5]，如图1所示：

1）从电荷视角看，电路是一个以电荷为载流子的传输系统，其网络中的电荷从一个节点流向另一个节点；

2）从磁通视角看，电路是一个以磁通为载流子的传输系统，其网络中的磁通从一个环路传到另一个环路。

图1. 电路的“电荷-磁通二象性”示意图 [5]

分析光的 “波动” 和 “粒子”现象，要使用不同的物理量和观测方式。同理，分析电路的“电荷传输”行为，要用节点电位作变量，用节点分析法。分析电路的“电荷传输”行为，要用回路环流作变量，用回路分析法。展开来说，

1）节点处，“电荷生电位”。节点电位反映了电荷在节点的分布和储量。相应的，节点法的以电位为变量的电路方程组，描述了电荷在支路中的传输（transfer）、在节点间的分配（distribution）。

2）回路中，“环流生磁通”。回路环流反映了磁通在回路的分布和储量。相应的，回路法的以环流为变量的电路方程组，描述了磁通在支路中的传输（transfer）、在回路间的分配（distribution）。

“节点”法和“回路”法建立的系统模型，展示了电路的“一体两面”，刻画了电路的电荷-磁通二象性，如图2所示。

图2. 节点法和回路法建立的一个电路的两种系统模型

在实际应用中，无论是数字电路还是模拟电路，几乎都是用节点电压作信号的“电荷传输”网络；它们的电路仿真程序（SPICE）也都是采用节点分析法。而“磁通传输”模型和回路分析法，仍停留在教科书中。

难道电路“一体两面”的“两面”没有区别？“电荷传输”模型能实现“磁通传输”模型的所有功能？如果能，就意味着，一个“磁通传输”模型能找到与其对偶的“电荷传输”模型。如果以电荷为载流子的电路与以磁通为载流子的电路是对偶的（dual），那么它们的系统模型在数学上是一致的，使用“电荷传输”一种模型即可。如果不是对偶的，就应该充分利用电路的磁通-电荷二象性，针对电荷和磁通的不同模型，开发不同的应用电路。

（二）电路的对偶原则

图2中节点法和回路法的两个模型，看起来是互为对偶的。所谓的“对偶”，就是假定有两个电路，一个是按节点法模型构建的“电荷传输”型电路，一个是按回路法模型构建的“磁通传输”型电路，如果它们的电路方程组在数学上是相同的，只是互换了变量和参数[1-4]，那么这两个电路就是互为对偶的。

可互换的变量为对偶变量，如节点电位与回路电流（网孔电流），支路电压与支路电流，电容存储的电荷与电感储存的磁通等。可互换的参数为对偶参数，如电阻与导纳，电容与互感等。

相应的，还有可互换的元件，称为对偶元件。常见的有，电阻与电导，相滑移（Quantum phase shift，QPS）结与约瑟夫森(Josephson junction，JJ)结，（受控）电压源与（受控）电流源，如图3所示。

图3. 互为对偶的元件

如果一个以“电荷传输”模型工作的电路和另一个以“磁通传输”模型工作的电路是对偶的。那就意味着，电路“磁通传输”模型是能用“电荷传输”模型来等效的，那就无需再专门研究“磁通传输”模型了。

事实上，实际电路是很难实现对偶原理的，原因是，电荷和磁通在电路内的存储与传输特性都是不对称的。

（三）电荷磁通存储的非对称性

        在电路中，电荷存储在跨接在节点（含基准点）间的电容里，磁通则存储在回路自感及回路间的互感里。节点电容和回路电感的特性是不对称的，如图4所示。

图4. 节点电容和回路电感的对比

可以看到，一个节点的总电容是该节点与其他节点（含基准点）互有的部分电容的总和，如图4（a）所示（部分电容概念，请参考电磁场理论）。但是，一个回路的自感，则是由回路自身的路径决定的，同该回路与其他回路的互感无关，如图4（b）所示（自感和互感计算，请参考聂以曼公式）。因此，电荷和磁通在电路中的存储特性是不对称的

（四）电荷磁通传输的非对称性

        在电路中，电荷由跨接在两个节点（含基准点）间的支路元件，从一个节点传输到另一个节点。磁通被串在一个或多个回路中的支路元件，在一个回路或多个回路间转移和分配；支路元件在节点和回路中的连接方式是不对称的。对应的，关联矩阵A和回路矩阵B中列元素的取值规则也是不同的，如图5所示。

图5. 矩阵A和矩阵B列元素的取值及含义[8]

在电荷传输系统中，支路Branch-j，只有两个端子，要么接在两个非零节点上，要么一端接非零节点，另一端接基准点，如图5(a)所示。对应的，矩阵A的第j 列，要么有“+1”和“-1”两个非零值，要么只有 “+1”或“-1” 一个非零值。

在磁通传输系统中，支路Branch-j，可在一个或多个回路中，如图5(b)所示。与之对应，矩阵B的第j 列有一个或多个非零值。

因此，矩阵B的取值范围包含且远大于矩阵A的取值范围，意味着，“磁通传输”系统比“电荷传输”系统具有更丰富的结构和功能，两者无法互为对偶。

（五）小结

现有电路理论[1-4]提供的电路分析方法，停留在列写KCL与KVL的“套路”上，没有进一步解释电路方程组背后的物理机制：电路既是“电荷传输”网络，又是“磁通传输”网络，电路行为具有“电荷-磁通二象性”。

电荷在节点的存储与磁通在回路的存储，电荷通过支路在节点间的传输与磁通通过支路在回路间的转移，不满足对偶原则。因此，电路的“电荷传输”模型和“磁通传输”模型并不是互为对偶的，两种模型应分别进行开发和利用。

电路的“一体两面”对应两种不同的“分析方法”。“电荷传输”的一面，使用节点法的电路方程组和系统模型进行分析。“磁通传输”的一面，则使用回路法的电路方程组和系统模型进行描述。

当前的数字和模拟电路，主要采用晶体管、场效应管等半导体元件实现，都是“电荷传输”网络；它们的仿真设计软件，也相应采用（改进）节点分析法 [4]。

相比之下，回路法仍停留在手工列写方程的教学阶段，没有得到广泛应用。原因是缺少必须用“磁通传输”模型分析的电路。

超导约瑟夫森结电路，由约瑟夫森结和超导线互连构成，是一种以“磁通传输”方式工作的特殊电路 [5]。但是，

1）超导元件——约瑟夫森结和超导线，都是相位依赖（phase-dependent）的，没有常规的VCR；

2）超导环路，满足的是磁通量子化定理（Fluxoid quantization law，FQL），而非KVL约束。

现有电路分析方法，不能直接应用于超导约瑟夫森结电路。

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电磁场通量分配模型（Electromagnetic-Flux-Distribution Model）[5]是一种以电荷和磁通为载流子，分析电路，特别是相位相关（phase-dependent）电路（如约瑟夫森结电路，相滑移结电路）的通用模型；其对应的 磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）[6][7]和电通流图（Electric-charge-flow diagram，ECF diagram）[8]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图，能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用，加深对电路功能的理解。特别的，MFF图以磁通为载流子，直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1]   C. Desoer and E. Kuh, Basic Circuit Theory. Tokyo, Japan: McGraw-Hill, 1969, pp. 444-461.

[2]   邱关源, 罗先觉. 电路（第6版） [M]. 北京: 高等教育出版社, 2022.

[3]   汪建, 李开成. 电路原理下册（第3版） [M]. 北京: 清华大学出版社, 2020.

[4]   周庭阳，张红岩. 电网路理论（图论 方程 综合） [M]. 北京: 机械工业出版社, 2008.

[5] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[6] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits,"  IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[7] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693

[8] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025