“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

本人在逻辑检验方法检验《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性一文中推导出了布朗运动首中时逻辑悖论，北京大学附属中学的单治超老师认为推导过程有问题，昨天在布朗运动首中时逻辑悖论的另一种推导方法一文中换了一种推导方法，单治超老师仍然认为有问题，今天再给出第三种推导方法，直接从《随机过程》教科书的已知命题X(t)=a出发，推导出E[X(t)]=a≠0的结论。

图1为一个布朗粒子的位移观测曲线，X(t)为布朗粒子在t时刻的位移，根据布朗运动定义，X(t)～N(0，σ²t)，因此，X(t)的数学期望E[X(t)]=0。

图3 布朗粒子位移曲线

布朗运动首中时T_a是布朗粒子首次到达图1中a位置的时间，也就是布朗粒子位移X(t)=a时的时间。

X(t)=a是《随机过程》教科书定义首中时T_a的前提条件，我们可根据X(t)=a直接计算出布朗粒子到达首中位置a时的数学期望：

E[X(t)]=E[a]=a

      显然，与布朗运动定义给出的E[X(t)]=0矛盾。

如果上述推理有问题，则存在下述3种可能原因：

（1）推理的前提X(t)=a有问题；

（2）结论E[X(t)]=E[a]=a的推导过程有问题；

（3）推理的逻辑关系（结论是前提的数学期望）有问题。