虎年期待和变元的哥德尔数配置——哥德尔原著英译本拆解汉译之五

丑牛之年走到了它的尽头，又一轮时序循环将要开始了。为这个尽头和起点，我做了一副对联，按华夏传统用浓墨书写，填在自家的门上。算是概略了这即将掠过的农历牛年，又算是对虎年旋即将至的一份期待。

我的一付年末对联照片

这副手联，是我给亲朋的新春致意，这个致意还带著两行十字文。

年复一联，联传亲情友情。

岁有两期，期待未来将来。

也许，疫情很快就要过去；也许，我们的文字有更为广阔的时空腾挪，也许，更多的期许会在这寅虎之年出现；也许，我们永远只是在徒劳的期待之中。但能够有期待，大概就是生命之生，生命之命寄托所在吧。

丑牛之年的上一篇博客，我们在常元序列的哥德尔数配置处停顿了下来，然后就论及变元类型，给出了一个变元类型的图表。时序的变换，常常会无厘头地干扰人的常规。但人对岁月的期待，终会让常规复归。停顿多日，我又回到原先停下来的地方。本篇，我们将延续哥德尔原著英译的拆解汉译，并结合哥德尔的原著，也结合一点逻辑历史，回顾一下我们在哥德尔英译本第2章描述中提及到的常元、变元和公式概念。

一、常元、变元和公式概念

（一）哥德尔的常元、变元和公式

哥德尔形式系统P中的常元，如哥德尔所述，七个常元。

哥德尔形式系统P中的变元，也如哥德尔所述，三个类型的变元，以及等等而成的n型变元。

哥德尔形式系统P中的公式，同样如哥德尔所述，有基本公式，然后是基本公式和逻辑符号结合而成的复合公式。除了这两类公式，哥德尔还定义了命题公式，即不含自由变元的公式。

哥德尔非常精炼地描述了这三类客体，如同他异常简练地论述哥德尔数一样。对于不习惯这种简练的读者来说，结合逻辑史和自然语言的对比，来阐释这三类概念是有必要的。

（二）常元、变元与公式散议

1）常元

哥德尔形式系统P中的七个常元，大致有三类，一类是逻辑符号，一类是数字生成符号，一类是辅助符号。如果把它们和实在世界作比较，大概很难找到可以比较的对象。它相当于这个实在世界的什么东西呢？自然界恐怕没有对应之物。这大概如德国数学家克罗内克评论自然数一样：

自然数是上帝造的，其它的数则都是人造的。

这里的所谓人造，不就是指，这是智者的智慧产物么？

形式系统的常元，也正是在这一点上可以和自然语言客体相比，常元观念也应该是智者的智慧所造。最好不要到实在世界之中寻求对应物，而要在人的智慧中去寻找它的对应物才对。从这样的角度来看常元，一个靠谱的类比应该是：形式系统的常元，大约相当于自然语言中相应的三类语词。逻辑符号对应于自然语言的某些关联词，数字生成符号对应于自然语言的某些名词和动词，而辅助符号则对应于自然语言的某些辅助性符号。它们都不是自然世界的实体，而是我们人类智慧的产品。

智慧的神奇在于，智者的创造可以超越凡尘。哥德尔系统P中的虚空常元0，就是借助同样虚拟的后继运算，从无生成了数字个体。颇有老子的“天下万物生于有，有生于无”的味道。接之，数字个体继而生成数字序列，而且，数字个体还可以提升为类，提升为类的类等等稀奇古怪的客体。在这个提升的过程中，逻辑符号和辅助符号起到让数字类型丰富多彩的作用。毫无疑问，数字个体类型的不断生成，似乎必定要和多个体的概念联系起来，这个概念就是变元。

2）变元

上篇博文，已经提到变元的类型分层，那只是我们讨论变元哥德尔数配置的起点而已。用哥德尔的表述就是，因为常元占用了13之前的7个数字，因此，属于n类型的变元就用大于13 的素数pⁿ来表示其哥德尔数。很明显，这里的类型变元作为客体，就不再是某个个体客体，除非它被约束。如上篇所言，变元往往是一类个体作为其变化的范围，也称作变域，或者变程。就此而言，变元有点类似于自然语言中的普遍概念，或者普通名词。

但哥德尔P系统中的变元，仅仅这样类比是不够的，因为形式系统的变元概念，并不仅仅可以和语言的普遍名词作类比，它还有可能代表别的什么东西。

变元概念，有文献表明，它是古希腊亚里士多德的伟大发明之一。我反复阅读过的一部经典文本《亚里士多德的三段论》，其译者之一是我最敬重的李先焜老师（1926-2007）。有幸踏入逻辑之门，全赖先焜师的提携推举。该书的第一章第四节就专论变元，现摘录其中的一段：

把变项（原汉译文译名，变项=变元）引入逻辑是亚里士多德的最伟大的发明之一。就我所知，一直到现在没有一个哲学家或者语言学家注意到这个最重要的事实。这几乎是令人难以置信的。我敢于说，它们必定全是坏的数学家，因为每一个数学家都知道把变元引入算术在这门科学中开始了一个新的时代。（参见卢卡希维茨著《亚里士多德的三段论》第16页）

依据卢卡希维茨的论述，亚里士多德引入变元，是使用字母变元来表示普遍词项。这样的变元替代，也就使得亚里士多德成为形式逻辑的创始人（参见《亚里士多德的三段论》第16页注释2）。这个古典的变元概念，到哥德尔原著文本那里，保持了变元替换的主要功能，但变元远远超越了亚里士多德那个时代的视野。在哥德尔形式系统P中，因为变元间的组合，因为变元与常元的组合，还因为变元个体的不同，使得形式客体似乎又萌生了许多新的对象，形成了不同的变元品类。这里的变元品类，我们当然可以按照哥德尔的变元类型的界定来理解。但是，从变元涉及到的客体角度来考虑，恐怕更有助于我们理解那个神奇的哥德尔数。

变元是个什么样的客体呢？如同常元在实在世界没有对应客体一样，变元似乎更没有对应客体，我们依然需要从自然语言中寻找变元的比喻性对应。如前所述，数字个体可以对应于自然语言中的专名和摹状词。这自然让人联想到，变元最可能对应的是自然语言中的代词，特别是表示复数的代词，例如我，你，他，尤其是我们、你们、它们等等。这些代词没有固定对象，在不同的语境中代表不同的客体。这不就是变元替代的功能么？

有语言学家评论人的行为，无非是两件事。一件事情是给个体客体命名，这构成专名。另一件事情是把命名后的客体和另外的客体联系起来，这构成语句。但这样评述人的行为，似乎忘掉了人对客体的抽象功能。客体并不是只有个体，还有个体抽象而成的类。所以人的行为至少有三个层面，一个层面是给个体取名，第二个层面，则是把个体抽象成类。然后才是第三个行为，把个体、或者个体类和抽象成更高类别的客体联系起来。从哲学的角度讲，这个抽象成类的行为再提升为数学和逻辑的行为，则多为变元概念所致。因为有了变元，从概念论出发的亚里士多德三段论逻辑才成为可能。同样是因为变元，现代逻辑才成为可能。

3）词项和其变元

两个常元‘’后继‘’和‘’0‘’构成的数字符号和符号序列，它们在形式系统中称作基础的形式客体，在逻辑中还有另外一个通名，称作词项term。这大概也是来自亚里士多德逻辑中的古典称呼，因为亚式三段论逻辑，还有一个名称，常被称为“词项逻辑”。古典的词项对应的自然是名词，常元succ和0构成的数字和数字序列，也正好具有古典词项的基本意义。但自从变元引入现代数学和现代逻辑之后，变元所具有的代词类似，使得变元也成为词项的一个部分。

所以，在《元数学导论》一书中，克林首先把数字符号看作词项，这是基本。然后，但凡变元，也称作词项。由此，形式系统中的词项对象，就在常元数字符号的静态客体之外，增加了流动变化的动态客体了（参见克林《元数学导论》第73页）。变元的这种动态，在逻辑的发展史中，因变元之间的联结而形成的客体，似乎让变元超越词项的境界，从自然语言名词的功能，跃升到自然语言语句的功能了。这样的变元，原先作为词项的变元，也就可以称作为命题的变元了。这个命题变元，我将单做一节描述，在描述这类变元之前，先来评介一下和命题相关而且相似的公式概念。

（三）命题公式、开公式和闭公式

哥德尔原著中形式如a(b)的符号组合，其中b是第n类型变元，在前的a是n+1类型变元，哥德尔称之为基本公式elementary formula。这样的基本公式，把我们从命题逻辑的层次提升到了谓词逻辑。它表明，我们对于命题的关注深入到了命题的构成部件。从这个意义上讲，哥德尔P系统的变元主要是词项客体，而非命题客体，也就十分自然。以下对于公式类的定义，就是用小写或者大写的a，b来表示命题变元，但这样的变元变域，在一阶谓词逻辑中基本上不会多所讨论，人们关注的似乎只是构成命题的词项变元，这个词项变元又有点和命题的含义纠缠在一起，常让人颇感迷惑。

因为词项变元数量的不同，公式开始有了开闭之分。但哥德尔可不是这样命名，他沿用了他给词项的分型方式，实际上也是用变元数字的多少来确定公式的类别。

不含自由变元的公式，即所谓零自由变元的公式称作命题公式。这里命题公式中的‘’命题‘’，大概取‘’命题‘’作为自然语言语句所包含的基本含义，既然有含义，自然该公式的真值就被确定。因此，哥德尔的命题公式，实际上就是闭公式。闭公式中的所谓不含自由变元，并非全是没有变元。由于逻辑常元中有量词在，量词置于变元之前辖制住了变元替换的范围，这样的变元称作约束变元。变元被量词约束之后所形成的公式，也是闭公式。

如果一个公式带有自由变元，则该公式的真值未予确定，这被称作开公式。但哥德尔有自己的一般性界定，他的公式界定方式，应该来自于英国逻辑学家德摩根。德摩根主张公式不应该是亚里士多德式的主谓结构，而应该使用一般的关系词，其后出现的现代数理逻辑，采用了德摩根的主张。这个主张传承到哥德尔那里，又为哥德尔所用（参见莫绍揆《数理逻辑初步》第56页）。

设有公式A，A中自由变元数为n，

如果n=0，即没有自由变元，则A为命题公式propositional formula ，这是闭公式；

如果n>0，则A为开公式，即德摩根所说的词项之间的关系，这一般要分成两种情形。

一种情形是：

如果n=1，则A总是可以表示为形式如a(b)的符号组合，其中的a为主词，b为谓词或者性质，这大概就是主谓词组合成的一元公式，哥德尔称之为基本公式elementary formula。

如果n>1，则A为n元关系符号序列n-place relation-sign（参见哥德尔原著2000英译本2.1节定义）。

在这个哥德尔有关变元类型的定义中，哥德尔并未提及到一种特殊的，超越词项变元的客体，那就是命题变元。但哥德尔随后的论述中，却颇多地方使用到命题变元的观念。这就使得后世解读哥德尔原著的文本，一般都把哥德尔对变元的分型，分为词项变元，命题变元和谓词变元（参见内格尔《哥德尔证明》第七章）。那么，这个命题变元，指称哥德尔的哪一类型的变元呢？从类型的角度看，似乎只能是他在原著中论及的类型1变元和类型2变元的组合，哥德尔称之为基本公式的那类形式符号。这个作为基本公式的形式符号，撩拨起我对于命题变元观念的一些想法。

二、命题变元

命题概念，其实也是亚里士多德的。他的《工具论》四篇中，有一篇就是《命题篇》。但亚里士多德大概没有猜想到，这命题观念也和他创建的“变元”有关。一般认为是由古希腊斯多葛学派设想过的命题逻辑，这个逻辑之中没有词项变元，只有命题变元。

逻辑从古典走向现代之后，真值联结词引入了逻辑学，函数引入了逻辑学，从而有了真值函数观念和命题逻辑系统。那么，真值联结词联结什么呢？它联结的可不是词项。算术的一些运算，如加乘运算，联结的才是数字词项或者数字变元。但逻辑连接词，既然是真值联结，因为词项没有真假性质，自然就不会是这类连接词的客体。具有真值特性的客体，在逻辑和数学中，唯有命题，或者公式。所谓命题逻辑，也就是以命题为演算对象的一个形式系统，也称为命题演算。

但命题和公式这类自然语言客体，含义多多，在逻辑和数学这样的学科之中，得要锁定它们的意义才有探讨研究的可能。在锁定这类语言客体的过程中，何为命题、何为公式的探讨，又造就出一些逻辑和数学的新观念。比如公式有开公式与闭公式之分，命题则如哥德尔形式系统P中所述，有基本公式elementary formulae和命题公式propositional formulae之分。这类形式客体区分的标志是什么呢？主要的区分标志就在变元，变元是我们理解不同的形式客体类型的标识所在。

首先，如果一个符号，它没有变元在其中，这样的符号一定是只能代表个体或者类。这在我们为succ0，succsucc0等等数字序列配置哥德尔数的时候，可以看得很清楚。这类数字符号可以称之为零变元的数字序列，这样的客体其实是固定的，而这正是我们的常元概念的基本含义，所谓常，不就是固定不变的含义么？

第二，哥德尔只是简单地提及了数字符号，零元数字符号，即无变元的数字符号，那是数字个体或者数字序列。而第一类型变元，则是数字符号序列变元，变元的变域是个体数字。第二类型变元则是数字符号序列的变元，变元的变域则是一类数字。第n（n>2）类型变元，则是n次抽象而生成的数字个体类的类，哥德尔的变元似乎全是词项的。

如果一个数字符号表达式中带有变元，那么，这些数字表达式用算术运算符号连接起来，依然具有词项性质。例如x+y，若x，y为数字变元，则x+y依然是数字变元，这样的变元显然具有词项性质。但细心的读者会发现，当你给出一个x+y表达式的时候，你只给了一个x+y的动作所及的词项，这个动作好像挂起来了，话似乎还没有讲完，等待着主体进一步的评说。这个评说，单用词项是做不到的，要使这个挂起来的词项有一个结果，你必须使用公式或者命题去把词项连接起来才能完成。

于是，变元除了词项变元，又有可以表达任意命题的命题变元在。弄逻辑的人大都知道，词项虽然是语言的基础构件，但词项逻辑不是现代逻辑的出发点。亚式三段论逻辑是从概念出发，由概念进而判断，这里的判断其实就是命题，再到推理。而数理逻辑并不是从概念出发，而是从命题出发。由此，我们先有命题演算，再在谓词演算中把命题分解为词项，构成关于谓词的演算（参见莫绍揆《数理逻辑初步》第49页）。哥德尔的形式系统P就是一个典型例证，它的逻辑公理先有命题逻辑的公理，然后才出现谓词逻辑的公理。这就在启示我们，有关变元的视界，似乎应该把讨论次序颠倒过来，先有命题观念，然后对命题予以分析，由此再来产生词项。也就是，我们总是在命题逻辑的基础上，再来关注词项的逻辑。我们是先有命题变元的概念，再来谈个体变元的概念。因此，命题应该是一个形式系统中，更为基本的形式客体。

而所谓命题，就是将真假，即所谓真值作为其性质的语句。哥德尔在其论著中没有专门提到命题变元，他大概把这看作是逻辑常识，不用特别指出。所以在其论文行文中，常常信手使用p，q，r等小写符号表示任意命题变元。例如其给出的四个命题逻辑公理，就是使用这样的命题变元符号。

在哥德尔原著的2.4节46个定义中，请注意其中的定义32，小写字母x与y表示的，不是词项变元，而是命题变元。

拆解哥德尔原著2.4节定义32部分汉译：

32..x 蕴涵 y = 并非(x) 或者 y

   x 并且 y =并非((并非(x) 或者 并非(y))

   x 等价 y = (x 蕴涵 y) 并且 (y 蕴涵x)

   （以下略）

哥德尔的这个定义32，实际上是通过常元符号Ø与∨，引入了新的逻辑符号。

引入蕴涵符号：x→y = Øx ∨y;

引入合取符号：x∧y = Ø(Øx∨Øy);

因为引入了∧，于是就有以下引入。

引入等价符号：xÛy = (x→y)∧(y→x)。

命题逻辑中的命题，又有原子命题和复合命题之分，如同自然语言中单句和复句的区分一样。命题变元既可以原子命题为变域，也可以复合命题为变域，还可以在复合命题中出现两者的混合使用。命题变元这样的不同组合，只是命题逻辑中的情形。当我们审视命题逻辑基础上的谓词逻辑时，由于这样的逻辑深入到了构成命题的词项，就产生了有关命题的另一种分型。哥德尔没有关注命题逻辑中的命题分型，但他对命题结构所做的分析，实际上是现代谓词逻辑的套路。

哥德尔在其论文中，虽然没有特别指出命题变元，他把命题逻辑当作是背景性知识，无需特别指出。但哥德尔却简略地规定了基本公式，公式类，命题公式和n元关系符号等概念。由此，那两个自然语言的同义概念，命题和公式，就各有其特定的意义，不能像自然语言那样可替代式地使用了。我们也就仅仅使用‘’公式‘这个字符，来表示那些具有真值或者真值函数的客体。所谓命题变元，虽然原则上可以代表任意命题，但在哥德尔原著中，似乎只能是类型1变元和类型2变元的组合。超越这种组合的其它变元类型，全都可以置于以下讨论的谓词变元名下。

三、谓词变元

（一）关系和谓词散议

哥德尔名之为关系符号的客体，实际上表达的，或者是真值确定的闭公式；或者是也称作命题函数的开公式，或者是开公式的公式序列。但n元关系符号的公式命名，必定要和我们在前面提到的谓词逻辑中的谓词概念紧密相连。于是，我们关于形式客体的讨论，又从命题的层面，回归到词项的层面，这个词项就是谓词。谓词似乎是一个处于词项和公式之间的过渡观念，它是谓词，却又以一种含蕴的方式指向有真假的公式。这样，命题在谓词逻辑中的分型，那个称之为n元关系符号的形式客体，又有一个经典的词项称呼，那个所谓n元关系符号中的关系，更有逻辑意味的称呼其实是谓词。

上个世纪的80年代，我所尊崇的另一位学者康宏逵，翻译了一本《这本书叫什么》的逻辑谜题书，原著作者斯穆里安（R.M.Smullyan1919-2017）。当时还以为这个斯穆里安是一位逻辑通俗书籍的科普人士呢，近年来关注哥德尔才知，这可是一位哥德尔研究的美国逻辑大家。近期出版的好几本中年学者的译著，都是这位斯穆里安的，如余俊伟译《哥德尔不完全性定理》2019，刘新文等译《数理逻辑入门》2019，皆是这位斯先生的大作。康先生很少称赞人，他在他那个译本的序言中，却甚为称赞斯先生是真专家，而且是踏踏实实的。康先生的这段评论很是有趣，值得在这里摘录：

如今的逻辑，它本身就好玩极了。有志写趣味书者，只要具备斯穆里安的眼力，抓得住似合理实悖理、似悖理实合理的东西，大约就有写出好书的科学条件了。这一条诚然不可少。卖尽噱头，不但遮不住平淡和无聊，搞不好还适得其反，错得不成样子。书店依此而汗牛充栋，读者们依旧饥肠辘辘。幸而斯穆里安跟这类通俗作者毫无共同之处。他是真专家，而且是踏踏实实的。（斯穆里安著，康宏逵译《这本书叫什么》译者的话第3页）

康先生的这段评话颇引人遐思，如今的学界似乎到处都在卖噱头，诉诸无知和无聊，好像全无耻感，反倒荣耀非凡似的。好在还有良知学者的形象存留，那些无知与无聊也就高下立决，可以笑而罔顾了。

好了，我们回到谓词变元的主题，从斯穆里安的定义开始。

斯先生的那本《数理逻辑入门》有点意思，他用很是精炼的概括来说明谓词。

什么是谓词呢？谓词就是若干个参数之间的关系，而这个关系表达式恰恰就是哥德尔原著文本中，表达关系的形式客体R(a₁,a₂,…a_n)，这也正好是斯先生对谓词的表达：

对于任意正整数n，一个符号的集合称为n元谓词或者n度谓词。

然后，斯先生把这些符号的集合使用替代式的大写字母，这些大写字母就表示谓词。

使用有或者没有下标的大写字母P，Q，R来表示谓词，其上的度可以结合语境而定。（参见斯穆里安《数理逻辑入门》中文版2019第166页）。其上的度，则意指关系项的计数数字。

（二）哥德尔用关系来说明谓词

这种谓词表达式，其实就是哥德尔n元关系符号的替代式。把哥德尔原著中的关系式摘录出来，很容易窥见斯先生和哥德尔的一致。以下哥德尔汉译文摘录，正是我在上篇哥德尔汉译中的后半部分：

我们用Φ(a)来指谓匹配于基本符号（也包括基本符号序列）a的那个数。现在设R(a₁,a₂,…,a_n)是这些基本符号或者基本符号序列之间的给定类或者给定关系。我们将把这个类或者关系，匹配于另一个类或者关系R’(x₁,x₂,…x_n)，它在x₁,x₂,…x_n之间成立，当且仅当，存在a₁,a₂,…,a_n使得对于i=1,2,…,n，我们有x=Φ(a)并且R(a₁,a₂,…,a_n)成立。我们将用同样的语词，用小型大写(small caps)的书写格式,并且使用以上提及到的方法，来指谓那些匹配元数学概念的自然数上的类和关系，例如以下一些元数学概念：“变元”，“公式”，“命题公式”，“公理”，“可证公式”等等。例如，在系统P中存在不可判定命题像这样来阅读：存在命题公式a（PROPOSITION-FORMULAE a），使得既不是a也不是a的否定（NEGATION）是可证公式（PROVABLE FORMULA）。

这段摘录中的Φ(a)，就是给n元关系符号R(a₁,a₂,…a_n)配置的哥德尔数替代表达式。那么，这个Φ(a)如何获得的呢？我们在厘清谓词概念和它的替代表达式之后，再来琢磨这个替代哥德尔数的配置。因为正如斯先生所言，我们用P，Q，R来表示谓词，但这只是谓词的替代式，其原形还需要依据语境来确定。

如哥德尔所言，我们先有一个形式客体R(a₁,a₂,…a_n)，它有n个基本符号自由变元从a₁,a₂,…到a_n，这正对应斯先生的n元谓词概念。于是哥德尔用关系来说明的那些公式，就可以转换一个说法。

设有公式A，A中自由变元数为n，

如果n=0，即没有变元，则A为命题公式propositional formula ，这是闭公式。这个闭公式可以看作是零元谓词，零元谓词大约相当于哥德尔的命题公式。它的真假是自身所确定的，例如1=0这样的公式，这里的等号作为谓词，但因为无变元，一看就知道这种谓词公式的真假值。这样的零元谓词，刚刚说过，对应于哥德尔的命题公式。

如果n=1，则A中仅有自由变元b，b自然是个体符号，A为类符号class-sign，这就是主谓词组合成的一元公式。这个一元关系的公式，通常看作表达某个客体自身的属性。例如A(a)，它就是一元的，那个变元a作为个体的属性就是作为类的符号A的属性，或者说a属于A类的一个成员。前述哥德尔的基本公式a(b)，就完全如同一元公式A(a)。这样的一元关系客体，从零元进到一元，这就是一元谓词。由于一元谓词中的那个唯一变元，在代入某个个体客体后，该关系表达式的真假立见而成为一个命题公式。这个一元谓词表达式，还有另一个称呼，称作一元命题函数。关系、谓词和函数，含义相近，又各有其特定含义，得在阅读逻辑文献中反复琢磨。

如果n>1，则A为n元关系符号n-place relation-sign。它表示n个变元之间的关系，这种关系把变元客体串通起来，这样的n元关系符号，就成为n元谓词。它也是命题函数的一种，但命题变元的类型则以其谓词中的变元数为依据。

于是，在以上提到过的无变元的常元形式客体之外，就有无变元的命题公式、以命题作变元的开公式，和以谓词作变元的开公式。

形形色色的公式，除开哥德尔所说的命题公式之外，更基底的应该是基本公式，这是类型1变元和类型2变元组合构成的形式客体，我们姑且称其为命题变元。然后是类型数n>1构成的形式客体，即所谓谓词变元。由此，哥德尔数的配置，也就因变元的不同分成了三个层次，一个是词项变元的哥德尔数配置，一个是命题变元的哥德尔数配置，然后是谓词变元的哥德尔数配置。词项变元的哥德尔数配置已经在上篇做过论述，命题变元和谓词变元的哥德尔数配置，在这里再做一点评述。

命题变元哥德尔数配置，所谓的命题变元，实际上是谓词的基底形式，即所谓一元主谓句的形式。谓词作为主词的性质，它表达的是主词自身所具有的东西，或者用外延的角度看，谓词不过是主词的一个部分。这样的命题变元，在哥德尔的命题分类中，属于基本命题。这一类命题因为涉及到个体之上的第一层类型，在变元类型层次上，自然就属于类型2变元。其哥德尔数配置，是给作为主词的变元配上相应素数的平方数。

而谓词变元的哥德尔数配置，在哥德尔的命题分类中，至少是两个或者两个之上的变元之间的关系，这个关系可以表述为谓词。注意哥德尔在给出系统P基本符号定义时，英译本中的一个评论，那是很有必要的。

拆解汉译就是：

注释：二元或者n元关系的变元作为基本符号是多余的，因为人们可以把关系定义为有序偶的类，定义为有序偶的类的类，例如，用{{a},{a,b}}来定义(a,b),其中，{x,y}和{x}分别代表其元素为x,y和x的类。（参见哥德尔原著2000年英译本2.1节）

这样，哥德尔对于关系变元类型的分层，也就只有类型1变元，类型2变元和类型3变元了。超过类型3变元的定义，自然就成为多余的。由此，我们对于这三个类型的变元，可以简单地表述为个体变元，命题变元和谓词变元。

关于谓词变元的信息，似乎还有话可说。但因为此篇已经够长，还有哥德尔数配置的实例文字也待延续，就让这个余下的谓词变元信息留待虎年再议吧。