谓词再议和哥德尔数配置——哥德尔原著英译拆解汉译之六

牛虎交接之际，到惠州双月湾轻走了一趟。在惠东县的海滨温泉区，沐浴浸泡，送走了牛年的最后一天。在双月湾的西湾银滩，乘船出海，渡过了虎岁的大年初一。本来还可以到东湾的海龟景区瞅瞅，疫情又一次阻断了我们的行程。谁能料知呢？惠州虎年春节初一，查出新冠一例，初二景区立马关闭，海滨行程强制提前结束。

惠州的双月湾图片

乘船出海

双月湾西湾长滩夜景

真乃人算不如天算也，牛虎交替之旅，就此戛然而止。我也就提前接续上对于哥德尔的关注，继续上篇的哥德尔数配置了。

一、逻辑谓词再议

上篇提到，逻辑学的谓词概念还有得一说，结合哥德尔原著英译本，再来议议这逻辑学的谓词观念。

哥德尔原著文本，几乎没有提及谓词观念。但原著的第二章，从2.1节的基本定义，2.2节哥德尔数及其配置，2.3节的原始递归，2.4节的元数学概念表达，直到2.6节不可判定定理的推出，却始终是在与逻辑的谓词打交道。就此而言，说谓词属于哥德尔理论的核心概念，应该不算夸张之语。

哥德尔的系统P，如2.1节定义所示，是一个包括谓词演算的系统。因为有皮亚诺算术公理系统置于其中，这个P系统就不是纯粹的谓词演算，而是一个数论型的谓词演算。即以自然数为唯一的处理对象，这里姑且借用克林的术语，即以自然数为唯一客体的演算系统。（参见克林《元数学导论》第154页）

在这个系统中，自然数客体的不同性质，我们用最基底的主谓句来表示。而自然数之间的不同关系，主要是客体个数或者客体类之间的不同关系，我们用关系或者函数来表示。而两种最为抽象的范畴：性质和关系，先可以把性质和关系全归之于关系，然后再把所有的关系都用逻辑谓词观念统一起来。也就是说，原来属于自然语言中谓语的逻辑谓词，它既可以用来表达性质，也可以用来表达关系。显然，性质也好，关系也好，似乎就不是具有本体意味的客体，本体意味的客体仅仅只是自然数。性质和关系究竟是什么呢？这是一个最常用，但又最难琢磨其终极意味的东西，我们且把它们的本体讨论暂且放到一边吧。反正这些观念司空见惯，谁都能理解其常识意义，这大概就是自然语言的魅力。有些语词非常抽象，但人们可以非常具体地使用这些抽象语词对象，来表达他意欲表达的东西。

哥德尔数论系统P的基本定义中，他使用了关系概念来表述其哥德尔数配置。接之，他一以贯之地用这种关系表达式来定义原始递归，不过加上了数学中的一个观念，即函数观念。原始递归作为一个性质附着在函数上，这就是所谓原始递归函数。

谓词、关系和函数颇有点观念三胞胎的味道，极为类似，但又有微妙区别。谓词似乎是逻辑领地中的观念，关系观念则似乎无所不在，函数则是一个属于数学领域的观念。在哥德尔的语境中，它们之间大概没有区别。所以他使用函数观念和关系观念，却并未使用谓词观念。不过，在变元类型的理解上，使用谓词观念，把谓词当做是函数中的一个类别，即所谓真值函数中的一种，那就如同克林所言：

从函数的观点来说，传统意义的“谓词”与“关系”之间差别是无关紧要的，在前两例中主语与宾语之间的差异亦然，今后统称为“谓词”及“客体”，那将是更方便的。因此，所谓n元谓词将指n元的命题函数，这里的n可为0，所指为一命题，n可为1，所指为传统意义的谓词或特性，n可>1，所指为n元关系（当n>0时），自变元的值叫做客体，而自变元叫做客体变元。（参见克林《元数学导论》第154页）

由此，我们就可以把数论系统中的任何公式，都解释为表达了一个谓词，一个以真值为值域的真值函数。这也就是说，传统意义上作为词项的谓词，在函数的意义上，变成了作为开公式的真值函数。谓词上那个未予标示的空位，也就是传统意义上的主词，在这样的表达式中省略掉了。但这样的省略，并没有影响到谓词的真值函数特性。

谓词的这样一种超越，使得哥德尔数配置的对象，依据原著文本，区分为类型1到类型n的变元，由此就转换成了谓词概念。这些变元类型，除个体变元外，就全都可理解为谓词。这些谓词由此而替代哥德尔的变元类型观念，命题公式可称之为0元谓词，类型1变元可以称之为一元谓词，大于1的类型n变元，则可以称之为n元谓词。而超过一元的所有n元关系，依据哥德尔的转换，都可以看作是特殊的一元谓词。如同哥德尔原著2.1节评论中所言：把二元或者多元的函数或者关系看作为基本符号是多余的。因为这类关系或者类型都可以用序偶的方式来加以表述，从而使得二元或者多元不用看作是基本符号，而是基本符号的衍生。

这等于是告诉我们，一元谓词就是谓词的基本形式。给谓词配置哥德尔数，实际上指谓的是一元谓词。

二、谓词的哥德尔数配置

（一）0元谓词哥德尔数配置

把命题变元理解为零元谓词，是个不错的主意。

可以用一个符合哥德尔原本的方便实例，来说明零元谓词，也就是命题变元的哥德尔数配置。

实例2：p → q

依据哥德尔定义32，该公式可以变形为：Øp ∨ q

再依据哥德尔对于常量的哥德尔数配置，‘’Ø‘’的哥德尔数为5，‘’∨‘’的哥德尔数为7。

命题变元为同类型的p，q，因为表达个体数字的变元是第一类型变元，即所谓数字符号，它的哥德尔数配置的幂就是1。而表达命题变元的符号，也就是零元谓词，它是哥德尔第二类型变元，其哥德尔配数自然就是17²，19²。

该实例变形体总共4个符号，2个常元，2个命题变元，也算是一个很为简单的公式序列，我们用图表一一对应相配：

图2零元谓词公式p → q的哥德尔数配置

难怪后来出现许多哥德尔配数的升级版，哥德尔数的想法异常神奇，但数字也的确大得惊人。当用到对于证明序列配置哥德尔数的时候，这个序列之序列的哥德尔数，恐怕更是超大超大，找个实例方便地作图说明，都很难办到了。你只要看这个超级简单的命题变元公式，其哥德尔数的一部分就是两个超级大的幂次方，简直就无法在一般编辑软件中计算它，更不知道排成阿拉伯数字，它会排成多长的一个数字序列？

我们继续前行，从零元谓词进到一元谓词，即所谓公式序列的序列，看看这样的符号串该如何配置哥德尔数。

（二）一元谓词的哥德尔数配置

一元谓词的性质公式，是哥德尔原著中最为基本的公式。哥德尔称之为初等公式，基本形式为a(b)，英译为elementary formulae。其中，a为类型n+1符号，b为类型n符号。当我们关注公式中自由变元数目的时候，哥德尔原著中，构成这类公式的符号，哥德尔称之为n元关系符号。而当n=1，也就是公式仅有一个自由变元的时候，这样的符号则称为类符号（参见《哥德尔原著》英译本2.1节）。这个类符号表明的是，用外延公理，哥德尔称之为集合公理，变元b变域中的客体属于类符号的一个成员。而用内涵公理，哥德尔称之为概括公理，则表明变元b变域中的客体具有类a的性质。

这个仅有一个自由变元的一元谓词公式，该如何给其配备哥德尔数呢？可以使用一个统一的配置公式，完全符合哥德尔原著中的描述。我们先看哥德尔的描述：

我们用Φ(a)来指谓匹配于基本符号（也包括基本符号序列）a的那个数。现在设R(a₁,a₂,…,a_n)是这些基本符号或者基本符号序列之间的给定类或者给定关系。我们将把这个类或者关系，匹配于另一个类或者关系R’(x₁,x₂,…x_n)，它在x₁,x₂,…x_n之间成立，当且仅当，存在a₁,a₂,…,a_n使得对于i=1,2,…,n，我们有x_i=Φ(a_i)并且R(a₁,a₂,…,a_n)成立。

这段哥德尔原著英译有点绕，其中的Φ(a)，应该是为符号序列配置的哥德尔数，它和序列a恰好一一对应。但在什么条件下，公式序列和其哥德尔数Φ(a)会是一一对应呢？这需要我们给出以下假定。假定我们有一个符号序列a=a₁,a₂,…,a_n，那么，一个为之匹配的哥德尔数，就应该是一个数字序列Φ(a)。a中的每一个基本符号a_i，都有对应的哥德尔数Φ(a)中的x_i。

把这个表述说得更直白一些，那就是说：Φ(a)这个哥德尔数，其中的公式a存在，并且构成a的基本符号a₁,a₂,…,a_n使得以下两个条件得到满足，

第一个条件，我们有x_i=Φ(a_i)成立。这说明，a中的每一个符号a_i都有对应匹配的哥德尔数x_i。

第二个条件，我们有R(a₁,a₂,…,a_n)成立。这说明，符号序列之间的关系也是成立的。而这里的关系，不仅仅是系统P内的关系，还包括元数学的关系。例如可证，变元、公式这样一类元数学概念所表达的关系。它同样如哥德尔原著所言：

我们将用同样的语词，用小型大写(small caps)的书写格式,并且使用以上提及到的方法，来指谓那些匹配元数学概念的自然数上的类和关系，例如以下一些元数学概念：“变元”，“公式”，“命题公式”，“公理”，“可证公式”等等。例如，在系统P中存在不可判定命题像这样来阅读：存在命题公式a（PROPOSITION-FORMULAE a），使得既不是a也不是a的否定（NEGATION）是可证公式（PROVABLE FORMULA）。

这些元数学概念，其实就是我们以上讨论到的谓词。

由此，我们就会有对应的关系R’(x₁,x₂,…x_n)，它在数字序列x₁,x₂,…x_n之间的关系R’自然也就成立。

从以上哥德尔表述解读中可知，哥德尔的多元关系，实际上为一元谓词的公式序列，其哥德尔数配置，参照康宏逵先生的解读，可以概略为以下表述。

符号序列a= a₁,a₂,…,a_n，（i=1,2,3,…,n）

假定这个符号序列之间的关系为R,则有谓词公式

R(a)=R(a₁,a₂,…,a_n)

为这个公式序列配置哥德尔数，也就是一一对应的配置，遵循以下步骤。

1）公式序列中的每一个a_i，都配置以哥德尔数x_i，由此公式序列a₁,a₂,…,a_n对应哥德尔数字序列x₁,x₂,…x_n。

2）哥德尔数字序列x₁,x₂,…x_n。按照哥德尔配数法，符号公式序列a₁,a₂,…,a_n对应于如下序列：即以素数为底，按照素数顺序依次以谓词类型配以幂。由此，原来的数字序列x₁,x₂,…x_n。就为这个以素数为底的序列所替代，从而成为以下序列。

3）我们以p_i为任意素数，在p_i中加以上标x_i,这形成了一个上标中有下标，按照素数大小顺序排列的一个序列，素数的幂是被配置哥德尔数的序列a中的各个a_i相对应的哥德尔数x_i。这就是如下的哥德尔数系列。

P₁^x1，P₂^x2，p₃^x3,…p_n^xn

这个序列更具体一点，如同哥德尔的描述，也可以表示为：

2₁^x1，3₂^x2，5₃^x3,…p_n^xn

4）如果要计算出这个数字序列的具体数字，可以将各个基本数字相乘而获得一个数。依据该数字，我们可以反向推导出由这个数字所表示的公式序列。这就让公式序列成为一个天文般的数字，反向导出公式序列中的每一个符号的哥德尔数。

P₁^x1*P₂^x2*p₃^x3,…*p_n^xn

（*号表示相乘）

5）哥德尔原著文本中的关系R，是将R看作为元数学的概念，其实就是谓词变元变域范围内的客体。如果R是元数学概念“可证”，则表明这个序列a可证。这里的R，显然就是一个谓词。

三、谓词变元哥德尔数配置实例

（一）一个三行公式序列

以下，我们走类似于常规的流程，用一个甚为简单的证明序列实例，来强化一下哥德尔的这种方法。该实例对内格尔《哥德尔证明》中的证明序列实例稍作更动，两行公式变成三行公式（参见内格尔《哥德尔证明》中文版第61页）。

实例3：一个三行的证明序列a

1)"(x)(x = succsuccy)  这可以用a₁来替代；其哥德尔数配置为x₁。

由此可得2）

2)$(x)(x = succy)   这可以用a₂来替代；其哥德尔数配置为x₂。

由2）可得3）

3)$(x)(x = succ0)   这可以用a₃来替代；其哥德尔数配置为x₃。

该证明序列x拼接起来，就是x₁x₂x₃。自然，这个证明序列a的哥德尔数就是：

P₁^x1，P₂^x2，p₃^x3,也就是：

2₁^x1，3₂^x2，5₃^x3,

而各个公式序列a_i的哥德尔数配置方式，也就自然是公式序列的配置方式，前已有实例2标示，不用再来重复列表说明。大概在word中，也难做成这样一个繁杂的表格。

（二）仅取其公式序列2）做图表3

但是，我们可以简略一点，仅以实例3中的公式序列2）$(x)(x = succy)为例，来再次简略描述一下三种变元的哥德尔数配置情形，表3中仅有数字个体变元。命题变元的哥德尔数配置已经有实例2，此处忽略。谓词变元的哥德尔数配置，在数字个体变元之后再做进一步的说明。

可以用一个图表来说明公式序列2）的哥德尔数配置，因为哥德尔原著中的常元没有算术等号=，按照哥德尔给常元配以奇数哥德尔数的方式，以下图表中等号=，配以哥德尔数15。而特称符号$，按照哥德尔定义32：

exists(x,y)=not(forall(v,not(y)))，

即Ø"Ø(x) = $(x)，

由此序列2）成为Ø"Ø(x)(x = succy)，这个公式序列可以分解为12个符号。

请看下图：

图表3

从公式序列2）Ø"Ø (x)(x = succy)看个体变元的哥德尔数配置

一个超级的自然数数字序列，几乎不可能排列在文本中。

（三）谓词的哥德尔数配置

好在自然语言是我们天然的教师，它教给我们用缩写或者取名的方式，替代式地表达复杂的句子或者长得无法陈述的数字。我们现在就来实践这种语言技巧，把实例3证明序列中每一个公式的哥德尔数，不管它有多长，都分别用符号L，M，N来表示。

公式序列2）那个长长的哥德尔数，简化为大写的字母M；

公式序列1）的哥德尔数=T；

公式序列3）的哥德尔数=N。

而被配置的三个公式，则分别是

公式序列a₁=1)"(x)(x = succsuccy)。

公式序列a₂=2)$(x)(x = succy)。

公式序列a₃=3)$(x)(x = succ0)。

则公式序列的序列就成为：a₁，a₂，a₃，

但序列之间总有某个让他们前后衔接的粘合剂，如果我们不给这些公式序列之间某种确定的关系，自然就可以使用超越命题变元的谓词变元符号，使得这几个公式序列之间的关系处在可选择的变域之中。这个可选择的变域，就是谓词变元。

设这个序列之间的关系为Q，则这个有Q关系或者Q谓词的公式序列就是：

Q(a₁，a₂，a₃)

Q作为公式序列a₁，a₂，a₃的谓词字母，由此，一个谓词公式Q(a₁，a₂，a₃)就产生了。其哥德尔数配置，按照哥德尔的规则，我们在上述公式实例3中归结为5个步骤，就可以用图表4表述如下。

图表4：谓词公式Q(a₁，a₂，a₃)哥德尔数配置

这个数字自然十分惊人，我们刚才计算公式序列2）的那个哥德尔数，2⁵ * 3⁹* 5⁵ * 7¹¹ * 11¹⁷ * 13¹³ * 17¹¹ * 19¹⁷ * 23¹⁵ * 29³ * 31¹⁹ * 37¹³，已经都无法在文本中展开表述，现在又加上序列1）和序列3），可想而知，这是一个多么庞大的数字。幸亏哥德尔之后有计算机出现，否则，靠人力计算这些数字，不知要计算到哪一个猴年马月？难怪有人说，哥德尔的这个配数设想，颇有点计算机先驱的味道。

关于哥德尔数及其配置，在此告一段落。哥德尔随后的原著文本，立刻就引出原始递归概念，然后是46个相当于谓词的一批定义，接之就是原著的核心，哥德尔著名的不完全性定理的推出和证明了。

冬天即将过去，春天降临了。我该伴随着虎年的春风细雨，接续与哥德尔原著文本的不了情缘。