线性离散系统的能重构丰富性

     在我的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems)中,定义了Controllable Abundance(能控丰富性,能控充裕性)这一关于系统控制能力的新测度。该测度也可以推广至对系统状态的观测能力和重构能力(reconstructability)的研究,定义reconstructable abundance(能重构丰富性,能重构充裕性)这一精准刻画对系统状态的重构能力的新测度。

     首先对于能观性和能重构性，指的是动力学系统的一个根据动力学特性推证能否由输出来间接测量或观测系统状态的一个动力学系统的性质。若线性离散系统 $\varSigma(A,C)$ 的 $A$ 不可逆，即系统 $\varSigma(A,C)$ 的某个模态的特征值为0，此子模态并不具有动力学特性，不为动力学系统。反之，也就是说完全的离散动力学系统的所有子模态不为0模态（即相当于线性连续系统的特征根不为 $-\infty$ ），即线性离散系统 $\varSigma(A,C)$ 的 $A$ 应为可逆。故下面仅讨论系统矩阵 $A$ 可逆的情形。

1. 线性离散系统的 $N$ 步单位能重构域 $R_{s,N}$ 的定义

     【定义1】. 线性离散系统的 $N$ 步单位能重构域 $R_{s,N}$ 是指可测的输出变量 $y_{k}$ 在单位量程 $\left(\left\Vert y_{k}\right\Vert _{\infty}\leq1,k=0,1,\cdots,N-1\right)$ 下所测到的输出序列 $\{y_{k},k=0,1,\cdots,N-1\}$ 能唯一确定系统在 $k=N$ 时刻的所有可能的状态 $x_{N}$ 所构成的区域。

2. 线性离散系统的 $N$ 步能重构丰富性的定义

    【定义2】 线性离散系统的N步能重构丰富性定义为由 $N$ 步单位能重构达区域 $R_{s,N}$ 的空间维数 $r_{s,N$ } 和体积 $v_{s,N}$ 组成的二元数 $(r_{s,N},v_{s,N})$ 。

3. 线性离散系统 $\varSigma(A,C)$ 的 $N$ 步能重构丰富性的计算

3.1 $r_{s,N}=\mathrm{rank\;}P_{s,N}=\mathrm{rank\;}P_{s,n*}$ ,其中

          $P_{s,N}=\left[\begin{array}{c} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{N-1} \end{array}\right]$

          $P_{s,n^{*}}=\left[\begin{array}{c} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{n^{*}-1} \end{array}\right],\quad n^{*}=\min\{n,N\}$

3.2 $v_{s,N}=\mathrm{Vol}(R_{s,N})$ ,其中

      $R_{s,N}=\left\{ \left.x_{0}\right|y_{0,N-1}=P_{s,N}A^{-N}x_{N},\left\Vert y_{0,N-1}\right\Vert _{\infty}\leq1\right\}$

      $y_{0,N-1}=\left[y_{0}^{T},y_{1}^{T},\cdots,y_{N-1}^{T}\right]^{T}$

     问题是这个单位能重构域 $R_{s,N}$ 是什么形状的几何体,它的体积 $v_{s,N}$ 如何计算？这一个单位能重构域 $R_{s,N}$ 与能控域 $R_{c,N}$ 显然不是一个简单的对偶关系！！！