一，统计物理中的一道百年谜题

平衡态的统计分布函数是刘维尔方程的解。一方面，刘维尔方程是力学规律的后果；另一方面，统计分布独立于力学规律，遵守的是统计规律。那么，力学规律到底是不是统计物理的基础? 这个问题的答案必须是否定的！如果答案必须否定，如何理解平衡态的统计分布函数是刘维尔方程的解？

二，王竹溪先生的思考

关于力学规律和统计规律之间的差别，王竹溪的大作《统计物理学导论》(第二版)中有专辟一节讨论。

这一段和第一版的内容，有很大的修改。两版之间，历时9年。说明王先生为这个问题，一定纠结了很久！

三，Mandl的思考:力学的刘维尔方程

Mandl的名著《统计物理学》中p.230页专门有一段论述到刘维尔定理。

这一个是力学的刘维尔方程。这个方程出现在几乎所有的统计物理教材中！例如李政道先生，王竹溪先生的教材等等。这个方程的特征是：一个系统中全部粒子的初始位置和初始动量都是完全确定的！这样，相空间中，许许多多的系统构成了点的流体！因此，只有点的密度是有意义的。而点的密度就是分布函数！这个密度分布的运行规律就是纯粹的力学规律！

四，Reichl的思考:随机变量的刘维尔方程

这一个是关于随机变量的刘维尔方程。

这个方程和力学的刘维尔方程有全同形式，数学推导过程全同！但是，解释根本不同！统计物理的刘维尔方程中的出现了随机变量：一个系统中全部粒子的初始位置和初始动量是随机变量！试看Reichl的《统计物理现代教材》(第二版)p.287.

五，问题的正解：没有初始条件！

刘维尔方程的解是时间可逆的，但是分布函数的解原则上不可逆。

但是，统计物理大师们如Mandl和Reichl等等，关于初始位置的讨论是必要的，也可能是非常不必要的，甚至是误导的！根本原因在于：刘维尔定理中的轨道，没有开始，也没有终结，也没有交叉！除了轨道本身满足经典力学外，根本不知道分布函数的物理意义！换言之，如果需要赋予分布函数的物理意义，必须添加假设。因此，平衡态的统计分布不是刘维尔定理的推论或者后果！

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后记

最近拍摄热统课程的MOOC，觉得刘维尔定理如鲠在喉。缠斗了近一个月，终于有了一点想法。

博文初稿完成后，分别请三位大师把关，意见如下。

1，统计物理大师的意见：

刘维方程没有两个，只有一个，初条件非实质。“平衡态的统计分布函数是刘维方程的解”，只说前者是守恒量的函数。刘维方程与哈密顿方程数学上完全等价。

非平衡统计力学需要新原理，即分布函数的演化方程，最佳候选是主方程。“热运动”是分子运动论的语言，统计力学只应也只须关心分布函数。

2，统计物理天才的意见：

我在科大的时候，发现我的老师也喜欢钻研这些问题。但是，活跃在第一线的研究人员，不会理会这个问题。例如说，如果从刘维尔方程出发，推导布朗运动的郎之万方程，不是不可以，而是显得匠气十足！研究人员会直接构造理论模型，写出布朗运动的郎之万方程，至于这个方程是否满足牛顿力学，根本不关心！

不要纠缠这些问题！

3，统计物理教学界前辈的意见：

从刘维尔方程到微正则系综中的分布函数，不能直接过渡，肯定有个假设。

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专家批评指导

博文贴出后，微信中各位专家给予批评。部分意见如下：

1，华盛顿大学钱纮先生

关键是什么样的 Hamilton 系统。一方面有可积系统存在 soliton 现象，根本没有统计描述可言。另外一方面有台球系统，在无穷长时间，会有统计规律湧现出来。这后者是 Sinai 证明的。

2，中国科技大学张永德先生

统计分布规律有经典量子两部分，量子又分玻色费米两部分，外加它们的过渡。所以要谈清楚这个问题，必须从更高更深刻观点出发（而不是从某个方程出发——那是从数学出发，而要从物理观念出发，从公设出发）。请见我高量(下)附录A中A.3小节。已全部导出说清了。也参见量子菜根谭（第三版）第18讲。

3，厦门大学赵鸿先生

我印象郝先生比较强调以下两点：1、从刘维定理肯定推不出统计物理的，一定要做手脚，也就是粗粒化。2，玻尔兹曼对彭家莱回归的回怼是虽然有回归但是比宇宙年龄还长。这个看起来有道理，但只是一个技术层面的聪明的借口，不能算回答了原意上的问题。这些观点也都已存在，只是个人偏好的不同而认同的权重不同。

4，上海大学杨会杰先生

看雷克书，似倾向于把统计不同逆归于轨道非稳定性。总感觉用碰撞即可说的过去。因为碰撞，轨道实际上是一个伪白噪音序列。信息熵快进增加，做为人很快忘记了回家的路（上帝会记得）。最后时间失去了意义，只有分布信息。这是以人为中心（测量）导致的局限。在上帝的物理理论里，统计理论根本不需要，就是牛顿力学的简单推论。

5，南京大学王骏先生

我觉得刘维方程的事情，可以这样理解。动力学的方程在短时间内是正确的，这时如果分布函数是不变量，因此分布函数就可以是体系守恒量（如对于一般系统只有能量、动量、角动量）的函数，加上弱耦合条件（也就是扩展可加性），我们就发现分布函数应该是玻尔兹曼分布（经典条件下）。更一般的情况下，分布函数只要是哈密顿的函数（和哈密顿可对易即可）。长时间就要考虑碰撞项，对于普通的随机加阻尼，我们可以发现玻尔兹曼分布可以使碰撞项消失（当然会多出一个刻画随机项的温度因子）。平衡分布其实是动力学和随机项自洽的一个结果（当然随机项作用更重要一些，考虑其他碰撞项，还可以得到玻色分布和费米分布）这个是基于现有理论的讨论。是否从动力学就能搞定一切，没头绪哈[捂脸]感觉现在的统计物理就是有限系统的统计理论哈，热力学极限只是理论抽象哈。