对角线 理查德数和不可判定命题——哥德尔原著英译本拆解汉译之二

一直在搜寻Martin Hirzed的2000年哥德尔原著英译本，前几天在网上的随意搜寻，竟然在豆丁网页上发现了。要价还算合理，4元就可全文下载。下载后的文本是所谓的超文本（Hyper text）,文本还间或带有彩色字符。正在设想这重读哥德尔的博客该如何延续，下载后再读这个Hyper text，以0作为第一部分：“关于这个文件”的起首一段，好像再次激活了我的弄文兴趣。先汉译其首段，从这段汉译大概可以窥知，我何以被这个首段所激活。

Martin Hirzed 哥德尔英译本汉译0节

0节首段汉译：（省略注释标号）

0 关于这个文件

哥德尔著名的证明是高度有趣的，但是，理解这个证明也许就难度很高。难度高的原因，有些归之于这样一个事实，哥德尔使用的那些符号，其中大部分都被其它的符号取代了。难度高的另一些原因则归之于另外一个事实，哥德尔的证明格式太为简洁，它们有时候要求读者对公式做出他自己的解释，或者要求读者对许多哥德尔定义烂熟于心，但人们似乎很难记得住这些定义。

我以为符号的大都被取代，是哥德尔文本理解困难最主要的原因。而哥德尔文本的简洁和定义众多，这本来就是逻辑和数学文本的通识，读者大概只有默默忍受，很难给出什么灵丹妙药的。除非是科普，绕过这些艰涩的定义和符号，不然没有什么捷径可走。

全世界成熟的自然语言，大抵都能无损原意的互译。但由那些特别定义符号构成的人工语言，则非专业人士难以逾越。即使专业人士，现代学科门类数不胜数，时过境迁造成的符号隔阂，势必增加对于经典文本的难读难解。Martin Hirzed的英译文本，恰好把哥德尔文本中使用的符号，几乎全都变换为当代可理解的常规符号，这个工作颇有点意义。粗读哥德尔原著的1962年英译本时，哥德尔的符号的确令人困惑难解，如果不是在张生的《证明方法与理论》一书中发现这个2000年黑白译本，我大概也只能在原著文本的符号面前认输止步了。而如今，有了这个Hyper text英译文本，至少先可以做一个旧版英译符号和这个新版英译符号之间的对照，在对照中寻求对于特定字符的理解。

好了，我们从哥德尔原著的导言重新开始，然后来比较哥德尔证明标号（1）开始的新旧版人工符号。在给出导言起始段之前，还是把原著文本的主要目标做个简述，这就是哥德尔在其文本中论及和证明的两个定理，以及哥德尔原著那个为很多人引用的导言首段。

一、围绕标号（1）的拆解汉译

哥德尔原著文本证明了两个定理，后世称为哥德尔第一和第二不完全性定理。

第一不完全性定理说的是：

一个包括初等数论的形式系统P，如果它是一致的，那么它就是不完全的。

第二不完全性定理说的是：

如果一个系统是一致的，那么这个系统的一致性在该系统中不可证。

（参见王宪钧《数理逻辑引论》第333页）

为完成这两个定理的证明，哥德尔原著文本是这样开始的：

原著文本拆解汉译导言首段：

“数学在更为精确方向上的发展，如众所周知的，导致它很大范围的形式化，所以证明就可以依据少数几个机械的规则来进行。迄今为止建立起的最全面的形式系统，一个是由罗素和怀特海在其《数学原理》一书中建立的公理系统（PM），另一个则是由策梅洛和弗兰克尔为集合论建立的公理系统（ZFC）。其后，策梅洛-弗兰克尔系统被冯.诺伊曼所扩展。这两个系统如此之全面，以致当今数学中所使用的所有证明方法，都可以在其中予以形式化。也就是说，可以归约为少数几个公理和推理规则。由此，似乎可以合理地推测，这些公理和推理规则，足以断定所有在涉及到的系统中以任意方式可被形式上表达的数学问题。以下将证明，事实并非如此。即使是在普通的整数理论中，也存在相对容易的问题，这些问题从公理出发不能够被判定。出现这种不可判定情形，不能归之于这些系统的性质，而是因为这种不可判定对于相当宽泛的形式系统类型而言，都是真实的存在。特别是包括这样一类，也就是通过给以上提到的系统增加有限数量的公理而获得的一类形式系统，而且，给以上提到的系统增加额外的公理，并不会使得假命题可证。”

（哥德尔著：《PM及有关系统中的形式不可判定命题》英译本(Boulder,November 27,2000 translated by Martin Hirzed)第1页）

随后，哥德尔似乎来了个急转弯，一下子就过渡到了系统PM中的某个特定命题A。对于这个命题A，无论是A本身，还是A的否定都不可证。

原著文本拆解汉译：

“我们现在将构造系统PM的一个不可判定命题，那就是命题A，如下所示，对于这个命题A而言，既不是A，也不是ØA可证。”

我们将把仅带有一个自由变元，该自由变元的类型为自然数的PM公式，称作类符号（class-sign）。我们将假定这些类符号可用某种方式按顺序编排，我们将把第n个顺序编排的类符号，称作R_n。请注意，概念“类符号”和序关系R都在系统PM内可定义。设α为任意类符号，我们用α(n)表示用n代入α中自由变元而形成的公式。再假定，三元关系xy(z)也在PM中是可定义的。现在，我们就定义一个自然数的类K如下：

K=｛nÎIN | Ø proveable(Rn(n))｝    （1）

以上为2000年英译本的标号（1）定义，注意，R后面的第一个n是作为R下标的方式呈现的。它表示了处在K中的第n个位置的那个R，而其后园括弧中的n，则是用数字n来代入R中的自由变元，由此而形成类符号R_n(n)。

现在，我们给出哥德尔原著1962年英译本的标号（1）表达式，该表达式照录哥德尔德文原版表达式而成。自然数类K的定义在Î（属于）符号之后出现，定义的标志不是等号=，而是≡，这个≡，哥德尔未作解释。按照其后哥德尔46个定义表达式中用法，应该是哥德尔为其观念下定义的标志。Bew是德文“可证”的缩写，其上的横线（找不到上横线，用下划线表示）表示否定，方括号中的R(n);n等同于2000年英译本的Rn(n)。

n∈K ≡bew[R(n);n]        (1)

哥德尔表达法是90年前的方法了，显然，2000年英译本的表达式，更容易为当代读者所理解。

用自然语言描述这个新译本标号（1）含义，其实也是原版定义的含义，可以将其理解如下：

自然数中的一个类K是这样的类型，K中有数字n使得命题(Rn(n))不可证。

哥德尔原著2000年译本，翻译成汉语，表达的是完全相同的含义：

原著文本拆解汉译：

换句话说，K是自然数n的集合，其中的公式(Rn(n))，是在你把数字n、插入其自身的公式Rn得到的，这个得到的公式(Rn(n))不可证。因为在这个定义中使用的所有概念，全都在PM中可定义，所以，这个复合的自然数概念K，它也在PM中可定义。也就是说，存在一个类符号S，使得公式S(n)，陈述了：nÎK。作为类符号的S，等同于某个特指的R_q，即:

对于某个确定的自然数q，我们有

SR_q

我们将证明，R_q(q)在PM内是不可判定的。

哥德尔原著导言，首先构造的是一个不可证命题。这个不可证命题在标号（1）中是公式(Rn(n))。当把n作为一个特指数字的时候，这可以表示为q。这个特指数字q，插入其自身的公式R_q，也就是用q来代入R中的自由变元之时，我们就有了公式R_q(q)。我们证明了(Rq(q))不可判定，注意不仅仅是不可证，等于是证明了在PM中存在不可判定命题。

二、从康托的不可数和理查德的并非理查德性质，再到哥德尔的不可证

哥德尔的思路似乎清晰明快，他要构造一个不可判定的命题。构造这个不可判定命题A的第一步，是定义出PM中，具有不可证性质的Rn(n)。我们对标号（1）的分析，首先来看这个公式Rn(n) 意味着什么？

公式Rn(n) ，为什么要将自然数n，前后相叠，一小一大地排列呢？这种表示观念的符号，很自然地让我们再次回溯到康托的对角线观念，并且还再次回溯到康托之后又出现的理查德数观念。有趣的是，康托的对角线数字排列，证明的是实数集合的不可数。而理查德数观念，也是借助对角线数字的排列，来表明理查德数的非理查德性质。两个对角线排列的使用，都和否定的性质相关，一个否定是不可数，另一个否定是非理查德性质。这样的两个否定，似乎和哥德尔给出的否定，即”不可证”观念，有某种天然的联系。

（一）先来回顾康托实数不可数的对角线构造

1874年康托发表题为《论实代数数集合的特性》一文，证明实数集不可数，数学史上著名的对角线证明方法因此篇论文而产生。这里仅对对角线构造做简略说明，以解读哥德尔标号（1）中的公式Rn(n) ，此处暂且忽略实数不可数的康托证明。

有趣的是，康托要证明的是某个客体不可数，哥德尔原著文本要定义的却是某个客体不可证，进而不可判定。两类客体看似天远地隔，却都是对于被涉及客体否定性质的表述。这大概在暗示着它们之间的某种潜在关联，我们且进入这个主题。看看康托的对角线是如何设定的，从中很容易查知，哥德尔的公式Rn(n)，正好就是对角线上的产物。

康托要证明实数集不可数，实数集不可数的另一种表述是，自然数集N和实数集R之间不可能建立一一对应。

康托为此做出证明时，先限定一个实数区间，把这个区间的每一实数构成了一个方阵。这个方法在克林的《元数学导论》中，给出了一个更为简洁明晰的实例，称作不可数集的单值函数集。这比康托为实数区间做成的方阵更容易理解，并且更容易与哥德尔的公式进行类比，这里就取单值函数集的实例。

不可数集的单值函数集，这种函数的定义域与值域都是可数集。这里再做一点限定，是以自然数为该函数集的定义域，也为该函数集的值域。对这样一个一元关系函数中的一些函数，未必全体，来做枚举，立刻就可以得到一个函数序列：

f₀(n),f₁(n),f₂(n),f₃(n),……

于是，我们看到一个单值函数的无穷序列集，函数f的下标显然是给函数f的一个编码，园括弧中的n则是定义域中的任意自然数，它显然是这个函数中的变元。由对n的取值不同，我们就会得到每一个f的一个单值的函数值。而对f的编码不同，我们也构成每一个f的单值函数值。由此，一个方阵就可以构造出来。这个序列因为f的编码不同，成为方阵的竖列。又因为变元n取值的不同，成为方阵的横行。

如下图所示：

f₀(0),  f₀(1),  f₀(2),  f₀(3),……

f₁(0),  f₁(1),  f₁(2),  f₁(3),……

f₂(0),  f₂(1),  f₂(2),  f₂(3),……

f₃(0),  f₃(1),  f₃(2),  f₃(3),……

     …………………..     

于是，我们看到箭头所示的方阵对角线上的函数，全都是编码数字和变元取值数字相同的情形。这种对角线数字类型，就是著名的康托对角线上的数字风景线。（参见克林《元数学导论》上卷第5页）

这样的数字风景线，后来在理查德数的方阵中，几乎以同样的方式出现。

（二）让我们再来看理查德数的构造：

康托之后，1905年，法国数学家理查德，构造出类似康托对角线数字的一个理查德数。原创的理查德数，是给任意一个可用有限字数来定义十进制小数，由此而产生的数，这些数可以做成一个列表。如下表所示：

a₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃…

a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃…

a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃…

…

a_n=0.a_n1a_n2a_n3…

这个设想很快就有很多变体，就像康托的不可数变体一样。此处同样不用原创理查德数，而是用变体的理查德数，来体验理查德的数字构造。这个变体产生了另一种类似原创的理查德数，以及由这个理查德数而派生的理查德性质。这种变体理查德数，大致可用以下偶数定义的实例来说明。

实例”偶数是能够被2整除的数”，这个定义由11个汉字组成。我们可以把这个偶数定义，配以自然数数字11。由这个实例，还可以推展式地想象，我们有无数个有关数的定义，每个定义都有一个自然数与之对应。所以，我们就完全可能按照定义所配数字的大小，由小到大排成一个序列，字数相同的则依据字母顺序排列。但这些定义所配的数字并不全是理查德数，理查德数，它还需要满足理查德数所具有的性质。

这个变体理查德数的性质，也以理查德来命名，称作理查德性质。这种性质就是哥德尔在导言部分就提及到的类符号或者一元关系，更逻辑的称呼是一元谓词。一个命题之中被论及的客体，那是主词。主词所具有的性质，那就是谓词。一个主谓句命题，谓词表达一个主词所具有的性质。

那么，什么是理查德性质呢？因为我们是给各种数下定义，下定义的语言格式也是一个主谓句。被定义的客体就是主谓句中的主词，其后的文字就是谓词。而谓词所表示的东西，就是主词的性质。以偶数定义为例，偶数是主词，能够被2整除是谓词，这个谓词正好说明的是偶数这个主词的性质。

现在，我们把注意力从主词“偶数”切换到该定义所配的数字11，这个11是不是具有偶数所定义的性质呢？变体理查德数的性质是这样来规定的：

如果给一个数定义配置的数字，恰好就具有这个定义所给定的性质，这被称为非理查德数。而如果给一个数定义配置的数字，恰好就不具有这个定义所给定的性质，这被称为理查德数。这里提到的两种性质，其中的一个为否定性性质：不具有该数字定义所给定的性质，就是所谓的理查德性质。

所以，理查德数就被定义为：具有理查德性质的数。由此，那个和偶数定义配置的数字11，自然就是一个理查德数。因为，这个11，恰好满足了不具备偶数性质的条件。

如同单值函数集可以做成一个序列一样，变体理查德数和理查德性质，恰好也是构成一元关系函数或者主谓句的两个要件，自然也可以构成一个序列。然后，这个序列再按照理查德性质的有无，按照给定序列中的编号，也构成一个方阵。此处忽略不属于理查德数的方阵，仅列出其中属于理查德数的方阵，它首先是一个无穷序列。

显然，我们有一个可编码的理查德数无穷序列，

l₀,l₁,l₂,l₃,l₄…

因为理查德数是具有理查德性质的数，这也可以表示为一元关系函数。亦可以用数字n来表示这个一元函数的变元，由此这个关系序列可以是如下表达式。

l₀(n),l₁(n),l₂(n),l₃(n),l_n(n)…

我们似乎于无形之中，又回到了康托的那个单值函数集方阵，同样的对角线也出现了。只不过更普遍的单值函数集，切换为更具体一些的有关理查德数的函数集。似乎什么也不用变化，照抄那个方阵也无妨大局，为区别计，我将函数f字符，切换为表示理查德数首拼音字母的l。

理查德数方阵如下图所示：

l₀(0),  l₀(1), . l₀(2),  l₀(3),……

l₁(0),  l₁(1),  l₁(2),  l₁(3),……

l₂(0),  l₂(1),  l₂(2),  l₂(3),……

l₃(0),  l₃(1),  l₃(2),  l₃(3),……

     …………………..

无论是康托的实数集不可数，还是理查德的理查德数不具备给定性质，都是给予论及对象的否定陈述。哥德尔的公式Rn(n)不可证，延续的就是这种对于论及对象的否定。而在这种论及否定的命题集合中，都在一个特殊的几何位置中出现特殊的公式，这就是对角线中的一串公式。它们的共同特征是：下标数字和变元取值数字是相同的n，只不过所代表的客体不同而已。下标的n，是序列的编号，而变元取值的n，则是用变元域中的一个客体来代入变元。

（三）Rn(n) 究竟是什么意思？

Rn(n) 具有不可证性质，这个‘’不可证‘’的否定性质，哥德尔将其看作为一个数字所包含的东西。这个数字限定在自然数，随着哥德尔文本的展开，标号（1）中的自然数类K，实际上就是在第二章中给逻辑公式配置的哥德尔数，这留待后续，此处暂且不表。

随后的文本将表明，哥德尔系统P中的元素，对其进行元数学的考察时，整个考察对象都算术化了，这被后世称为元数学的算术化。元数学算术化的中心议题就是把元数学的可证性命题，变换为形式算术PM中的语句。于是，PM中的任意公式α，我们都要指定一个名称┌α┐，这个名称就是下标的n。而且还必须构造一个一元谓词公式provable(α)，provable称作PM的可证性谓词。而可证性谓词的否定，自然就是不可证谓词Øprovable。圆括号中的n，表示的则是具有谓词性质的变元域。元数学和本体数学的区别在这里大概就表现为，本体数学或者逻辑的变元，常常是带有本体意味的个体变元。元数学的变元似乎不是个体的，而是超越个体的命题变元。Rn(n) 是作为命题而具有不可证性质的，构成命题的主词或者谓词客体，似乎没有什么可证和不可证的性质。

标号（1）定义了一个自然数类K，类K中的每一个数字n，都具有一个性质。这个性质翻译为中文，即：Rn(n) 不可证。一个客体可证或者不可证，这常常不是数字具备的性质。那么，数字何以具备可证或者不可证的性质呢？一个自然的联想就是，数字代表了数字以外的东西。这大概是自然数的神奇之处，它本身可以什么都不是，除了一个数字意义的符号之外。但数可以替代万事万物，如同毕达哥拉斯主义曾经宣言过的那样。表现在哥德尔的自然数类K上，自然数类K中的任意数字，有一些实际上只是逻辑公式的代名而已。

以数字来指代任意客体，大概从莱布尼兹那里就开始了，到哥德尔那里更上了一层楼。他在形式系统的语形学层面，用数的运算和关系彻底替代了并非数字观念客体的运算和关系。标号（1）中的公式Rn(n) ，就是数字替代客体的第一个典型实例。其中R所代表的关系，首先就是自然数字n之间的关系。进一步地分析，才会超越数字，发现元数学之中的一些基础性定理。

三、一个元数学的推理，证明A=R_q(q)时，它在PM中是不可判定命题。

（一）(Rq(q))在PM中不可判定

完全出乎跟读原著的意料之外，不可判定命题的证明异常简短，整个文本中，在以上定义的基础上，证明的描述大概不到中文字符300字，使用的证明方法是反证法。这个反证法，正是前述康托不可数和理查德数不具备定义性质的推理方法。哥德尔有原创，但其原创显然承继着前人的创造，并非是从天而降的无根之妄想。

为什么命题(Rq(q))在PM中不可判定呢？接下来的2000年英译拆解汉译文本，立刻给我们一个证明的全貌。

原著拆解汉译：证明(Rq(q))在PM中不可判定。

【英译者评注：借助在定义中插入以下等价式，我们就可以理解这个证明。

(Rq(q)) S(q) qÎK Ø proveable(Rq(q))，换句话说，Rq(q)陈述了“我不可证”】

现在假定Rq(q)可证，那么，它就是一个定理，自然为真，但因为标号（1）中的Ø proveable(Rq(q))也是一个真命题，这就和假设产生矛盾。假设自然不成立。

另一方面，如果假定Ø(Rq(q))可证，那么，我们有qÏK，即proveable(Rq(q))可证。由此就意味着，Rq(q)与Ø(Rq(q))皆可证，这再次是不可能的。

这个不可判定证明，就这么简单。一个肯定的假定：Rq(q)可证。一个否定的假定：Ø(Rq(q))可证。依据标号（1）都会产生矛盾，于是不可判定得证。这样一种证法，正是康托对角线证法的再现。在拆解汉译随后的一段原著英译文本之后，我们再来对这个证明方法做点评论。

（二）为什么不可判定的证明与理查德悖论类似？

原著文本拆解汉译：

这一结论与理查德悖论的类似是显然的，它也和说谎者悖论有亲缘关系。因为我们的不可判定定理(Rq(q))陈述了q就在K中，也就是，依据标号（1），这个(Rq(q))不可证。因此，我们正面对着一个定理，一个断定其自身不可证的定理。我们刚刚应用到的证明方法，很明显地可以应用到任何形式系统。这些形式系统，一方面有足够的表达力去允许表述以上所使用的概念定义（特别是”可证公式”概念）。另一方面，在这些形式系统中，所有的可证公式也都为真。以下对于这个证明的精准实施，将用纯粹形式的，或者稍稍弱一点的纯粹形式的方式进行，除上述目标之外，对证明的精准实施还将有替换第二个先决条件的目标。

从(Rq(q))陈述了其自身的不可证这样的评论中，直接导出(Rq(q))是正确的，因为(Rq(q))事实上不可证（因为它是不可判定的）。在系统PM中不可判定的这个定理，因此就被元数学的考虑而得到判定。这一奇怪事实的精确分析导致一个令人惊异的结果，一个有关形式系统一致性的惊人结果，这样一个结果，将在第4节中讨论（定理11）。

在给出不可判定命题的证明之后，原著文本在导言部分接之就有这最后两段陈述。我将着力说明这个不可判定的结论何以显然类似于理查德悖论，而关于表达力还有关于论文目标的陈述分析，先暂且搁置，留待稍后的博文。

理查德是如何推理的呢？我们先来看变体理查德数和理查德性质的定义。

使用自然数而不是实数的理查德悖论变体首先假设：有一个所有英语表达式的列表，这些表达式描述自然数的性质。也就是，为自然数的各类型下定义。

在为自然数类型下定义时，对该定义所描述的性质，还附带表述了一个主张。

列表中的第n个表达式可以描述一个性质，该性质可以或者不可以运用到列表中的第n个数。

伴随上述主张，我们得到理查德数的定义。

如果第n个表达式描述了一个性质，该性质不运用到数字n，那么这个数字n就是理查德数。

因为‘’是理查德数‘’的性质本身就是自然数的一个性质，它必定包括在所有性质定义的列表之中。由此，‘’是理查德数‘’的性质就是在列表中的第n个表达式，用来表示数字n。这就如同我们在上述‘’偶数‘’定义实例中所揭示的，表示偶数定义的汉符字数是11，而11不具有偶数的性质，所以，11这个数字就是理查德数。

这样，从理查德数的定义，以及我们给出的偶数实例，我们就得到理查德性质一个相对精准的定义。

如果第n个自然数定义中所描述的性质，不运用到编码该定义的那个数字n本身，那么这样的性质就称之为理查德性质。

这个有点蹊跷的理查德数和理查德性质的定义，产生如下有点怪异的推理。

那么，n自身是理查德数么？

如果n是理查德数，那么‘’n‘’定义为被第n个表达式所描述的那样，否定的或者说没有该性质，这就意味着n不是理查德数。

但是，若n不是理查德数，那么’’n‘就定义为’被第n个表达式所描述的具有那个性质，这个性质就是理查德性质。这就意味着，n是理查德数。（参见网页Home: Logic and Language (jamesrmeyer.com)）。

同样的客体，既具有某个性质，又不具有某个性质。这自然就是矛盾，理查德悖论由此而产生。

把理查德悖论使用的推理，和哥德尔(Rq(q))不可判定证明中使用的反证法比较一下，是不是非常类似？难怪哥德尔要说，这个类似十分显然（leaps to the eye）的了。

理查德悖论也好，哥德尔另外提到的说谎者悖论也好，其最基本的特性就是断定涉及自身。而哥德尔构造的(Rq(q))不可判定命题，同样具备这样的自指特征。所以，这样的公式构造，被人称之为“纯粹形式地来反映自我”。但哥德尔的自指，似乎不全是循环或怪圈，好像也没有形成悖论。紧随这个不可判定命题之后的文本，反倒导出他的那个(Rq(q))命题是正确的，进而导出让人惊异的结果，一个有关形式系统一致性的惊人结果。这颇为诱惑人凝神细思，探其究竟。

哥德尔原著英译本导言章的重读暂且到此，许多符号的详尽说明，还有证明的精确陈述，多在第二章和其后接下来的章节，且待续篇再述。