摘要：以自然数集合为例，展示了充足理由律的威力：不但指出了现有理论中的种种错误，还得到了无限集合的外延是可变的，无限集合不能与其真子集一一对应，不存在不可数集合等等结论，并一一列出了与二进制小数一一对应的自然数集合幂集的各元素，实际上证明了实数是可数的。

关键词：充足理由律；批判性思维；集合论；自然数集合；真子集；不可数集合

科学研究是遵循着发现问题、分析问题、解决问题这一路径发展的。其中，发现问题是最关键的一步，因为如果发现不了问题，当然也不会去分析、更不会去解决问题了。

批判性思维是发现问题的主要方式。很多年以前，Nature连发两文，批评中国缺乏批判性思维。

近十几年以来，中国高度重视批判性思维能力的培养，从而带来了中国科学技术的快速发展。

充足理由律是批判性思维的利器。符合充足理由律的思维方法要求任何一句话，只要不是显然正确或已被证实的，就必须给出理由或加以严格的证明。

可惜的是，人类的思维方法远未达到这个水平。即使在最严格的数学，想当然的事情也时有发生。存在着很多并不显然正确但实际却被广泛使用着的命题，这些命题甚至没有被写成命题的形式，而仅仅存在于人们的潜意识中，时不时跳出来扰乱人们的正常思维，更不要说对其进行严格证明了。

例如，对大多数缺乏批判性思维能力和习惯的人来说，往往采用较为省力的“相信权威”这一思想方法。

应该承认的是，在社会群体中，这个思维方法并非一点积极意义都没有:因为它非常简单，而且有时候可以避免走弯路。

在紧急情况下，例如发生战争时，服从权威甚至是唯一可行的原则。

然而，如果认为权威一定是对的，那么各个时代都有权威，比方说如果坚信石器时代的权威是对的，那么人类或许还停留在石器时代。

例如，在最基本，最简单的自然数集合这一概念里，尤其在无限的自然数集合概念里，充满了很多并不符合充足理由律的命题。

本文先给出了简单又可靠的符合充足理由律的自然数集合的理论，同时对现有理论中的错误进行了批判。

在本文的写作中。除了显然正确的命题(例如十进制里的1+1=2)以外，每一句话都要有十分充分的理由或给出证明。

定义1:从1(或0)开始，逐项+1形成的序列

1，2，3，……                                                                               (1)

称为自然数序列。

序列(1)的性质

性质1:序列(1)中没有最大自然数。

证明（反证法）:假定序列(1)中存在最大自然数m，则m*=m+1仍然是自然数，且m*>m，与m是最大自然数矛盾，证毕

注意，性质1 及其证明是人所共知的。这里不过是为了保证叙述的完整性再提一下而已。

实际上，性质1是本文和现有理论不多的共同点之一。

性质2:序列(1)是列不完的。

证明（反证法）:假定序列(1)是列得完的，则列完时得到的自然数就是最大自然数，与性质1矛盾，证毕。

注意，本来，列不完自然数，只不过是一个简单的常识，但对于只相信逻辑，不相信直觉的人来说，如果不用逻辑加以证明，他可能就会认为直觉是不可靠的而否认这一点。所以我这里就证明了一下，这样这个命题就具有了可靠的科学意义。

有的人可能认为，只要有足够的时间和空间，自然数就是可以列完的。但从性质2的证明过程可以看到，即使给予无限的空间和时间，自然数仍然是列不完的，否则就会出现最大自然数，与性质1 矛盾。。

本文的所有可能看起来十分奇怪的后续观点，实际上都建立在这一简单且可靠的科学命题基础上。

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批判1: 充足理由律要求任何并不显然正确的命题都是必须严格证明的，否则就不能成立。实无限论者不加证明地认为无限是可以完成的，从而得出自然数的列出过程是可以完成的这一与可以严格证明的性质2矛盾的结论，显然不符合充足理由律，所以无法成立。

实无限观是康托与无限有关的思想的基本出发点，由于出发点不符合充足理由律，这就导致了康托与无限有关的基本思想都无可靠性可言。

例如，实际上，康托关于自然数的理论大都建立在自然数可以列完这一想当然的虚假命题基础上。

批毕-------------

定义2将自然数序列（1）称为无限的自然数序列，而以下序列称为有限的自然数序列:

1，2，3，……，m-1，m                                                   (2)

其中m为最大自然数。

定义3。由有限(或无限)的自然数序列的项为元素的集合称为有限(或无限)的自然数集合。

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批判2：通常将自然数集合定义为由全体自然数组成的集合，这个定义是有问题的:要将自然数集合定义为全体自然数组成的集合，首先必须证明全体自然数这一概念是存在的。

任何概念有内涵与外延，就内涵来说，全体自然数当然是存在的，只要规定任何一个自然数都在这个概念里面就可以了，但如果要给出具体的外延，就有问题了:

除非我们能把全体自然数至少能在想象中全部列完，然后才有充足的理由说全体自然数的外延是存在的：都已经全部列在那里了，怎么能说不存在呢？但根据性质2，这是不可能的:不要说实际上不可能列完，就是想象中也列不完，否则就会出现最大自然数，与性质1矛盾。

也就是说，在任何情况下，我们都得不到全体自然数，有何充足的理由可以说这个概念的外延是存在的呢？

所以本文自然数集合的定义并不采用全体自然数这一不可靠的概念，而采用本来就列不完的序列(1)中的项来定义。

批毕---------------------

自然数集合的性质

性质1，自然数集合中的任何一个元素都是自然数，即其内涵是确定的。

注意: 其逆命题即“任何一个元素都是自然数的集合是自然数集合”并不成立，比如说偶数集合或奇数集合，虽然每一个元素都是自然数，但都不是自然数集合。

性质2，有限自然数集合的外延是确定的。

其逆命题也成立：

命题1 外延确定的自然数集合是有限的自然数集合。

证明:所谓自然数集合的外延就是自然数，集合的外延一旦确定，集合内的自然数就都已经确定不变了，其数量当然也不可能再增加。由于自然数是可以比较大小的，在一群数量不变的自然数中必然可以通过比较大小找出其中的最大自然数，因此外延确定的自然数集合是有限的自然数集合。证毕

因此，不存在外延确定的无限自然数集合，也就是说：

性质3，无限自然数集合的外延是不确定的。

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批判3:在集合论中，有限集合的外延都是确定的，这样研究起来就很方便，但这种确定性并不能推广到无限集合，以自然数集合为例，虽然存在内涵确定的无限自然数集合，但由命题1及性质3可见，不存在外延确定的无限自然数集合。

讨论不存在的东西是没有意义的，而且往往会引起矛盾。例如，在欧氏空间中讨论非欧几何的平行公理是没有意义的。非欧几何的平行公理只能在非欧空间中讨论。

整个集合论的无限部分都建立在存在外延确定的无限集合这一错误基础上，全错了，例如，所谓表示自然数集合元素数目(基数)的固定不变的阿列夫0，就不符合事实：无限自然数集合的外延不是固定的，不能用固定的数来描述。

批毕--------------

性质4 无限自然数集合的元素数目（对元素的计数结果）是一个没有上界的自然数变量。

证明  根据命题1和性质3，无限自然数集合的外延是不确定的，它的元素数目也是不确定的，故只能用一个自然数变量来表示，由于无限自然数集合没有最大自然数，因此该变量是没有上界的。证毕

这里要注意的是，虽然无限集合元素数目是一个变量，但这并不意味着两个无限集合的元素数目是无法比较的。

根据性质4，无限自然数集合的元素可以用实数域内的自然数变量来表示，而任何自然数变量都是可以比较大小且可以做加法(如x+1>X)。

例如，设用x表示N={1,2,3…}的元素数目，则N1={0}UN的元素数目为x+1>x。即N1的元素数目比其真子集N多了一个元素。

不难看出，用这种直接根据集合定义来比较集合大小的方法^[1.，2]比基于一一对应的所谓基数方法要简单、精确且可靠得多:后者甚至无法区别N和N1的大小。

性质5 无限自然数集合不是唯一的。

证明，根据性质3，无限自然数集合的外延是不确定的，因此不同的外延对应于不同的无限自然数集合。证毕

例如，假定A班招一个学生，B班就要招两个学生，若招生工作永不停止，则由学号为元素形成的两个无限自然数集合:

A:{1,2,3,…….}                                                                              (3)

B:{1,2,3,…….}                                                                              (4)

就不可能是同一个自然数集合。

不证自明的是，在任何时候，班级B的学生数都是班级A的学生数的两倍，或者说，集合B的元素数目是A的元素数目的两倍。

这里要注意，由于两个省略号表示的内容并不一样，因此我们不能仅仅因为这两个集合看上去一样，就以为是同一个集合，并以为这两个集合的元素是可以一一对应的，这不符合充足理由律：

所谓一一对应，就是两个集合的元素一个不多，一个不少地一一配对，通俗地说，就是一个萝卜一个坑（群友MAN语）。这时，容易证明，

命题 2两个集合之间可以建立一一对应的充分必要条件是两个集合的元素数目精确相等。

例如，由于（3）（4）的元素数目不同，集合A和B之间不能建立一一对应。

由此可见，误以为省略号里面的元素都可以顾头不顾尾地一一对应，或者看到两个集合看上去一模一样，就以为一定是一个集合。是一种简单化的思维方式，不符合充足理由律。

而且，任何集合的元素数目显然是比其真子集多的，因此，根据命题2，容易证明：

命题3 无限集合的元素不可能与其真子集一一对应。

例如，N1与其真子集N之间不能建立一一对应。

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批判4：康托的整个与无限有关的理论体系都建立在自然数集合是唯一的基础上的，这部分内容全都错了。

例如，有理数集合Q包含真子集自然数集合N，因此有理数的数目比自然数要多得多，根据命题2和3，Q和N之间是不可能建立一一对应的。但如所周知，康托确实在有理数集合和自然数集合之间建立了一一对应，这是他对数学的贡献，但他却没能正确地解释这一件令人奇怪的事，并反而据此得出了所谓无限集合可以与其真子集一一对应这一明显错误的结论！

康托本人牵强附会甚至有点强词夺理地辩解说，无限集合的元素与其真子集一一对应，这是无限的特点，完全没有矛盾。

那么是否一到了无限，充足理由律就不成立了？明明是矛盾，说它不是矛盾，就可以变成没有矛盾了？

既然连充足理由律都不需要了，矛盾也可以视而不见，那就可以想怎么说就可以怎么说，可以出现无限多个互相矛盾的理论，这还是科学吗？

批毕------------

那么，有理数又怎么会与自然数一一对应呢？

问题的全部秘密在于自然数集合不是唯一的:与Q一一对应的自然数集合并不是其真子集N，而是远远大于N的另一个自然数集合，不妨以N2表示之，而N只是N2的一个真子集。

同理，康托定理只是证明了自然数集合N(或其他集合M)的幂集元素P(N)(或P(M)不能与N(或M)一一对应，并没有证明P(N)(或P(M)不能与任何其他的自然数集合一一对应。事实上，没有任何充足的理由可以认为P(N)的元素：

{} ,{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}……{1,2,3……}            （5）

是不能用自然数编号即与自然数一一对应的。

注意，这里不但列出了有限子集，也列出了无限子集，比如上面最后一个子集。

不难发现，由于P(N)的元素可以与二进制小数一一对应，所以上面其实已经把二进制小数一一列出来了。

对角线法也类似：如果用N表示小数的位数，那么对角线法只证明了小数的个数不能与N这一自然数集合一一对应，并没有证明小数的个数不能与任何其他的自然数集合一一对应。

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批判5：没有任何充足的理由可以认为实数轴上的实数点是不能一一列出的，为此，可将其中的小数a1,a2,a3,…..一一列出,其中

a₁=0.a₁₁a₁₂a_13....

a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃....                                                                              (6)

a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃....

.......

等号右端的下标组成了一个无限大的矩阵。

在对角线论证中，康托令。

b=0.b₁b₂b₃...，                                                                              (7)

这里,

b_k≠a_kk, （k=1,2,3,...)                                                                    (8)

b似乎不同于(6)中的任何一个小数，从而似乎与(6)已经一一列出了小数相矛盾，康托据此认为并不能把实数点一一列出，从而建立了在数学史上影响巨大的所谓不可数理论。

然而，在推理过程中，任何一个细微的错误，都可能导致失之分毫、差之千里的严重后果，因此，充足理由律要求证明过程不能放过任何一个细节。

不难发现，由于在（8）中用同一个k来表示矩阵的列标和行标，这就使得对角线论证仅仅局限于(8)中行标(小数数目)与列标(小数位数)严格相等的无限大的正方形矩阵内。由于谁也没证明过(6)当中的小数位数和小数个数是严格相等的，因此在对角线证明中自觉或不自觉引入两者相等这一假设毫无道理，完全不符合充足理由律，这就使得上述推导并无任何普遍意义，由此导致矛盾也毫不奇怪，与可列与否没有必然关系。

事实上，b的存在只不过证明了小数的个数比小数的位数至少多了一个b而已。由于小数个数本来就比小数位数多得多，所以对角线论证其实什么也没有证明。

但数学史(或许还累及哲学史)却因此走过了一个大大的、毫无必要的弯路，足可见不严格遵守充足理由律的后果是多么严重。

批毕--------------------------

因此，如果把可数集合定义为能与任何一个自然数集合一一对应的集合，则康托并没有证明不可数集合的存在。

这里要注意，根据命题2，两个集合之间能否建立一一对应关系，仅仅取决于两个集合的元素数目是否相同，与这些元素如何排列是无关的。

例如，N={1,2,3,….}={1,3,5….2,4,6,….}, 如果从排列的角度来看，两个大括号内的元素似乎无法一一对应。然而，同一个集合怎么可能不能一一对应呢？所以，两个集合之间能否建立一一对应关系与排列有关只是一个假象。

事实上，只要通过重排，总可以使得集合内只有一个省略号。

例如，对于有3个省略号的集合

{a1,a2,a3…….b1,b2,b3…….c1,c2,c3……….}                              （8）

可以重排成

{a1,b1,c1,a2,b2,c2,a3,b3,c3…….}                                              （9）

显然，没有任何理由可以认为这类集合的元素是不能用自然数编号的，即不能与自然数一一对应。

从理论上来说，根据命题2，两个集合的元素数目相同就必定可以建立一一对应，而自然数集合的元素数目又是一个无上界的变量，因此，不可能存在一个集合，其元素数目超过任何自然数集合，否则就与自然数集合的元素数目无上界矛盾。因此，这里实际上已经证明了：

命题4:不存在不可数集合。

 例如，(5)实际上已经把二进制小数一一列出。

根据自然数集合的非唯一性，还可以证明^[3,4]康托所有建立在自然数集合唯一性基础上的反直觉的东西都是错的。

例如，无限小数的位数只能用自然数来表示。因为自然数集合不是唯一的，所以无限小数的小数位数也不是唯一的。因此可证，当无限小数的小数位数相同时，不同维度空间之间不存在一一对应关系，不同长度线段之间也不存在一一对应关系。

而对康托来说，不仅不同长度上的点可以一一对应，而且有限长度的点也可以一一对应到无限长度，据此，如果有不止一个宇宙，那么一个纳米上的点就与跨越几个宇宙的直线上的点一样多！

至于不同维度空间中的点之间存在一一对应关系，不要说十分反直觉了，从康托与戴德金的书信往来中可知，连康托本人也感到难以相信，只是他找不出他那并不符合充足理由律的所谓逻辑推导中的错误，还是把它发表了而已。

建议教育部暂停无限集合的教学，以免误人子弟。

参考文献

[1]李鸿仪. 定义法比较无限集合元素数目的相对多少

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1392283.html

[2]Li Hongyi.The Method by the Definition of Sets to Compare the Relative Number of Elements in Infinite Sets

https://vixra.org/abs/2306.0116 （英文）

[3]李鸿仪.自然数集合的非唯一性.

 https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1406288

[4] Li Hongyi.The Non-uniqueness of the Set of Natural Numbers

https://vixra.org/abs/2310.0054（英文）