很多同行排斥MOOC，一些同学更为适应传统的课堂讲授方式。但是，一场疫情撼动了全世界的格局，线上教学成了唯一选择。湖南大学《热力学与统计物理》课程，有大约33小时的MOOC(智慧树平台，2019年上线)。作为老师，重新讲授MOOC内容就显得很傻。学生也会耻笑老师：原来你也就知道这么多。本学期的第一堂课，我给出的本学期讲授的关键词是：“升维”。那么，这个学期的教学任务已经圆满完成，下面给出一些“升维”的例子。

 一，最大功原理

教科书对这个问题的结论：在等温过程中，系统对外做功，不大于其自由能的减少。但是，自由能是个新的、抽象的的概念，不能指望学生初次接触就能深入理解并灵活运动。往前走一步，就会发现这个结论显而易见。首先，让等温过程中外界对系统做功，由于一部分用来耗散掉了，只有一部分用来使得系统自由能增加。然后，在同样等温的条件下，让系统对外作用，最多只能是自由能的减少。后果是，如果利用系统把功"存储"起来然后从系统"取"出来，会发现功会减少！

这里的升维表现在，把一个抽象的平面表述变成一个看得见摸得着的立体图像。(注意：Jarzynski等式需要进一步升维。)

 二，为什么物态方程不能包打天下？

相信物理学理论只能由实验上直接可观测量所构成，是一种过时的哲学观念。海森堡创立矩阵力学的时候，就有这种想法，结果被他的精神导师尼尔斯•玻尔骂个臭头。物态方程只由可观测量构成，这也就是热力学第零定律的经验基础、也是逻辑后果。但是，如果对物态方程求求一阶导数，然后组合一下；再求求二阶导数，经过恰当组合，会发现存在不属于物态方程的物理量。可以给这个物理量任何一个名称，最后可以发现，这个物理量无非内能或者等价的量！

这一步的升维体现在，物理学的有些道理，甚至不再物理学之内。

三，热力学需要几何学

涨落的准热力学公式$ W∝exp(-(∆S∆T-∆p∆V)/2kT)$具有普适性，但是只能从一个特殊的构造出发推导而来，如何理解其普适性? 在微分几何中，常常从一个曲面的一个特殊的参数化方式出发，构造出各种内禀不变量。热力学也类似，不同特性函数的选择，其实就是一种参考系选择。有人会认为，代数、微分方程等中间都有不变量，为什么偏偏强调几何中的不变量？这些不变量都是相通的，唯有几何直通人心。

这一步的升维体现在，物理学的需要几何。

对知识升维后然后俯视，相当于降维打击，能取得前所未有的教学效果，具有必然性，上篇博文中已经部分述及，将出一本书专门介绍细节。

2020年48课时的《热力学与统计物理》结束了。海外有位朋友好奇地留言说，“第十章一般讲不到，现在的课时能把第九章系综讲完就不错了。”在我们的实践中，不仅简单讲第十章，而且一定要最后一章玻尔兹曼微分积分方程，而且一定要让这个方程的推导扁平化，才能让学生对整个统计物理彻底祛魅。

把一些教学资料装订起来，取名《拙进集》，分发有兴趣的学生。

拙进集.pdf

何祚庥先生回忆王竹溪先生在清华大学物理系的热力学课程