罗素怀特海的PM,皮亚诺的PA,哥德尔的P__读哥德尔之三

阳春三月，游串频仍，

数次租车，简短行程，

远方贵客，粤地三城，

忙中间隙，偶有闲文。

这碌碌转的折腾瞎忙，三月就这么飞快地溜走，再转到哥德尔这里接续再读，已经是人间四月天，春日清明节矣。不过，忙碌的阳春三月，自感收获连连。有朋自远方来，不亦乐乎。有幸赴深珠见知音老友，不亦乐乎。有古篆墨宝小照，有镌刻印鉴厚谊，不亦乐乎。世道维艰，却人间有情，亦人生之欣慰也。

清明节图

博安挚友的古篆墨宝照

还是那句老话，相逢总是短暂，独处才是常情，再读哥德尔吧。

读哥德尔那个原著英译本的导言，先有了元数学的一般性知识，接着要做的，就是跟着这个导言，来看看理解哥德尔的另一个背景性认知，那就是他的形式系统P的来源。那么，哥德尔的形式系统P，是从何而来的呢？

一、罗素 怀特海的系统PM及其公理

哥德尔的原创论文有一个长长的封面题目：

《论<数学原理>及其相关系统的形式上不可判定性命题》

题目中的《数学原理》（principia mathematica）是一本逻辑经典，罗素与怀特海撰写的三卷本巨著。为了严格证明一些算术命题的不可判定性，哥德尔自然要精准地考虑，这些算术命题属于什么样的算术演绎系统。这就如同哥德尔在论文标题中指出的，他取用的算术演绎系统，一部分属于《数学原理》中的逻辑系统。《数学原理》中的这个逻辑系统，在哥德尔原创论文中，他简称为PM。

罗素与怀特海

不论是PM，还是PA，还是两者合成而变换为哥德尔的P，一个最为显式的特征是都以公理作为出发点，由此来导出定理，从而形成一个证明系列。PM作为理解哥德尔定理的必备知识，在还未深入到哥德尔的文本，仅在勾勒其常识性背景之时，解释PM全部内容似乎暂无必要，此篇也就只作简单勾勒，把PM的公理陈列如下。

PM先有命题逻辑的公理四条。

PM公理1：p∨p→p,这称作重言律。

PM公理2：p→p∨q,这称作析取引入律。

PM公理3：p∨q→q∨p，这称作析取交换律。

PM公理4：（(q→r)→((p∨q)→(p∨r)），这称作蕴涵析取引入律。

这个PM，因为引入全称量词“所有”和存在量词“存在”∃，也就增加了谓词逻辑的公理两条。

PM公理5：x((F（x）→F(y))，这称作全称特例律，从一般到特殊。

PM公理6：F(y)→(∃x)F(x)，这称作存在概括律，从特殊到一般。

以上PM的六个公理，直观上不难接受，这些公理正是PM推出定理的出发点。(参看王宪钧《数理逻辑引论》）

二、皮亚诺的PA及其公理

除了PM，哥德尔还需要他的演算能够表述算术，而由于哥德尔的证明是元数学的，所以,他在给出PM的描述之后，着手一个不同于PM的形式系统P。而要建构这个形式系统P，他还得引用一些东西，用哥德尔自己的话来说：

我们现在得前进一步，走到上述证明更为严格的发展阶段，通过给出一个形式系统P的精确描述后再行起步，对这个系统P，我们寻求证明不可判定性命题的存在。而这个P，本质上是这样的一个系统，它是通过把皮亚诺公理叠加在PM的逻辑之中而获得的（数被看作为个体，后继关系被看作为不加定义的基本概念）。

（哥德尔《论<数学原理>及其相关系统的形式上不可判定性命题》英文版第40页）

皮亚诺

这样，哥德尔需要引进皮亚诺PA的一套东西，这个皮亚诺PA中的公理，就是我们在进入哥德尔之前已经做过准备的知识。皮亚诺原创的算术系统，有九条公理，后来发现，九条公理可以缩减为五条，也在这里排列如下。

PA公理1: 1∈N，这表示1是自然数。

PA公理2：（（n∈N）→（（n’∈N）），这表示任何数的后继都是自然数。

PA公理3：(((a∧b)∈N)) → ((a = b) = (a’= b’))) ，这表示两个自然数相等，当且仅当它们的后继相等。

PA公理4： (n∈N) → ((~(n’=1))，这表示，1不是任何自然数的后继。

PA公理5：设k∈K，则有：（（1∈k)∧(n)（n∈k)）→ n’∈k))→ (N∈k),这个公理就是数学归纳法的表述。可以把k看作是类，若当作某种性质，理解起来更为直观，这里权当性质来解释。对任意自然数，若1有k性质，并且，任意n都具有k性质，那么n的后继n’也具有k性质。这就表明，所有自然数都具有k性质。

（参见我的新浪博文857，858，860，861，862）

数学家把逻辑推演弄成公理化系统，这个公理化的潮流又让皮亚诺等数学家把算术也弄成公理化系统。公理化在这两个领域的成就，衍生出了哥德尔的形式系统P。那就是此前刚刚引出的哥德尔的一段话：

这个P，本质上是这样的一个系统，它是通过把皮亚诺公理叠加在PM的逻辑之中而获得的（数被看作为个体，后继关系被看作为不加定义的基本概念）。

三、哥德尔形式系统P及其获得的两个矛盾公式：“ 17Gen r”和“ Neg（17Gen r）”

随后，哥德尔对其形式系统P作了详细描述，我在此先列出系统P的基本构件，更深度的理解留给背景知识描述之后。哥德尔形式系统P的基本构件有：

（1）基本符号

 1）常元

2）第一类型变元

 3）第n类型变元

（2）合式公式，

（3）公理（初始公式），

（4）直接后承。

哥德尔为他的P系统陈述了符号建构和操作规则，他认为，他的P系统和怀特海Whitehead和罗素Russell的PM相比，应该更为精确。一个值得注意的与之不同，是哥德尔不使用有限数的公理，他以冯·诺依曼（von Neumann）的模式为榜样，除了皮亚诺（Peano）“公理”中的三个公理之外，另外八个“公理模式”，也都是每一个公理模式都涵盖了无穷多的情形：通过这种面对无限的方式，哥德尔就能仅通过两个“推理规则”来对系统符号予以操作。

哥德尔采用如此方式来说明形式系统P，是为了简化他P系统中某些公式的不可判定性的证明。正如他所解释的那样，这种不可判定性，并不是由于“所建立的系统的那些特殊性质，而是为了适用于非常广泛的形式系统类”，他为P选择的精确形式没有内在的重要性。其本质性的东西是，P应该是展示哥德尔发明的元数学证明方法的一个合适选择。因为这个选择，一个如此之强而有力的方法建立起来，它可以为每个能表达算术的形式系统建立“不可证”的结果。

这样的结果，随后就贯穿在他的论文中。哥德尔建构起形式系统P之后，继续关注的就是符号的操作，符号操作意图表述的，则是算术系统的演算。他在其论文末尾命题VI中，所证明出来的东西，就是有关演算的结论，并不是有关演算本身表达出的东西。整篇论文直接建立起来的结论，是两个公式，一个是肯定公式，一个是否定公式。

这两个公式中，

第一个公式由“ 17Gen r”所表示，出现在论文英译本尾部的第55页。

第二个公式由“ Neg（17Gen r）”所表示，也出现在论文英译本尾部的第55页。

这两个公式，可以从演算的初始公式，即系统公理中，通过演算的符号操作规则来获得。如果演算被解释（如果可以解释的话），由此而表达了《数学原理》演绎系统中的算术部分；如果该演算还伴随有第二个公式，也就是，这第二个公式表达出的算术命题，它与第一个公式所表达出的算术命题是相矛盾的，那么，有关演绎系统的那个定理，它对应于演算定理，也就陈述了：

“ 17 Gen r”在系统之内是不可证的，

同时也使得该命题的矛盾命题，

“ Neg（17Gen r）”在系统之内也是不可证的。

因此，在这个算术系统之内，这两个矛盾命题都不可证。

哥德尔正在考虑的这个算术演绎系统，他从该算术演绎系统获得的不可证性定理，只是相关于其演算中的命题VI的推论，一个看起来并不复杂的推论。因此，这篇论文关注的，是一个互为否定的析取式，也就是如下自然语言复合语句所表达的：

一个公式，它在特定演算中可以获得的东西，或者，一个公式，它在特定演算中不可以获得的东西。

这个结论看似平常，但要得到它，不是一件容易的事情。我们似乎已经走到了哥德尔思想的大门口，已经知道了元数学的概念，已经知道了两个公理系统，PM和PA的公理系统。我们也已经看到，哥德尔设想和构造的形式系统P，这个P系统产出了一对矛盾命题不可证的结论。但是，还得交代一点理解哥德尔的背景性知识，还得继续跟读那篇为哥德尔论文提供背景性知识的导言。什么是“算术化方法”？什么是“递归”？这些理解哥德尔的关键性概念，还需要我们的跟进，还需要为这些折磨人的知识，消磨我们的时间和闲暇。在这样的消磨之中，来体验智慧的存在，生命的意义和世界的价值。