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任何数学定义必须首先保证它所定义的对象是存在的。
比如欧几里德空间中没有正十面体,那么在欧几里德空间定义正十面体就没有意义。如果非要定义,可能会形成另一种未必有实际意义的非欧几何。
同样,自然数集合的定义必须基于该集合的存在性。
例如,如果N被定义为已经包含全体自然数集合,那么首先必须保证“全体自然数”这一概念是存在的。
在数学中,“全体自然数”通常有多种含义。首先,在“全体自然数”中,我们不能排除任何一种自然数。比如偶数集中没有奇数,所以虽然任何偶数都是自然数,但我们不能称偶数集为自然数集,因为它排除了奇数。单从这个角度来看,“全体自然数”
这个概念当然是成立的。
但是,“全体自然数”的另一层意思是,我们找不到任何“全体自然数”之外的自然数。如果仅仅从内涵角度来说,自然数集合中的每一个元素当然都是自然数,这一点是确定不变的,也是非常清楚的,但如果从外延的角度来说,这个概念就有问题了。如所周知,自然数可以通过添加后继不断增加。除非这个过程可以终止,也就是不再有后继数,才有可能形成“全体自然数”的外延。然而这是不可能的,所以永远不可能形成外延确定不变的“全体自然数”。
无穷公理或皮亚诺公理也只是证明了任何自然数都可以由0或1通过+1形成,并没有证明+1过程可以结束形成全体自然数。将
我已经在以前的博文中多次说过不存在外延确定不变的“全体自然数”,这里再给出一个可能是最简单的证明。
我在上一篇博文说到;
“在数学中,无限大指的是数的大小没有界限或限制,可以一直增加。
由于实数内任何数都是有限的,因此实数域内的无限就是指有限数的大小没有界限和限制而已。”,为此,
定义:称取值为1,2,3….. 的无界递增变量中任意大值的变量为无限变量。
无限变量的性质:
性质1:对于任一个自然数n*,总存在无限变量。的取值n’,使得n’﹥n*,
性质2:对无限变量的任意取值n’,总存在自然数n*,使得n*﹥n’。
定理 不存在全体自然数。
证明(反证法):假定存在全体自然数,则性质1可改写为,对于全体自然数中任一个自然数n*,总存在无限变量的取值n’,使得n’﹥n*,即无限变量的取值n’可以大于全体自然数中的任何一个, 显然这与性质2矛盾,所以,存在全体自然数这一假定错误,即不存在全体自然数。证毕
这里要注意,只有当“全体”这个概念存在时,“任一”才可以当作“全体”,否则的话,如果连“全体”这一概念都不存在,又怎么能把“任一”当作并不存在的“全体”呢?
显然,由部分自然数组成的集合也可以是无限集合。比如说奇数和偶数都只是部分自然数,但它们都是无限集合。
既然不存在由全体自然数组成的集合,只存在由部分自然数组成的集合,而仅仅由部分自然数组成的集合不可能永远是一样的,这就再次证明了,自然数集合不是唯一的。
根据这一点,容易证明,康托几乎所有的命题都是建立在自然数集合的唯一性基础上的,因此都是错的。
详见 https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1406288
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