常言道：大道至简。不过现在看物理学主流期刊，常见的是实验工作炫耀仪器设备高大上，理论工作呈现出来的往往是白茫茫的神秘和复杂。可见，小道不仅做不到至简，现在反而有追求繁复的趋势；另一方面，在这个科学大爆炸的时代，如果小道太简单，观众和读者们就容易产生小儿科的感觉，哪里掰着手指头就可以在一线做科研的呢。如果把这个现状称作小道至繁，那么下面我标新立异一下，讲一个小道亦简的例子。这是我们今年春节前后这段时间和学生们憋出来的一个结果、一个小欢喜、一个小道亦简的实例，我想不私藏它，把它拿出来和朋友们一起分享。

本文是介绍一个在原子核质量描述和预言方面令人印象深刻、但是思想和图像都极为简单的进展。为了方便读者，也为了鼓励读者把文章读完，我先快速说一下概要。原子核质量的理论描述很困难，现在没有什么好理论，这不能说搞核物理学者们无能，而是原子核太复杂(抗日老电影里有一句台词：太君，不是我们无能，而是八路太狡猾)。本文的例子并不是说完美地解决了这个问题，而是对外声称找到了一个比较完美的规律。利用这个规律可以很高精确度地预言某些区域的原子核质量。这个规律是基于我们对于质子之间的静电排斥相关处理比较聪明，因此效果特别好。这是一个小工作，一个小奇葩，不过实在是太出乎意料而已。我就把这个作为本文的导言吧。

在我当研究生的时候，其实从来没有正眼瞧过原子核质量表，因为原子核质量是原子核的基态性质。我们往往关注原子核的能级结构和跃迁、形变等性质，所以从来没有想到过有朝一日会和原子核质量表有什么瓜葛。我们知道，原子核由核子(质子和中子)组成的，自由质子和自由中子的质量人们知道得比较清楚。自由得质子质量实验结果为938.2720813(58)MeV (质量乘以真空中光速的平方，折合为能量单位，说起来比较方便，也比较习惯；否则我们面对的就是1.7左右乘以10的负27次方千克，那样说起来很别扭)，自由中子质量的实验结果为 939.5654133 (58) MeV, 知道得非常精确了，原子核内因为核子之间存在强相互作用, 这些强相互作用是吸引的, 因此原子核才能存在；否则原子核没有“凝聚力”, 就会散裂了。 在形成原子核时，核子团结在一起，对外会放出能量，原子核的质量就比原来同样多的自由质子和自由中子能量之和要少一些，这些少出来的部分称为结合能。这个结合能概念在物理学中随处可见，原子结构中电子被原子实束缚，把外层电子剥离也需要能量，这个能量其实就是电子的结合能，在原子物理中把这个称为电离能。所以如果想知道原子核质量，那么需要知道原子核的结合能。这个结合能在一些核物理初级教科书上形象地称为质量亏损， 这个亏损的质量加上原子核质量等于组成同样多的自由质子和自由中子的质量之和。这个质量亏损概念是普适的，不过在其它系统中那个质量亏损往往太小太小，那时关心这一亏损就没有现实意义(我们秤体重后掉了一根头发，那么体重还需要再称一遍吗？); 而在原子核中则很不一样，这个质量亏损比较明显。质子和中子大约1000 MeV 的质量，而一般而言原子核内每个核子平均结合能大约7-8 MeV, 接近百分之一量级，在讲究细节甚至细节决定一切的物理学中，这个亏损就变得很关键了。

前面说了，在三十年多前原子核质量受到的关注并不多，不过这个土得掉渣的老冒这几年慢慢火起来了，成为许多人眼里的香饽饽。原因何在呢? 我说两个主要理由。第一个是人们发现这个土老冒挺神奇的，很有用处。研究原子核激发态各种细节其实挺麻烦的，但是测量质量相对要容易一些，而人们仅仅从质量就可以提取原子核许多重要信息。第二个理由是原子核质量和它的衍生量很有用处。我们做基础研究的目标是什么？肯定不是刺激GDP, 而是为了理解大自然、理解宇宙。宇宙的演化过程主要是核过程，就是不断发生各种核反应。这些反应发生在星系和大的星系团中，而为了理解和研究这些反应，我们需要知道其中涉及的原子核质量(结合能)。没有这些原子结合能的知识，认识这些天体核过程差不多就变成无稽之谈了。

那么还需要人们干些什么呢？原子核质量有理论模型，其中最出名而简单的是一个唯象的理论模型，称作外兹扎克(Carl Friedrich von Weizsacker) 公式。这个公式在许多地方有介绍。我这里快速地说一下：这个模型把原子核的结合能分成体积项、表面项、静电能、对称能以及配对能。从这个公式给出的数字与实验结果对比看，它还马马虎虎，不过时不时地相差几十个 MeV；在前两位有效数字还可以，后面往往就不行了。而核天体研究中要求的精度比这个要高太多了(关于精度我们下文还要说的)。除了这个模型以外，近年见到比较多的是Duflo-Zuker 质量模型、Moller-Nix 的宏观微观模型， 日本也有同行(暂时忘记了名字)长期执着地搞质量模型，国内广西王宁改进外兹扎克公式，北大孟杰等人用能量密度泛函计算原子核质量；最近几年时间国内和国际上有几个组(如安徽牛中明、兰州张鸿飞)用那个机器学习描述和预言质量，不过目前的机器学习在做内插法往往比较有效，外推效果一般。我和我的学生们近10年来东拉西扯，做质量外推预言，在原子核质量关系方面在Physical Review 期刊发表了30多篇的文章, 发明了许多精巧或者准确的质量公式，可以干这干那的，所以这也成为我们在外面的小招牌之一了；什么事情做多了才会被人记得。在实验上就是测量原子核质量，中国大科学装置兰州重离子加速器国家实验室目前一个很优先、而且很有显示度的研究方向就是测量短寿命原子核质量。原子核质量国际评估中心现在也放在中国兰州了，主力队员是我的朋友王猛、一位年轻有为的南开物理系友。我这里提到他，下面还要感谢他。

既然有了不少数据、有了不少质量模型，那么原子核质量有什么干头呢？研究原子核质量的关注点是什么？人们对于低能量下强相互作用认识还不清楚，多体理论也远远不够(多体问题太复杂)，因此对于原子核的认识还是比较肤浅的。原子核质量模型对于已知的实验数据还不错，模型之间相对还比较和谐；但是对于更加广阔的、未知的原子核质量这些理论模型之间就相互打架了，而且相差极大，基本属于谁也不服谁的局面。而在实践中发现，许多未知质量的原子核在某些核天体过程中起重要作用，所以这就很麻烦了，所以我们必须想办法把这些质量搞准确。这就是为什么那些原子核质量的实验测量往往具有很高的显示度。

既然质量模型外推很远往往不靠谱，那么就从已知区域逐步外推吧。确实，这当然也是一种做法，也是一种很实际和靠谱的办法。我先说一下现在国内外这方面的大环境：对于原子核质量的描述和预言，总体上看重质量区域相对而言好得多，这是因为核子数很多时，原子核的平均场比较稳定，性质的演化比较规则，有了比较规则的变化规律就好办一些；而关于质量数比较小的原子核的描述和预言要差很多，这是因为当核子数比较少时，增加一个或几个核子，原子核的性质变化快。这是很容易理解和想象的，比如小的国家崛起就很容易，大国如中国这样体量的国家崛起就很难，就是同样道理。这里所谓的重质量和轻质量是相对的。一般地，核子数(质子数加上中子数)在60或70以下的原子核可以成为轻质量，核子数在80-100 左右的原子核成为中等质量的原子核。轻质量和中等质量的原子核比较麻烦，理论模型的精度很差(不说也罢)，很少有人用系统的理论模型直接对照实验结果，主要是精度不够；那种局域性的外推当然要好很多，但是其实呢？一般误差仍然很大, 相邻原子核质量经验关系中有一个特别有名的关系，成为Garvey-Kelson 质量关系。不过中轻质量区域原子核不能直接利用，因为这里许多核素跨过所谓的N=Z线, 这里N是中子数、Z是质子数。这条线附近的核素质量公式中有一个所谓Wigner 项比较麻烦，因为是唯象的，其参数和形式不太好确定，这带来额外的不确定性，比如国内有人前几年结果改进这个关系，其误差也在400 keV 左右 (0.4 MeV，论文登在Physical Review, by 田俊龙等), 而这里结合能的实验精度一般小于100 keV. 即使我们把目光集中在N=Z的一个侧面，结果也差不多大概就是这个样子。注意我这里指的是理论误差，是许多原子核质量理论值和实验结果偏差的平均，个别原子核的理论结果和实验结果偏差可能大得多。这确实不怎么好，但是这就是我们面临的大环境，也是我们向亲爱的读者们需要交代的背景。

下面我们就讲我们经历的那个小故事，也就是本文所谓至简的小道。为此我还要稍微絮叨几句。在三十年代， 查德威克(Sir James Chadwick)刚刚发现中子后，海森堡(Werner Heisenberg)就提出原子核由质子和中子组成，而且中子和质子可以看作同一种粒子同位旋相同而同位旋第三分量不同的状态。同位旋是一个抽象空间，其数学处理与电子自旋空间的处理相似，在强相互作用下同位旋是一个守恒量。在我的科普博文http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3404169&do=blog&id=1208033

中讨论过这个对称性。基于这个对称性，我们很容易想到一对原子核，其中之一的质子数为 K、中子数为 K – i， 另一个原子核的质子数为 K-i，中子数为 K, 这两个原子核的强相互作用部分应该是相同的。人们把这样一对原子核称为镜像核，这是一个形象的称呼，因为两者之间质子数、中子数互换；如果在中子数N 和质子数Z的二维N-Z平面上画一条 N=Z 的一条线，那么两个镜像核关于这条线的位置在几何上是对称的。

两个镜像核的强相互作用部分是一样的，那么两者之差在哪里呢？是电磁部分不同，质子、中子的电荷和磁矩不同，因而引起电磁能量不同，当然其中最关键和主导的是质子的静电能量。质子之间具有静电排斥能量，因为质子之间空间很近，静电能量其实并不小。除此之外，还有一个差别就是质子和中子之间的质量差，不过这个差值是事先知道的。这样如果我们能够知道静电能量，那么我们立即就得到了镜像核的质量差。

然而，原子核的静电能量不是已知的。为了计算静电能量，我们需要事先很好地知道原子核内质子的分布情况。然而，就是这个小小的、简单的库仑能，人们目前理论计算还不是极其靠谱。近几年我到处作报告的时候，经常提到对这个库仑能有兴趣。原子核的库仑能是原子核质量的一部分（！），是与其它部分缠绕在一起的、难以分割的；给定原子核，其库仑能并没有一个实验值 (要是真有这个实验值那该多好呀)。因此库仑能只能是理论上算算。幸运的是，即使把原子核看作一个电荷均匀分布的带电体，给出的库仑能居然似乎很靠谱，所谓很靠谱指的是不同理论方法关于库仑能的部分基本差不多！当然会有一些小修正，主题部分都差不离。有一个简单公式，是经典电动力学教科书上的，我还是写出来：

0.7 * Z* (Z-1) / A^{1/3}  MeV.

上式中0.7 是一个系数, 是可以通过其它物理学常数算出来的， Z 为质子数，单位为 MeV.  上式的意思是 0.7 乘以Z 再乘以 Z-1, 除以 质量数的三分之一次方；质量数等于质子数加上中子数。在实际中可以把那个系数作为一个参量，优化结果大致就是0.7 左右。

     上面谈论的镜像核原子核质量关系当然是很古老的事情了，长期以来人们也觉得这个事情太简单了，也大概就是那样了。反正库仑能的精度不太高，我们只是大体知道它的数值，因此这个关系也是中看不中用的，没有什么人花时间琢磨它。2016年我们其实也是作为玩家，尝试一下就算了，并没有抱太大希望。结果怎样呢? 我们在库仑能基础上加了一下经验修正，找到了一些经验公式。对于质子数、中子数分别为 (K-i，K)、(K, K-i) 的镜像核, 找到了一个依赖于 i 的经验公式. 当 i 等于1 时误差为120 左右，i 等于其它值时误差都超过 220 keV; 最大平均偏差为 290 keV. 这个结果其实比我们事先预期的好了不少，毕竟它比那些局域质量关系的精度提高了很多，比系统的理论计算就更好了。然而，我们对此也难以继续有什么更高的期待了，毕竟库仑能理论的精度不太高。

我们在去年又有一个新的进步，这是一个有条件的进步。我们进步的基础是什么呢？不是说我们受到了库仑能计算结果不够精确的绝对限制吗？确实，我们仍然仅仅近似地知道库仑能，我们在这方面没有什么好想法；但是我们考虑一个新的思路，就是绕过去，尽量减少库仑能理论计算不确定度带来的偏差。完全绕过去做不到，那就把库仑能贡献抛得越远越好！

怎么样才能把库仑能绕得远一些呢？我们考虑同时二对镜像核，这两对镜像核的距离要近，例如我们选如下两对镜像核，质子数、中子数分别为(K-1, K-i)、(K-i, K-1); (K，K-i)、(K, K-i). 我们由 (K-1, K-i) 与(K, K-i) 的质量差得到 (K, K-i) 原子核的单质子分离能Sp、我们由(K-i, K-1) 与(K-i, K) 的质量差得到(K-i, K)原子核的单中子分离能Sn。这样得到的单质子分离能与单中子分离能之间的差别同样地是由库仑能与质子-中子质量差所决定的。但是，无论是Sp中包含的库仑能成分，还是Sn中包含的所谓库仑能成分，都变成了一个小量了，两个小量之差就更小了，这样就大幅消除了库仑能贡献带来的不确定度，而其它东西就是浮云了，比较容易办了。

考虑这个想法，我们重新看一下镜像核之间新的质量关系。现在就把两个镜像核之间的关系就变成了4个原子核(关于N=Z那条线对称的、每边上各有两个原子核)质量关系了。库仑能带来的不确定性变小了，但是涉及的原子核变多了。这样做得失如何呢? 我们先看一下我们失去什么。使用四个原子核质量关系预言原子核质量，就是利用其中三个预言一个，我们私下里常把它叫三缺一，而过去两个镜像核质量关系我们利用一个原子核质量预言另一个原子核质量。

我们做任何事情都一样，尽量减少具有投票权的人，尽量减少环节，否则就会带来越来越大的不确定性；预言原子核质量也是如此。如上所述，我们费了不少劲，想绕过不确定度比较大理论计算的库仑能，就要面对具有投票权更多的原子核，得失如何？我们特别幸运的是，轻核区以及质量中等的原子核质量测量都特别好，很准，实验误差很小。极个别的情况我们下文还要详细谈到。这样我们就赚了。熟话说，one gain, one pain. 在这个游戏中，我们的gain 远远大于 pain；得到多于付出。实验误差值很小，在原子核质量三缺一的游戏中带来的伤害很小。假如我们得到的理论误差也很小，那么在外推过程中预期理论偏差的累积速度就很慢。外推过程中预期的预言结果理论偏差是滚雪球一样累积的，如果开始的理论偏差不小，实验值误差不小，那么就很可怕，走不了几步我们预期误差就很大了。而在我们经历这个游戏之后，就能以高出许多的精度、靠谱地外推比较远的原子核质量；这里再强调一下，我们所针对的这些原子核是属于中等质量或比较轻的原子核，这些原子核质量是特别令人头疼的，过去没有什么好的方法给出合适的理论预言。

这样做的一个非常友好的特点在于，我们这样得到的四个原子核[(K-1, K-i)、(K-i, K-1)、 (K，K-i)、(K, K-i)]质量公式不依赖于 i 的值。这是非常有利的。原来两个镜像核质量关系结果依赖于 i 的值，对于 i>4, 我们没有系统的结果定出系数，而且随着 i 增加，似乎误差在增加; i=1 时的小误差其实用处不太大，能预言的原子核质量极为有限。现在新公式的误差在 110-130 keV 上下；当然我们还利用同样的思想，构造出一个误差只有40-70 keV 的几个公式，但是这些公式应用受到许多限制(与i有关)，真正有用的公式误差在 110-130 keV.  因为这些结果与 i 无关，因此在实际应用中表现很好。既然如此，我们当然没有忍住，在发表的文章中给出了许多预言结果。不管怎样，这应该是一个记录了吧。这么高的精度，这么普遍的公式，针对的是如此复杂多变的核素区域；我们应该知足了。

而知足的同时，也有隐忧。隐忧的是原子核极为复杂，不知道什么时候开个小玩笑，戏耍我们一番。我们在这个工作中有一个原子核，V-44, 质子数23、中子数21，误差比较大。别的都比较好，就是这个原子核的质量误差很大，实验给出的数据误差也比较大，但是和我们预言的差别也很大。这就像一个大美人外观长得像杨贵妃、王昭君那样，脸上某个部位不合时宜地长了一个很难看的大痦子；本来一个倾国倾城的美女，因为这个痦子而仅成为一个广告女一样；真是又愧又亏。因此这个V-44 质量一直是我的一个心头隐忧，虽然没有做噩梦，但是总归是一个麻烦事情，不知道以后实验能给出一个什么新的东西，让这个大美人一着急，再生出几个难看的大痦子来，那岂不是往事不堪回首。我们对于那个V-44 质量很在意，当然也会主动预言这个“正确的”质量。

随着时间的推移，我们注意到, 我们前面说的那个大美人，也就是我们的质量公式，其实还可以人工继续美容一下。质量公式存在可以看到的奇偶性质，这个性质还是比较明显的。经过多方考察，我们可以尽量少做手术，但是把那个奇偶性相对完整地加进来；如果人为地再把那个大痦子拿掉的话，我们的误差可以压低在 70-90 多keV. 那个大痦子大概占了一半的效果；因为实际上我们的公式已经相当完美了，此时一个不稳当就很明显地不合时宜。那么我们能不能拿掉这个可能错误的实验结果呢？

老天对我们真的不薄。我前天晚上讨论时关于此事求助原子核质量数据表的主要作者王猛。我长期以来也知道，其实做理论的人使用数据时也是蛮傻的；往往就是把数据表拿来作为唯一的依据，偏离了实验数据表就认为自己错，刚好对上了就高兴。我提到了这个隐忧，他告诉我最近有新的实验数据(by张玉虎等)，新的实验误差很小，并即时发给了我。结果发现我们希望的正确结果与实验结果很吻合。这一下子让我放心不少，心理宽慰了很多。因为我们可以放心地去掉这个恼人的大痦子了，我们对外声称的误差一下子又下降大约30 keV，这实在是一个难以想象的精确度。如果把这个与一个没有仔细思考过的专家讨论，第一反应一定是：怎么可能这么精确呢？或者直接说：一定是疯了。

王猛告诉我们，他们最近有一些新的原子核测量结果；并告诉我是哪些原子核。我立即把预言结果告诉他；结果二者惊人地符合。其实在我们去年发表的带有那个大痦子的文章中，那些原子核都有预言结果，当然结果与实验的符合也是非常棒。其实因为那个大痦子，我们给出的理论误差稍大；我们其实原本的精度就已经很高，只是不自信而已，把那个算上显得比较大。而考虑奇偶性以后，精度就再一次明显提高了。

现在我们回到问题的源头，这里我们闹来闹去的东西是什么？是每个有科学常识的人都知道的、淳朴的静电能量，而涉及的问题是什么呢? 是核天体物理中的一个关键输入量，而且针对的是 “国际形势“最复杂和最困难的区域。在如此困难的区域、如此简单的物理量、如此简单的处理，却得到了如此美妙的、具有惊人高精确度的描述和预言。用什么话形容才是合适的呢？我想到的一句话是大道至简，小道亦简。前半句是抄袭，后半句是随性胡诌的。

这是一场小欢喜；这是一场可以持续一年时间的小欢喜。既然是一场欢喜，当然值得庆祝。而独乐乐不如众乐乐，还是写出来和大家即时分享。由于时间关系，本文并没有仔细校对，提到的有关人名没有特意得到允许，希望有关朋友们谅解。