以哥德尔命名的哥德尔数——哥德尔拆解汉译之四

在哥德尔的系统P之后，原著文本立刻就出现题为2.1节的哥德尔数。哥德尔写这篇论文的时候，大概不会想到他为逻辑符号、逻辑公式配以自然数，会被后世称呼为以他名字命名的哥德尔数。在哥德尔原著文本中，第二章一气呵成，中间完全没有停顿。哥德尔将其形式系统P描述完毕，立刻就开始了对系统P初始符号的配数。后世各种英译本，为阅读方便大都按内容分节。但从哥德尔文集卷1中可知，哥德尔德文原著和该文集中英译并没有这样的分节。

带德文版的哥德尔文集1

哥德尔文集1中的德文原文没有分节

哥德尔文集1中的英译文也没有分节

一、原著英译本“2.2哥德尔数”的汉译

哥德尔原著各种英译本的分节，应该为读者提供了理解的方便，而且无损哥德尔的原意。也许，正好是这样的分节和分节起名，哥德尔数这个在原著中并没有出现的概念，如今已经成为一个呈现哥德尔思想的专名。我接续898的博文，继续Martin Hirzel英译本的汉译，按英译本原著第2章2.2节 哥德尔数的节名，拆解汉译如下。

原著文本拆解汉译。

2.2哥德尔数

现在，我们将使用自然数唯一地匹配系统P的初始符号如下：

“0”…1   “succ”…3   “Ø”…5

“ú”…7   “"”…9   “(”…11

“)”…13

我们将进一步地用形式为pⁿ的一个数字（其中p是大于13的素数）来唯一地匹配属于类型n的每一个变元。由此，就存在一个在有限基本符号串和有限自然数序列之间的一一对应。我们现在再将自然数的序列映射到（再次一一对应）自然数，通过把序列n₁,n₂,…n_k,对应到数字2ⁿ¹,3ⁿ²,…p^nk_k,的方式来实现这种映射，其中p_k是第k个素数（依据数字次序）。这样，不仅对于每一个基本符号而言，存在唯一地被匹配的自然数，而且对于每一个基本符号序列而言，也存在唯一地被匹配的自然数。我们用Φ(a)来指谓匹配于基本符号（也包括基本符号序列）a的那个数。现在设R(a₁,a₂,…,a_n)是这些基本符号或者基本符号序列之间的给定类或者给定关系。我们将把这个类或者关系，匹配于另一个类或者关系R’(x₁,x₂,…x_n)，它在x₁,x₂,…x_n之间成立，当且仅当，存在a₁,a₂,…,a_n使得对于i=1,2,…,n，我们有x=Φ(a)并且R(a₁,a₂,…,a_n)成立。我们将用同样的语词，用小型大写(small caps)的书写格式,并且使用以上提及到的方法，来指谓那些匹配元数学概念的自然数上的类和关系，例如以下一些元数学概念：“变元”，“公式”，“命题公式”，“公理”，“可证公式”等等。例如，在系统P中存在不可判定命题像这样来阅读：存在命题公式a（PROPOSITION-FORMULAE a），使得既不是a也不是a的否定（NEGATION）是可证公式（PROVABLE FORMULA）。

二、理解2.2节中的符号与哥德尔数配置简析

（一）基本符号的哥德尔数和两种一一对应

1）七个基本符号的哥德尔数

七个基本符号和七个不同素数之间的一一对应，这个很好理解，无需多费文字。可以简单地将其理解为，这些基本符号的哥德尔数，就是它们所对应的￡13的不同素数。哥德尔数的作用，随文本的不断展开会逐渐在文中体现，自然留待后文再议。此处我且用一个表格，先来图示七个基本符号和七个自然数素数之间的这种一一对应：

 七个基本符号和七个素数的对应图表1

“2.2哥德尔数”这一节文字，除去上述基本符号图表的内容，大概总共不到400个汉字，这400字码之中，恐怕还要包括数字字符和英文字符。哥德尔的行文风格，真够简洁的，浓缩的这400个汉字+数字+字母的译文，包含了太多的内容。这400字左右的中文哥德尔数文本，要用更为通俗的中文描述来做个整理，那可得有翻好几番的文字。且待我咬文嚼字，慢嚼细咽，一字一句地消化分解，然后梳理成文吧。

2）两种自然数序列的一一对应

首先不是消化描述变元哥德尔数的首段，而是其中的“由此…”那一段，它表明符号和符号序列与哥德尔数之间的对应是一一对应，相互映射的。以上的常元基本符号与哥德尔数是一一对应的，哥德尔形式系统P中所有的符号和符号序列，它们和其哥德尔数也是一一对应的。这种对应如同下段哥德尔语录所陈述的，存在两种对应途径。

由此，就存在一个在有限基本符号串和有限自然数序列之间的一一对应。我们现在再将自然数的序列映射到（再次一一对应）自然数，通过把序列n₁,n₂,…n_k,对应到数字2ⁿ¹,3ⁿ²,…p^nk_k,的方式来实现这种映射，其中p_k是第k个素数（依据数字次序）。这样，不仅对于每一个基本符号而言，存在唯一地被匹配的自然数，而且对于每一个基本符号序列而言，也存在唯一地被匹配的自然数。

第一个对应，是有限基本符号串和有限自然数序列之间的一一对应。这就如同以上图表所示，它是素数13以下数字（包括13）和基本符号的一一对应。

而再次的一一对应则是，这些自然数序列n₁,n₂,…n_k,和一组特殊数字形式的对应，这些特殊的数字形式就是其中的数字2ⁿ¹,3ⁿ²,…p^nk_k,等。这些按照大小依次排列的素数为底，以多重符号为上标下标的数字表达式，这里且再做一点描述。

序列n₁,n₂,…n_k,即有限基本符号串，n的下标是这些符号串的编号。这里的基本符号配置哥德尔数，构成的也是自然数，这些自然数按数字顺序编排从1起点到k终点。我们可以想象一下，这个符号串n₁,n₂,…n_k,会是什么样的客体呢？它无非就是我们按照基本符号的配数标准而获得的一个自然数序列。

再次对应的那个数字序列2ⁿ¹,3ⁿ²,…p^nk_k,，则是按照变元的配数标准获得的自然数序列。该序列中的每一个自然数，都是按照大小排列从1到k的素数为底，以基本符号哥德尔配数为幂的自然数。即序列n₁,n₂,…n_k,依次作为素数的数字序列2₁,3²₂,…p^k_k,的幂，由此而构成了一串带有幂次方的自然数序列，该序列最后的p^k_k，则是第k个素数。

这第二次对应，自然就需要我们关注哥德尔P系统的变元类型，于是，我们从哥德尔常元走进哥德尔的变元。先回到拆解汉译的前段，然后跳过两次对应的译文段，我们到达了哥德尔的基本公式a(b)部分。

（二）三种类型变元的哥德尔数

先回到拆解汉译的前段。

哥德尔说：我们将进一步地用形式为pⁿ的一个数字（其中p是大于13的素数）来唯一地匹配属于类型n的每一个变元。

前述七个基本符号，称作系统P的常元。既然给系统P的常元配备了哥德尔数，接之自然就是给变元配置哥德尔数。常元之后紧接着的这一段话，就是在为形式系统P中的变元，配置哥德尔数，这自然引导我们去回顾哥德尔P系统中的变元设置。

形式为pⁿ的符号因为是自然数，p符号的上标表示的就是p作为素数数字的幂。在哥德尔的变元设置中，变元类型是用自然数来指称的，他标出了第1类型变元，第2类型变元，第3类型变元，如2ⁿ¹,3ⁿ²,…p^nk_k,所示。自然会有超过3的变元类型，但就逻辑变元类型而言，一般有3个类型的实例，就足够说明哥德尔变元符号的层次了。素数pⁿ符号的上标n，它既用来表示对应素数的幂方数，同时也用来表示哥德尔变元的类型数。也就是说，哥德尔的变元类型数，指代了其哥德尔数的幂。素数p上标的n应该是从1开始计数的自然数，而非从0开始。很明显，若n=1，则p¹=p，我们有关变元类型的起点从类型1开始。

1)类型1变元的哥德尔数是>13的某个素数自身，也就是该素数1次方

变元总是和变域相关，也有译为变程的，这很容易使得我们去和自然语言中的概念（名词）做比较。现代逻辑大概不会专讲传统逻辑中的概念，但十多年前的普通逻辑教程，教授传统逻辑常识时，概念常常是专门的一个概念章。一个概念总是由一个或者多个元素来构成其外延，传统逻辑中的外延，很类似于前述的变域或者变程。传统逻辑中的概念章，一般会提及到概念的限制和概括。个体，即所谓专名或者摹状词，这是概念的基底层次。从底层开始概括，每向上概括一个层次，大概就类似哥德尔所说的类型提升。所以，哥德尔个体变元中的个体，就相当于一个专名类型，或者用罗素的摹状词说法，相当于一个摹状词类型。传统逻辑中称作单独概念。单独概念称作概念，是一种基底性的表述形式。所以，现代逻辑出现之后，卢卡西维茨在其《亚里士多德的三段论》一书中认为，亚里士多德三段论并不处理单独概念，只处理普遍概念。单独概念只是个体，它并不能作为主谓句的谓项（卢卡希维茨《亚里士多德的三段论》第13页）。因此，所谓类型1变元，不是从单独概念起始，而是把个体作为元素的个体变元那里开始。在哥德尔那里，这就是类型1变元。（当然，我们也可以把起点前移到零，若一个b(a)公式没有变元，则这个公式大概可以称作0元变元的公式，自然其类型就是0元类型变元。）

因此，哥德尔类型1变元的变域，如果不限定在自然数的范围，那就是专名或者摹状词或者单独概念的范围之内。若限定在自然数范围，每一个具体的自然数，都可以看作是专名。自然数的个体，一般也称之为自然数的元素，也就是一个一个独一无二的自然数，如果其作为变域，这样一个变域，就是哥德尔系统P中的类型1变元。这时候，类型1变元实际上是所有个体元素的一个集合，已然类似于传统逻辑中，由多个个体元素构成的普遍概念了。

由此而可知，哥德尔类型1变元的哥德尔数，配置的是某个大于13的素数自身，它的幂次方和类型1中的1等同。数字1在这个对应的配置之中，和以下的类型2，直到类型n，都是以自然数为变域的数字。这个数字n承担了双重责任：它既是变元的类型数字，也是哥德尔数中以素数为底的一个幂数字。

2)类型2变元的哥德尔数是>13的某个素数的平方，也就是该素数的2次方

类型2变元是个体构成的类，如同哥德尔描述的，属于自然数中的一个子集。任意自然数都可以构成一个类或者一个集合，类不同于单元素个体，它由一个或者多个元素组成，通常用大括弧来圈住的一种数字类型。例如｛1，2，3，4，5｝，由5个数字元素构成一个类或者集合。集合概念，似乎比类概念的含义更为宽泛，在哥德尔的系统P中，这样的数字类型，哥德尔解释类型2的时候，把类型2看作是自然数的子集。但在给类型2变元配以哥德尔数的时候，他改换了类型提升方式，用命题变元来表示类型2变元。传统逻辑中的概念级别提升，在这里换了一个角度。那似乎不是概念自身的提升，而是单体元素向组合元素的提升。如果说，类型1变元的变域个体可以类比自然语言的一个专有名词或者摹状词的话，当类型1的个体提升为类型2的类或者子集的时候，由个体构成的类可以类比的客体，似乎就不是语词，而是语句或者命题了。回看哥德尔有关不同类型变元，来构成基本命题公式的一段论述，似乎可以领悟到这一点。

我们称形式为a(b)的符号组合为基本公式（elementary formulae），其中的b是类型n的符号，a是类型n+1的符号。

由此段论述可知，哥德尔的基本公式界定，是由变元类型来决定的。反过来，依据所界定的公式，我们又可以判定构成公式的变元所具有的类型。传统的词项概括升级方式是从词项（语词）到词项（语词）的概括，其实质是把下一级的词项作为上一级词项的元素或者成员来看待。但在最基本公式的情况下，却常常并不是传统逻辑的概括。哥德尔用基本公式的方式来说明这种类型提升，似乎也是对于这种传统语词概括的继承，但其中隐含着超越传统逻辑的一些现代考量。

从哥德尔上述基本公式描述中，可以很明显看到，基本公式a(b)作为符号组合，若b是类型1变元，a不就是类型2变元么？由此，这样的a(b)公式，自然就是基本公式中的基本公式，可称作最基本公式也。用自然语言来描述这个a(b)公式，它不就是前述古典的亚里士多德式主谓句b是a么？b是个体或者类，a是由个体或者类构成的类或者类的类。而当b是一个单独个体之时，主词b就再也不是变元，而是一个如同哥德尔基本符号中的常元对象了。于是，我们在这样一个解释之下获得的命题公式，就是一元关系公式，或者一元谓词公式。a成了主词b的一个谓词，或者说a是b的一个性质。那个谓词a所表达的客体，自然就是类型2变元。

那么，既然表达性质的谓词才是类型2变元，为什么说这个类型2变元是命题变元呢？克林在《元数学导论》中所表述的函数分类，很巧妙而且相当合理地回答了这个为什么，值得在这里多花点文字。

一元谓词（关系）命题，也可以看作是一元函数。哥德尔理论与函数概念关系密切，在这里回顾一下函数的基本观念看来也有必要。克林把函数分成4类，一类称作真值函数，一类称作数论函数，一类称作特征函数（莫先生翻译为“代表函数”），还有一类称作谓词函数，简称谓词。用克林的语言，谓词函数的基底就是一元关系函数。哥德尔的那个基本公式a(b)，就是一元函数的典型符号表达。作为函数来理解，符号a成为b的一个性质，而符号b则是具有某个性质a的客体对象。而当b被看做是一个变元的时候，也就是克林称之为空位的时候，那就表达的是一元关系函数。哥德尔的基本公式界定，其中的类型2变元，应该是在这个意义上的界定。这样一个用主谓句的分析来界定的类型变元，不仅用来界定类型2，也用来界定更高类型的变元，我们在这里自然只考虑类型3变元。

那么，怎样的变元，会是类型3变元呢？

3)类型3变元的哥德尔数是>13的那个素数的立方，也就是该素数的3次方

从以上描述可知，一元谓词公式a(b),当b是类型1变元，则a就是类型2变元。自然，当b是类型2变元，则a是类型3变元。这个类型3变元，似乎要对哥德尔强调一一对应之后接下来的一段描述，加以一定解释之后才好理解。在以下摘录的汉译文中，为叙述方便，我在每一句前面配置了编码序号。

①我们用Φ(a)来指谓匹配于基本符号（也包括基本符号序列）a的那个数。②现在设R(a₁,a₂,…,a_n)是这些基本符号或者基本符号序列之间的给定类或者给定关系。③我们将把这个类或者关系，匹配于另一个类或者关系R’(x₁,x₂,…x_n)，它在x₁,x₂,…x_n之间成立，当且仅当，存在a₁,a₂,…,a_n使得对于i=1,2,…,n，我们有x_i=Φ(a)并且那个R(a₁,a₂,…,a_n)成立。

在第一句①译文中，出现了类似前述a(b)一元关系符号的另一种公式表述Φ(a)。这个Φ(a)用来表示基本符号或者基本符号序列a的哥德尔数，也就是说，我们给a配置了哥德尔数，a的哥德尔数可以用Φ(a)来表示。

然后看下一句②，又是一个假设。注意，这个假设是设定了关系R。这个R是一个给定类或者给定关系，什么样的给定类或者给定关系呢？这个R是基本符号或者基本符号序列之间的给定类或者给定关系。因为a就是基本符号或者基本符号序列，如果a=(a₁,a₂,…,a_n)，则序列a₁,a₂,…,a_n之间的关系就是R。

接下来的第三句③，似乎表述了更为复杂一点的哥德尔数。若干个符号之间的关系R，它被配置了另一个类或者关系R’(x₁,x₂,…x_n)，这相当于在说，后者就是前者配置的哥德尔数，但这个哥德尔数必须满足随后给出的条件。这个条件就是：存在a₁,a₂,…,a_n使得对于i=1,2,…,n，我们有x_i=Φ(a_i)并且那个R(a₁,a₂,…,a_n)成立。

这也就是说，先有Φ(a)来指谓匹配于基本符号（也包括基本符号序列）a的那个数。然后，若Φ(a)=序列a₁,a₂,…,a_n，=Φ(a_i)，则出现另一个序列(x₁,x₂,…x_n)=x_i=Φ(a_i)，来匹配在前的序列，即作为序列a₁,a₂,…,a_n，的哥德尔数。这告诉我们的似乎是，当Φ(a)的a仅只有一个变元的时候，这样的变元就是类型2变元。而当Φ(a)的a有若干个变元出现的时候，这样的变元就是类型3变元。

这一段有很多值得琢磨的地方，限于篇幅，暂且到此，后续博客文字再来补充吧。

（三）元数学概念的表述

我们来看2.2节的最后一段。

我们将用同样的语词，用小型大写(small caps)的书写格式,并且使用以上提及到的方法，来指谓那些匹配元数学概念的自然数上的类和关系，例如以下一些元数学概念：“变元”，“公式”，“命题公式”，“公理”，“可证公式”等等。例如，在系统P中存在不可判定命题像这样来阅读：存在命题公式a（PROPOSITION-FORMULAE a），使得既不是a也不是a的否定（NEGATION）是可证公式（PROVABLE FORMULA）。

哥德尔这是在告诉我们，区分数学系统内的概念和超越系统的元数学概念是十分重要的。在哥德尔的原著文本中，凡属元数学概念，一概用小型大写的方式表述。这在其后的46个定义中特别明显，几乎每一个定义中他都做了这样的区分。区分数学和元数学，语言和元语言，这是自哥德尔之后逻辑和数学领域思考问题的一个层次原则。

小型大写字母截图

三、实例说明哥德尔数配置

现在，我们该脱开哥德尔的原著，用实例方式来说明哥德尔数该如何配置了。

（一）常元或者基本符号序列的哥德尔数配置

如上所述，哥德尔给出了常元的哥德尔数配置。自然，常元或者基本符号的哥德尔数配置，就是以上图表1所示的情形。但是，哥德尔走得太快，接之给出的只是变元哥德尔数的配置，常元作为序列的哥德尔数如何配置，他没有任何说明。也许，这常元符号的哥德尔数配置，在哥德尔眼中，不算什么事，可以忽略过去吧。但常元符号也有基本符号和符号序列之分，在使用哥德尔数配置的时候，自然会有一个和变元配置方式一致的问题。例如succ是一个常元符号，配置自然数3。但当这个符号和其它常元符号组合时，例如succ，还有常元0的组合，形成一个符号序列succsuccsucc0的时候，我们该如何配置其哥德尔数呢？这个组合显然构成了形式系统P中的一个词项，它的语义是自然数3。如何给这个常元符号序列配置哥德尔数呢？当然是和变元的哥德尔数配置保持一致。

在康先生《可能世界的逻辑》一书中，我找到康先生阐述哥德尔数配置的一个公式及其简要说明，他的描述释放了我的困惑，在此不妨借来。康先生说，哥德尔配数法总是有点任意的，但必须一对一，保证这一点就足够。而且，无论如何配置，都要产生天文数字。不如只做设想，按照某种固定方法给任意符号配好数就得了。

而这种固定方法，就是康先生给出的如下和哥德尔配数一致，但又包括了哥德尔未提及到的常元符号序列的哥德尔数配置公式。康先生的这个公式，可描述如下：

如果符号s_i的哥德尔数是k_i，那么符号序列s₀s₁…s_n的哥德尔数通常定义为：

p^k0₀.p^k1₁.….p^kn_n，

这个公式中，i=0,1,2..n。所以，p_i是按照大小顺序排列的第n个素数。而上下标都有的符号p^k0₀.p^k1₁.….则是第0个素数，第1个素数直到第n个素数的k₀次方，k₁次方，直到k_n次方的哥德尔数。有了这个公式之后，如果有符号序列e的哥德尔数是l，则符号序列的序列e₀e₁…e_n的的哥德尔数就可定义为p^l0₀.p^l1₁.….p^ln_n，也就是各个项相乘。

由此，每个系统P的语法对象，特别是词项，由常元来构成的符号序列所指称的词项，就都得到唯一的哥德尔数了。（参见康宏逵《可能世界的逻辑》第5-6页）

上述公式显示了三个序列。

第一个序列，是作为哥德尔数配置对象的符号s_i所表示的符号序列s₀s₁…s_n。

第二个序列，作为自然数编号顺序的自然数序列，i=1，2，3…，它既为客体对象s_i排序，也为配置后的哥德尔数排序。

第三个序列，作为给s_i序列配置的哥德尔数序列p^k0₀.p^k1₁.….p^kn_n。

在序列一中，s_i序列是用所谓拼接运算组合而成，这在哥德尔随后的46个定义中有说明，且待后续再论。在序列三中，哥德尔数之间的运算是乘法运算，而且是带有高次方幂的数字相乘，所以，怎么样也是天文数字。

由以上公式可以看到，符号序列的哥德尔数是从0开始编号的，第0个素数实际上就是排位第一的素数2，然后是3，5，7…直到第n个素数。当我们用这个公式来配置常元符号序列的哥德尔数的时候，例如使用拼接运算的常元符号序列succsuccsucc0哥德尔配数，公式模式就成为以下的符号序列：

2^k0₀.3^k1₁. 5^k1₂..7^kn₃，

因为succ的哥德尔数为3，所以，上述符号串就成为：

2³₀.3³₁. 5³₂..7¹₃，

……。

还是用图表来表示更为清晰，以下图表2粗略地显示了以上公式的推演过程，也显示出其互为导出的一一对应。右边的操作序号是从形式客体到哥德尔数，左边的操作序号是从哥德尔数返回到对应的形式客体。

 拼接的常元序列succsuccsucc0哥德尔配数过程图表2

（二）变元的哥德尔数配置

同样可以列出另一个表格，来表示变元的哥德尔数配置。

不同类型变元的哥德尔数配置图表3

显然，上述提及到的变元类哥德尔数配置，还只是哥德尔系统P中单个变元符号的配置。我们看到常元类符号的哥德尔数，看到变元类符号的哥德尔数。但由这两类符号生成的系列，它们的哥德尔数在哪里呢？我们用这个哥德尔数，如何来实现对于形式系统特别性质的揭示呢？这篇博客，只能是对于哥德尔数这一小段的汉译，只能是分类符号的哥德尔数解读。关于变元及其类型，关于变元常元组合成的符号序列，以及这些符号类型的序列，序列的序列，其哥德尔数该如何配置，似乎还需要更长更长一些的文字。本篇博文暂且在此打住，有关变元序列，有关常元变元组合序列，以及序列的序列该如何配置其哥德尔数，且留待下篇文字。