一、随机过程及定义

自然界的事物变化过程可以分成两大类：确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程完全相同，所有试验结果可用同一个时间函数描述。例如，图1所示的简谐运动过程就是一确定过程。

图1 简谐运动过程

随机过程没有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程均不相同，次试验会观察到个变化过程（图2），次试验结果要用个不同的时间函数进行描述。

图2 随机过程试验结果与随机过程定义

《随机过程》教科书将随机过程试验的所有可能结果映射到样本空间，然后用二元函数来描述随机过程试验结果。

定义：随机过程是定义在上的二元函数。

对于固定的，是时间的函数，称为样本函数或样本轨道，简记为；对于固定的，是样本点的函数，称为随机变量，简记为。

从样本函数和随机变量的角度，还可以给出两种等价的随机过程定义。

工程定义：随机过程是一族依赖于样本点的样本函数集合。

数学定义：随机过程是一族依赖于时间的随机变量集合。

随机过程的工程定义与随机过程的实际观测结果相对应，方便计算随机过程的时间平均和统计平均。

随机过程的数学定义与《概率论》中的随机变量定义相联系，可把随机过程看成是多维随机变量的推广，因此在随机过程理论分析领域常用数学定义。

二、随机过程数学定义的两个问题

1、无法描述重要的实际随机过程

从图2的随机过程定义示意图可以看出，样本函数描述的是实际变量随时间随机变化的过程，而随机变量描述的是所有样本函数在时刻的取值或状态。

样本函数 是描述随机过程  时间变化过程的数学结构，随机变量是描述随机过程空间分布状态（统计规律）的数学结构。

在很多重要的随机过程应用场合，只能观察到一个样本函数或一条样本轨道，如光纤陀螺随机游走，股票价格随机波动等，这时只能用样本函数来描述实际随机过程，人们关注的是样本函数的数学模型、性质及变化趋势，而随机变量的定义及数字特征在这种场合下无法描述并解决实际问题。

对于光纤陀螺，每次开机后只能观察到图2中的一个样本函数或一条样本轨道，次开机试验才能观察到个样本函数。载体（飞机、导弹、潜艇和宇宙飞船）在导航或制导过程中，光纤陀螺就开机一次，因此在航空，航海，航天和国防工业中，人们更关注的是光纤陀螺一次开机后的随机游走误差随时间的变化过程。

在金融市场，人们不可能进行多次重复试验，因此只能观察到一只股票的价格随时间的一次变化过程，也就是说，在金融市场只能得到一支股票的一个样本函数数据，根本无法获得一支股票的随机变量数据。事实上，若能准确预测股票价格样本函数的波动趋势和波动程度，就能为股票投资活动的量化分析、投资决策、资产定价、最优配置、风险管理及市场监管提供有效可靠的科学依据。

图3为1998年12月-2021年12月的上证指数及其对数收益率（日），可以看出，上证指数的对数收益率（对数价格的瞬时速度）曲线为白噪声信号波形。

图3 上证指数（对数）及其瞬时速度

金融数学和金融工程领域众多学者的实证研究结果早就表明：股票价格的对数收益率为零均值不相关白噪声序列，因此，对数股票价格的样本函数模型可表示为

式中为平均功率为的零均值不相关白噪声，等于股票价格对数收益率的方差。

2、导致《随机过程》教科书出现逻辑错误和反常问题

根据图2所示的随机过程定义，一个布朗粒子在时刻的位移是固定样本点时的随机过程，亦即样本函数。

但是，《随机过程》教科书却用随机变量描述一个布朗粒子在时刻的位移，给出了如下的布朗运动定义：

设为一个布朗粒子在时刻的位移，，若

（1）为平稳独立增量过程；

（2） ，其中为常数；

（3）是的连续函数。

则称是参数为的布朗运动，或维纳过程。

显然，在上述定义中，既是服从正态分布的随机变量，又是连续时间函数。

随机变量和时间函数的函数符号虽然完全相同，但它们是两个定义域和值域完全不同的函数，因此从形式逻辑的角度来看，布朗运动定义中包含一个违反同一律的逻辑矛盾，出现了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误。

《随机过程》教科书中的逻辑错误不仅导致《随机过程》研究对象从样本函数改变为随机变量，而且在基本假设中隐藏了一个逻辑矛盾（悖论），从根本上破坏了《随机过程》理论的逻辑完备性和客观真理性，导致《随机过程》教科书中出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（预印本）