绝大多数原子核的绝大多数状态都是不是球对称的，也就是说有形变；原则上几乎所有原子核的所有状态都有形变，只不过形变有大有小而已。原子核的形变以长椭球形状居多，系统呈轴对称，描写这种核子分布的物理量称为系统的电四极矩，它描写系统电荷分布相对于球形分布的偏离程度。

不过，原子核形变的概念似乎又难以想象和理解。对于原子核而言，系统的三维空间是各向同性的。在我前面写的【《美哉！原子核》系列科普短文--[3]：简单之原子核】, 链接：

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中我们已经讨论过，原子核外部是空间各项同性的，原子核的上下前后左右、四面八方是对称的；这导致整个原子核系统总角动量是个守恒量，即原子核每个状态具有确切的角动量；在那里我们还说，原子核内核子之间的相互作用在整个原子核这样的尺度上属于短程吸引的，相邻近的核子之间呈现吸引的相互作用，这导致原子核内每个核子感受到的总体相互作用和原子核内核子的密度近似相同。一个简单图像是每个核子感受到一个球形方势阱， 就像一群精灵被封印在一个玻璃球内，这个势阱可以用一个三维谐振子势近似代替。在这个图像中，原子核内的核子都在一个球对称的中心势场中运动。通过这个假定作为近似，再加上核子运动的某些其它特点，我们得到原子核的幻数，这些幻数对应于核子填满某些壳层；在这些壳层填满的情况下，原子核相对于临近的原子核而言更不容易被激发，如果质子是满壳层的，那么该元素的天然同位素种类多一些；如果中子是满壳层的，那么相同中子数的不同元素种类也多一些。无论质子是满壳的、还是中子是满壳的，或者质子和中子都是满壳的，这类原子核都接近甚至非常接近球形。

既然我们把原子核内的每个核子近似看作在中心势场中运动，那么这个系统是通过什么“机制“ 出现形变的呢? 这样的系统、在球形壳模型怎么能够有形变呢? 如果原子核有形变，那么是不是不符合原子核系统外部空间的各向同性呢? 当然，球形壳层组态空间与整个原子核有形变是没有矛盾的，而且出现形变毫不奇怪。在本文中我们就慢慢讨论这个问题。

还是先讲得稍微严格一些。那些没有学过量子力学的读者朋友可以先跳过这一段儿，而且这一段路的叙述并不太影响后面的图像。我们把单个核子的势场近似看作是中心势场，不过可从来没有说原子核会是什么形状。一个中心势场中单个粒子角动量守恒，用量子力学的语言说，单个粒子的总角动量 j 是个好量子数。然而对于所谓的磁量子数（即角动量 j 在某一个固定轴上的分量）m 而言, 不同分量的m态之间没有差别，这些不同m的状态在能量上是完全相同的(用句文绉绉的话说，是简并的)，这些j相同 而m 不同状态的轨道被占据的几率是完全一样的，那么核子在实验室坐标系内三维空间内分布就是完全球对称的。为什么呢? 这一点的严格证明有许多方法，其中一个简单办法是: 一个轨道完全被占据时的系统总角动量只能等于零，那么这个系统只有零极矩; 当然，我们也可以直接计算一个轨道完全被占据系统的多极矩，然后在数学上证明这些多极矩等于零。而以相同几率被占据的情形与此完全相同，我们说: 轨道角动量 j 给定、j 在空间z 轴上分量 m 不同的态如果被等几率地占据, 那么这个核子在空间分布是球形的。[当然，对于 j=1/2 轨道无论占据一个核子还是两个核子，电四极矩都等于零，我们不讨论这种情况]。可是，如果占据几率不是等几率的, 那么这个核子的几率波(记住每个核子都是几率波，核子在原子核内是用波函数描写的)原则上就不会再是球形的了。而这种不同 m 非等几率占据是原子核的普遍现象。这种讲法和逻辑还算是足够直率的吧 !

举一个简单粒子：对于 j = 11/2 轨道上有两个中子而总角动量 J 等于2，我们看两个中子各自的 m 值: 此时其中一个中子的 m 等于9/2、而另一个中子的 m 等于 7/2 的可能性不存在了，因为此时的系统总角动量的 z 轴分量等于 9/2+7/2= 8，大于总角动量 J=2. 这种限制还有很多。那么系统的 |j m >态被占据还能够呈现等几率的特点吗? 不可能了！那么此时核子的分布也就只能是非球形的了。因此，尽管单核子在球形中心势场中运动，但是整个原子核出现形变这个现象其实是再自然不过的了。

我们下面换一种讲法解释原子核在球形壳模型空间的形变现象，这是一个直观的图像。当然这个图像发明权不是我，在其它地方也可以看到。我们假定一个原子核满壳层外有一个角动量为 j 的轨道。在这篇科普的下文中为了使用词汇的方便，我们把单个粒子角动量为 j的轨道称为壳层, 俗称 j 壳层; 而把j 在z轴的分量m给定的状态 (jm）称为轨道。这里满壳层的意思就是比那个j壳层能量更低的所有壳层都填满了核子，因此按照我们前面说的，一个轨道完全被占据时核子分布是球对称的，低能量轨道都被填满，已经填到那些低能量轨道的所有核子作为整体呈现完全球对称（见图1中的圆）。现在如果要讨论原子核的形变，我们只需考虑那个没有填满的轨道了，这就是壳模型的意思。我们的简单图像就从这里开始。

   图 1： 这里的圆形表示满壳，满壳外面有一个 j 壳层 (这里假定 j=11/2)，j 有12 个不同的投影 m 值,

   m = 11/2， 9/2， 7/2，  …  -7/2， -9/2,  -11/2.  在每个“轨道“ 上m的绝对值相同， 因为

  Pauli原理的限制，每个轨道上最多可以有两个核子，例如我们取轨道1的m可以取 正负11/2. 为了  

  方便我们用二维图表示三维情况，不过我们的讨论从二维推广和想象三维分布是比较直接的。

当图1中的m 的绝对值相等时(即单个核子的m值是相反数，例如 正负11/2等), 两个核子空间分布完全相同，因此第一个核子填充到某个轨道上时（不妨称为轨道1，见图1），再填一个核子时, 因为核力的短程性第二个核子也填在图中的轨道1上，两者m值相反，两个核子空间分布充分重叠在一起，此时二个核子所处的状态的能量最低。而这样一来，整个原子核就在轨道1方向上的核子相对而言就多了，而其它轨道方向上还是空的，整个系统核子的分布就如图2所示。

        图2：满壳外假设有两个核子, 第一个核子填在轨道1, 那么如果再填充一个同类核子，因为

      核子之间相互短程吸引的特点，第二个核子也就很喜欢待在轨道1 上。想象和推广到在三维情况，

      整个原子核的核子分布就会出现一个沿着图中水平平面的扁平形状，从而偏离球形。

这时我们再填一个核子，那么核子填充到轨道2或者轨道3，两者都可以的、是对称的；这种填充的效果是新填的核子与前面填充的两个核子之间距离最近。如果我们继续填充核子，在轨道2和轨道3被填满之前，图中偏向水平平面的轨道上的核子就比垂直方向的多了。那么原子核的核子密度分布就不再是球形的了，而是呈现一个扁平的椭球形。

如果我们进一步再填核子呢? 那么核子就开始填充轨道 4、5了，垂直方向的核子分布逐步开始增多了，最后核子会填充轨道6。轨道6一旦填满，这个 j=11/2 的壳层就填满了，整个系统又呈现球对称形状。如果再增加核子，那么就开始填充下一个壳层，原子核的形状又要经历一个新的轮回。当然，用两维空间说明形变确实有点儿敷衍，不过把上面的说法推广到三维情况是直截了当的。因为整个原子核有形变, 核子的密度不再是各向同性的。因为核子之间相互作用的短程性，单个核子感受的势场近似正比于核子分布的密度，因此单个核子感受的势场也就具有类似的形变。这是人们常说的“形变”单粒子波函数。

我们稍微总结一下: 如果单j壳层 (j不等于1/2) 只要没有被核子所填满,  那么j壳层上的核子分布一般不是球形的，从而整个原子核呈现出形变。这里我们加一个注释，原子核形变并不破坏在实验室坐标系(就是咱们读者所在的坐标系)内空间的各向同性。我们标记原子核的总角动量为 J，J 在实验室坐标系下沿着某个 z 轴方向的投影为 M，M的取值从 –J 一直到 +J, 共有 2J+1种取值，系统每个 M 都是等几率的。因而在实验室三维空间上看，其实原子核仍然呈现球形。

既然如此，我们怎么知道原子核呈现形变呢? 这个也不是什么难以想象的事情。具有稳定大形变的原子核能级结构有一个简单规律，激发能与系统总角动量 I 呈现一个简单规律，激发能 E 大致正比于 I(I+1); 这些原子核的电四极跃迁很强，实验上可以据此提取原子核状态的电四极矩。这也是原子核研究中很独特的地方，原子核是一个强相互作用系统，是由强相互作用束缚把核子束缚到一起的；然而认识原子实验细节信息的绝大多数是基于电磁过程的。

仔细讨论原子核形变有许多具体细节，当然实际情况也复杂得多。不过我们可以如上所述，就这么简单理解原子核形变的概念。原子核很小，但是不是空间的几何点，而且可以出现形变。传统讨论的原子核形变有点儿象压扁或拉长的椭球，近年来实验上证实和研究的原子核形状越来越多了，例如所谓的三轴形变、梨性(反射不对称的内禀形变)；原子核的形变有时很大，称为超形变或巨超形变；原子内核子因为集团效应在空间形状象手镯一样的环形。还是那句话，原子核太复杂了，似乎没有什么形状的状态是不可能的。

在结束之前画蛇添足一下。我们看一个特别简单的情况：氘核。由两个核子组成系统的束缚态只有氘核，氘核只有一个状态，是总角动量等于1、宇称为正的态。我们知道在经典力学中有个小技巧，就是把两体问题可以在数学处理上等效为相对运动和质心运动，其中相对运动处理象单体系统一样，就是把氘核作为单体运动系统， 这样把氘核作为势阱中运动的单粒子系统处理(相对运动的约化质量大约为质子或中子的一半)。单粒子轨道角动量越小, 能量越低, 这种等效的势称为离心势。如果氘核的轨道角动量仅仅等于零，那么氘核必须是球对称的。实际上呢? 氘核有一个很小的电四极矩。这说明氘核除了相对运动的轨道角动量等于零的状态，还有很小的一部分是角动量等于2 的成分混合进来了(因为宇称守恒，相对运动轨道角动量不能等于1)。从这里看出，核子之间存在一种非中心成分，这种成分是与两核子总自旋相关的，只有这种成分的存在才能把二体相对运动轨道角动量等于零和相对运动轨道角动量等于2的成分混合起来，从而使得氘核有一点小小的电四极矩，即很小的形变。氘核有一点儿小的形变，也许多多少少是意外的小确幸。

我们最后说明一点，我们前文提到了核子的球形单j壳层和形变单粒子波函数。选用哪种基矢讨论原子核问题其实并没有什么特别，这个就象咱们描述三维空间粒子运动时选用不同的坐标系一样，到底是用直角坐标系呢?还是球坐标系呢? 这个要看具体问题的方便和个人的喜好了，最后结果是完全等价的。