在《基于图(Graph)的5种电路分析方法（1）——总览》中，我们用一个具体电路的分析示例，一探现有电路理论中5种分析方法的本质，即KCL与KVL表达式的5种写法[1-4]。再从具体到一般，进一步梳理这5种电路分析方法的数学原理，对比其生成的系统模型。

（一）电路的图（Graph）

一、图的两个元素——节点和支路

电路是将一组电路元件接到节点构成的连通网络。自然的，通过把二端子元件看作支路、等电位节点看作顶点，可以将电路抽象成图（由一组支路E (G)连接一组顶点V(G) 构成的图形）。在此基础上，为节点定义节点电压，为支路定义支路电压、支路电流及其电压-电流关系（current voltage relation，VCR），可以进一步分析电路功能。

可见，电路分析，是用“图”描述电路的“形”（结构），用图元素的电压、电流变量及其VCR，描绘电路的“神”（功能）。电路图各元素及其定义，如图1所示。

图1. 电路的点-线图定义及其物理属性

一个电路的图G，包含（N+1）个顶点和 Z 条支路，对应集合V (G)和E (G)。

集合V (G)中的1个顶点 Ground 是基准点（Datum node），其电压恒零；其余N个顶点都有一个相对于基准点的电位。

集合E (G)中的每条支路，代表一个二端子元件，其功能由VCR描述, 其中的支路电压、支路电流的极性和流向是按关联参考方向定义的[1-4]。

所以，电路的图是一种有向图。

基本的二端子元件及其VCR如图2所示。它们是模拟电路原理的单元模型。可分为3类：第1类是电阻(R)、PN结、约瑟夫森结(Josephson junction, JJ)等具有特定VCR的功能元件。第2类是描述电场、磁场相互作用的电容（C）、电感(L)、互感（M）元件。第3类是理想电压源、电流源、受控电压源、电流源等单变量元件，它们通常和电阻结合成一个支路，以形成双变量的VCR，否则影响电路方程的直接求解（这是后话）[4]。

图2. 基本的二端子元件及其VCR

二、关联矩阵A

图G的结构，即顶点V (G)和支路E (G)的连接，由图1中的关联矩阵A描述。关联矩阵A用“+1”、“-1”、“0” 三种取值，定义了Z条支路与N个节点之间的连接关系，准确描述了每个支路在图G中的位置和取向。

电路默认（Default）是连通网路（所有支路端子不悬空，所有回路都闭合），因此，支路和基准点的关联信息是冗余的;相应的，电路分析用的关联矩阵A是降阶关联矩阵（Reduced incidence matrix）[1]，其中缺省了支路与基准点的关联信息。

三、图的割集与回路

连通图G中，包含一棵由N条支路构成的树T。这N条支路称为树T的树支，其余的（Z-N）支路则称为树T的连支[2]。以树T为参照，可以从图G中提取两种对象：

1）单树支割集。每次只分割树T的一根树支，可得一个单树支割集。一个图G，共有N个单树支独立割集（cut-set），定义为集合CS(G)：

CS(G) = {Cutset-1，… ，Cutset-N }。

2）单连支回路。每次只添加一根连支到树T，可得一个单连支回路。一个图G，共有Z-N个单连支独立回路（loop），定义为集合DL(G)：

DL(G) = {Loop-1，… ，Loop-(Z-N) }。

此外，如果图G可以展开成一个平面图，由欧拉多面体公式（顶点数–支路数 + 表面数 = 2）可知，可定义 (Z-N) 个网孔（mesh），组成网孔回路集合MS(G)：

MS(G) = {Mesh-1，… ，Mesh-(Z-N) }。

因此，除了关联矩阵A（集合V(G)和 E(G)之间的关联），连通图G的结构还可以用Q、B、M矩阵描述：

1）基本割集矩阵Q：集合CS(G)和 E(G)之间的关联。

2）基本回路矩阵B：集合DL(G)和 E(G)之间的关联。

3）平面网孔矩阵M：集合MS(G)和 E(G)之间的关联。

四、基本割集矩阵Q

单树支割集及其基本割集矩阵Q的详细定义，如图3所示。其中，每个单树支割集，用所含树支的支路电压作为割集电压，所含树支的参考方向作为割集的参考方向。在此基础上，基本割集矩阵Q用“1”，“-1”，“0”三种取值，定义Z条支路与N个独立割集之间的包含关系。

图3. 单树支割集及基本割集矩阵的定义

五、基本回路矩阵B

单连支回路及其基本回路矩阵B的详细定义，如图4所示。其中，每个单连支回路，用所含连支的支路电流作为回路电流、所含连支的参考方向作为回路的参考方向。在此基础上，基本回路矩阵B用“1”，“-1”，“0”三种取值，定义了Z条支路与 (Z-N) 个独立回路之间的连接关系。

图4. 单连支回路及基本回路矩阵的定义

六、平面网孔矩阵M

一个电路如果是平面的，还可用一组网孔回路及网孔矩阵M描述，如图5所示。其中，每个网孔回路，含有一个网孔电流。相应的，网孔矩阵M用“1”，“-1”，“0”三种取值，定义了Z条支路与 (Z-N) 个网孔回路之间的连接关系。

图5. 网孔回路及网孔矩阵的定义

（二）5种电路分析方法

一、KCL与KVL的5种表达式

应用图G的结构信息和支路VCR，列写电路方程组的步骤，如图6所示。其中，应用图G的A、B、Q、M矩阵，可得到5种KCL和KVL表达式，对应形成教科书[1-4]中所谓的“支路”法，“节点”法，“割集”法，“回路”法，“网孔”法。可以看到：

1）“支路”法用矩阵A列写支路电流的KCL，用矩阵B列写支路电压的KVL，得到的是2倍支路数的基本电路方程组。

2）“节点”和“割集”法分别以“节点电压”和“割集树支电压”为变量，用矩阵A和Q，对基本电路方程组中的支路电压做变量代换。

3）“回路”和“网孔”法分别以“回路电流”和“网孔电流”为变量，用矩阵B和M，对基本电路方程组中的支路电流做变量代换。

图6. 列写电路方程组的步骤及5种KCL与 KVL表达式

二、“支路”分析法

    将“支路”分析法的电路方程组，绘制成系统模型，如图7所示。其中，一组支路是一组子系统，其输入、输出通过A和B矩阵在节点和回路中相互干涉。

图7. 支路分析法描述的电路系统模型

三、“节点”分析法

    将“节点”分析法的电路方程组，绘制成系统模型，如图8所示。其中，结点产生一组节点电位，通过矩阵A，驱动Z条支路，使得支路的输出电流满足KCL。

图8. 节点分析法描述的电路系统模型

四、“割集”分析法

  将“割集”分析法的电路方程组，绘制成系统模型，如图9所示。“割集”法和“节点”法的系统模型是相似的，只是使用的电压变量不同。

图9. 割集分析法描述的电路系统模型

五、“回路”分析法

将“回路”分析法的电路方程组，绘制成系统模型，如图10所示。其中，单连支独立回路产生一组回路电流，通过矩阵B，驱动Z条支路，使得支路电压满足KVL。“回路”法的系统模型与“节点”法、“割集”法的系统模型看起来是对偶的。

图10. 回路分析法描述的电路系统模型

六、“网孔”分析法

将“网孔”分析法的电路方程组，绘制成系统模型，如图11所示。“网孔”法和“回路”法的系统模型是相似的，与“节点”法、“割集”法的系统模型看起来是对偶的。

图11. 网孔分析法描述的电路系统模型

（三）小结

现有电路分析方法的本质是，将电路抽象成图（Graph），用关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵Q、网孔矩阵M，描述电路图的结构，用支路的VCR，描述元件功能。

最终列写的电路方程组包括，用结构信息列写的KCL和KVL表达式，以及Z 条支路的VCR。

使用矩阵A、B、Q、M，可得到5种KCL和KVL表达式，对应形成5种分析方法：“支路”法，“节点”法，“割集”法，“回路”法，“网孔”法。它们的区别仅体现在电路结构的描述上。

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电磁场通量分配模型（Electromagnetic-Flux-Distribution Model）[5]是一种以电荷和磁通为载流子，分析电路，特别是相位相关（phase-dependent）电路（如约瑟夫森结电路，相滑移结电路）的通用模型；其对应的 磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）[6][7]和电通流图（Electric-charge-flow diagram，ECF diagram）[8]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图，能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用，加深对电路功能的理解。特别的，MFF图以磁通为载流子，直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1]   C. Desoer and E. Kuh, Basic Circuit Theory. Tokyo, Japan: McGraw-Hill, 1969, pp. 444-461.

[2]   邱关源, 罗先觉. 电路（第6版） [M]. 北京: 高等教育出版社, 2022.

[3]   汪建, 李开成. 电路原理下册（第3版） [M]. 北京: 清华大学出版社, 2020.

[4]   周庭阳，张红岩. 电网路理论（图论 方程 综合） [M]. 北京: 机械工业出版社, 2008.

[5] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[6] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits,"  IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[7] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693

[8] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025