在《“哥尼斯堡”电路学(6)—载流子流（ECF）图》中，我们介绍了载流子传输系统的ECF图。ECF图，既直观描绘了载流子容器(ECC)和传输通道(ECP)之间的连接关系（结构信息），又形象描绘了容器与容器之间、通道与通道之间的相互作用（功能信息），是一种兼具结构与功能的图形化建模语言。它还满足所画即所得原则， 只要绘制出一个载流子传输系统的ECF图，即得该系统的数学方程和动力学模型。

电路是一种以电荷为载流子的传输系统，其ECF图，既描绘出了电荷的流通路径，又描绘了电荷在导体节点聚集时的电场相互作用、在元件支路流动时的磁场相互作用。

绘制出一个电路的ECF图，即得该电路的电路方程组，也即完成了电路分析。

为了对照，回顾一下现有电路理论和分析方法。

现有电路分析理论[1]，用图论(Graph theory)的点-线图(Graph) 描述电路结构，再结合基尔霍夫电流和电压定律（KCL与KVL）[2] 列写电路方程。其中，KCL和KVL是德国物理学家基尔霍夫（G.R. Kirchhoff）在1845年提出的，图论方法则是从1930年代开始由电路理论家吉耶曼（E.A. Guillemin）引入到电路理论中的[3]。

（一）基于图论的电路分析方法

图论方法用点-线图描述电路结构。一个点-线图（G）包含三要素：

1）1个点(Vertex)集合（V(G)）；

2）1个线（Edge）集合（E(G)）；

3）1个二元关系矩阵（关联矩阵A）。

集合、矩阵中的各元素及其在电路中的定义，总结如图1所示。 

图1. 点-线图三要素及其对电路元素的描述

一、电路节点集合

电路节点把电路元件的端子捏在一起，使电路连通，电流交汇。一组节点构成了图的顶点集合V(G)。其中一个节点（Ground），规定为基准点（Datum node），其电压恒为零。以此基准点为参考，其他节点（Node-i，i∈{1,…, N}）则拥有各自的节点电位（v_nd-i）。

二、元件支路集合

接在两个节点之间的二端子元件就是支路（Branch）。一组支路构成了图的边集合E(G)。任意一条支路（Branch-j，j∈{1,…, Z}在电路中都有其电学性能，即在支路电压v_{br_j}的驱动下会按参考方向从正端向负端流过电流i_{br_j}。因此，每个元件都对应有一个电流-电压关系(voltage-current-relation, VCR)函数 F_{br_j}(v_{br_j},i_{br_j},t) = 0 ，以描述其电学功能。常用二端子元件及其VCR，总结如图2所示。

图2. 常用的二端子元件及其VCR

三、节点与支路的关联矩阵A

关联矩阵A的元素用“+1”、“-1”、“0” 三种取值，描绘了电路中所有元件支路在节点处的连接关系，从而将电路图形转化成代数参数，以便后续列写电路方程。电路默认（Default）是闭合网路，所有支路两端都与节点（包括基准点）相连。因此，支路和基准点的关联信息就是冗余的，因而，电路方程中所使用的关联矩阵A，是不包括支路与基准点关联信息的 降阶关联矩阵（Reduced incidence matrix）[1]。

四、推导电路方程的两个数学约束：KCL和KVL

电路分析理论中所用的KCL和KVL是两个数学约束，其表达式如图3 所示，其在电路中的含义，概括说明如下：

1）KCL：节点电荷无余。流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和，因此，节点处各支路电流的代数和为零。

2）KVL：节点电位唯一。支路正、负端所在节点的电位差等于支路电压，因此，回路中各支路电压的代数和为零。

图3. KCL和KVL的数学表达式

五、从点-线图中推导的电路方程和系统模型

       给定一个电路，绘制出其点-线图，再应用KCL和KVL，即可列写该电路的电路方程组。从点-线图中推导的电路方程和系统模型，如图4所示。其中，

      1）电路变量包括：N个节点电位（V_nd），Z个支路电压（V_br），Z个支路电流（i_br）。

      2）电路方程包括：N个节点的KCL方程，Z个支路电压的KVL方程，Z个支路的VCR。

最终，从上述方程中，求解各变量的数值，分析电路的状态。 

图4. 从点-线图中推导的电路方程组及其系统模型

（二）理解基于图的电路分析方法

一、KCL和KVL是数学约束而非物理定律

1845年发表的KCL和KVL只是列写电路方程所需的数学约束，并非实际电路的物理定律。电路的电磁场相互作用定律满足1873年发表的“麦克斯韦方程组”。

在实际电路中，基尔霍夫定律与麦克斯韦方程组是冲突的。

1）基尔霍夫电流定律认为：节点处有可变电位，但无净电荷。麦克斯方程组的高斯定理表明，电荷生电位。节点有电荷才产生电位。同时，节点电位，将通过自电容在本节点蓄积电荷，并通过互电容在其他节点引入电荷。

2）基尔霍夫电压定律认为：回路中有可变环流，但无净磁通。麦克斯方程组的安培定理表明，环流生磁通。回路环流，将通过自感在本回路产生磁通，并通过互感在其他回路产生磁通。

    简言之，此 满足KCL的节点，非 彼 满足高斯定理的节点；

                        此 满足KVL的回路，非 彼 满足安培定理的回路。

因此,要用满足KCL和KVL的点-线图，建立电路模型，还需借助图2 (b1)~(b3) 所示的电容、自感、互感元件，对实际电路的节点和支路模型进行修正。其修正方法是：

1）在节点间加入额外的电容支路，以储存节点蓄积的电荷。

2）在回路中插入额外的自感、电感支路，以储存环路耦合的磁通。

这些额外增加的电容、自感、互感元件，是依据电路中电磁场相互作用机制建立的模型，不一定是电路中可见的实物。

二、点-线图用来确定变量和方程数。

点-线图只是列写电路方程的数学模型。我们把电路绘制成点-线图，再利用图论中的顶点、支路、树、树枝、连枝、回路、割集等概念，确定描述电路的变量及方程数。最终，节点的KCL，支路的KVL，及支路的VCR，组成了该电路点-线图模型的方程组。

（三）“哥尼斯堡”型电路的点-线图

图5展示了如何为一个“哥尼斯堡”型电路绘制点-线图。图5（a）是“哥尼斯堡”型电路的ECF图，其中，ECC 的Q_e输入、ECP的v_b输入、ECC间的C_n关系、ECP间的L_cp 都是各对象的内在属性，可以隐去，从而使ECF图看起来更简洁。 

图5. 从ECF图到点-线图的转化示例

但是，电路的点-线图，必须将所有电路要素转化成点和线，才能使其体现在最终的电路方程中。因此，将ECF图中所有要素转化成点-线图模型需要经历三个步骤。

一、绘制ECC和ECP的关联矩阵σ_n

    如果将ECC 转化为节点，将ECP 转化为支路，那么描述ECC和ECP连接关系的矩阵σ_n，就是图5（b）所示点-线图的关联矩阵。

二、绘制ECC的C_n矩阵和Q_e输入

         电路中的ECC，其电荷传输和存储由储量公式和定价公式描述，如图6 所示。可以看到，进出ECC的电流有三种，除了由ECP输入输出的电流i_cp，还有ECC间流动的位移电流，以及外部注入电荷产生的电流。 

图6. 流入流出ECC的三种电流

因此，要将ECC转化成满足KCL的节点，还需要额外增加两种支路，如图5（c）所示。

1）在每个节点与Ground之间接入一个电流源支路。该电流源将外部电荷Q_e输入节点。

2）在每个节点与Ground之间、节点与节点之间，增加额外的电容支路。这些电容支路的定义及容值描述，如图7所示。 

图7. 将ECC作为节点需额外引出的两种电容支路及容值

三、绘制ECP的L_cp矩阵和V_b输入

        电路中的ECP，其内部构成包括：偏置电压源，ECP自感及互感产生的感应电动势，以及电荷传输元件（为图2（a1）~（a4）所列元件）。这些组成要素都要实例化为具体的电路支路，如图5（d）所示。

可以看出，用点-线图描述ECP的功能，还需要在ECP支路中，增加额外的多个节点和多种支路。其中，增加最多的是描述L_cp元素的互感支路。这就是为什么，绘制集总电路图时，总要尽可能忽略支路间的互感，否则，最终的电路图将变得无比复杂。

（四）小结

    现有电路分析理论的标志性特征是，以点-线图为数学模型，以KCL和KVL为数学约束，应用图论的基本定理列写电路方程。需要了解的是：

       1)    KCL和KVL，乃点-线图模型的“约束条件”,非实际电路的“物理定律”。

       2)    点-线图与电路图，乃“形似”，非“神似”。绘制电路的点-线图时，仅将电路的节点画成顶点，电路的元件画成支路，只做到了结构上“形似”，还需基于电磁场理论，增加节点间电容支路，支路间的自感、互感支路，才能建立电路的物理模型，做到“神似”。

    3)    非互易性：一个实际电路可以绘制成一个点-线图模型，但，一个点-线图模型不一定都能转化成一个符合电磁场原理的实际电路。

简言之，基于点-线图和基尔霍夫定律的电路理论，是一种电路网路的数学建模方法。所建数学模型的准确性，还要依赖使用者对电路内部物理原理的深入理解。

相比而言， ECF图是对电路拓扑结构和物理原理的完整描述。其模型遵循载流子守恒定律、能量守恒定律、电荷的高斯定理、磁通的安培定律、磁通的法拉第电磁感应定律；其应用满足所画即所得原则，绘制出一个电路的ECF图，即得到该电路的物理方程和系统模型。

  类比是一种本能思维模式，虽不严谨，但符合直觉，可以加快对复杂事物的理解。

  电磁场通量分配模型（Electromagnetic-Flux-Distribution Model）[4]是一种以电荷和磁通为载流子，分析电路，特别是相位相关（phase-dependent）电路（如约瑟夫森结电路，相滑移结电路）的通用模型；其对应的 磁通流通图（Magnetic-Flux-Flow diagram，MFF diagram）[5][6]和电通流图（Electric-charge-flow diagram，ECF diagram）[7]是描绘电荷和磁通传输的新型交互式电路图，能帮助我们更直观地分析载流子的电磁场相互作用，加深对电路功能的理解。特别的，MFF图 以磁通为载流子，直观地诠释了 具有宏观量子效应的超导约瑟夫森结电路 的工作原理。

[1]   C. Desoer and E. Kuh, Basic Circuit Theory. Tokyo, Japan: McGraw-Hill, 1969, pp. 444-461.

[2]   G. Kirchhoff, "On the Solution of the Equations Obtained from the Investigation of the Linear Distribution of Galvanic Currents," IRE Transactions on Circuit Theory, vol. 5, no. 1, pp. 4-7, 1958, doi: 10.1109/tct.1958.1086426.

[3]   Franco Maloberti and A. C. Davies, A Short History of Circuits and Systems. The Netherlands: River Publishers, 2016.

[4] Y. L. Wang, "An Electromagnetic-Flux-Distribution Model for Analyses of Superconducting Josephson Junction Circuits and Quantum Phase-Slip Junction Circuits," IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 32, no. 5, pp. 1-6, Aug 2022.

[5] Y. L. Wang, "Magnetic-Flux-Flow Diagrams for Design and Analysis of Josephson Junction Circuits,"  IEEE Transactions on Applied Superconductivity, vol. 33, no. 7, pp. 1-8, Oct 2023

[6] Y. L. Wang, "A general flux-Based Circuit Theory for Superconducting Josephson Junction Circuits," arXiv:2308.01693, pp. 1-35, 2023.https://doi.org/10.48550/arXiv. 2308.01693

[7] Y. L. Wang, " Electromagnetic-Field-Based Circuit Theory and Charge-Flux-Flow Diagrams," arXiv:2403.16025, pp. 1-40, 2024.https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.16025