线性连续系统的能重构丰富性

     在我的文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems)中,定义了Controllable Abundance(能控丰富性,能控充裕性)这一关于系统控制能力的新测度。该测度也可以推广至对系统状态的观测能力和重构能力的研究,定义reconstructable abundance(能重构丰富性,能重构充裕性)这一精准刻画对系统状态的重构能力的新测度。

1. 线性连续系统的单位能重构域的定义

     【定义1】 线性连续系统的 $T$ 时刻单位能重构域 $R_{s,T}$ 是指对可测的输出变量 $y_{t}$ 在单位量程 $\left(\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right)$ 下所测到的输出序列 $\{y_{t},t\in[0,T]\}$ 能唯一确定系统在 $t=T$ 这一时刻的所有可能的状态 $x_{T}$ 所构成的区域。

2. 线性连续系统的能重构丰富性的定义

     【定义2】 线性连续系统的 $T$ 时刻能重构丰富性定义为由 $T$ 时刻单位能重构区域 $R_{s,T}$ 的空间维数 $r_{s,T}$ 和体积 $v_{s,T}$ 组成的二元数 $(r_{s,T},v_{s,T})$ 。

3. $n$ 维状态空间中的线性连续系统 $\varSigma(A,C)$ 的能重构丰富性的计算

3.1 $r_{s,T}=\mathrm{rank\;}P_{s,n}$ ,其中

$P_{s,n}=\left[\begin{array}{c} C\\ CA\\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{array}\right]$

3.2 $v_{s,T}=\mathrm{Vol}(R_{s,T})$ ,其中

$R_{s,T}=\left\{ \left.x_{T}\right|y_{t}=Ce^{A(t-T)}x_{T},\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right\}$

上述定义式亦可表示为

    $R_{s,T}=\left\{ \left.x_{T}\right|e^{A^{T}(t-T)}C^{T}y_{t}=e^{A^{T}(t-T)}C^{T}Ce^{A(t-T)}x_{T},\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right\}$

        $=\left\{ \left.x_{T}\right|x_{T}=W{}_{s,T}^{-1}z,\forall z\in\widetilde{R}_{s,T}\right\}$

其中 $W_{s,T}$ 和 $\widetilde{R}_{s,T}$ 分别为线性连续系统的如下能重构格拉姆(Gramm)矩阵和n维空间的几何体

      $W_{s,T}=\int_{0}^{T}e^{-A^{T}t}C^{T}Ce^{-At}\mathrm{d}t$

      $\widetilde{R}_{s,T}=\left\{ \left.z\right|z=\int_{0}^{T}e^{A^{T}(t-T)}C^{T}y_{t}\mathrm{d}t,\left\Vert y_{t}\right\Vert _{\infty}\leq1,t\in[0,T]\right\}$

该几何体 $\widetilde{R}_{s,T}$ 的形状、边界、体积计算等与描述连续系统能控丰富性的能控域一致。

因单位能重构域 $R_{s,T}$ 为几何体 $\widetilde{R}_{s,T}$ 经过线性空间变换(变换矩阵为 $W_{s,T}^{-1}$ 的旋转变换)得到的几何体,两者的体积满足

$\mathrm{Vol}(R_{s,T})=\left|W_{s,T}^{-1}\right|\mathrm{Vol}(\widetilde{R}_{s,T})$

即,能重构丰富性 $v_{s,T}$ 可由计算如下

$v_{s,T}=\mathrm{Vol}(R_{s,T})=\left|W_{s,T}\right|^{-1}\mathrm{Vol}(\widetilde{R}_{s,T})$

     不知,这个连续系统的能重构丰富性与博文“线性连续系统的能重构丰富性”(http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1067700.html)讨论的能观丰富性在什么意义下等价。直观上看，由于定义的是“单位输出量程”下的状态能观和能重构问题，两者并不一定等价。实际上，对于实际的状态观测和滤波问题，关注当前状态 $x_{T}$ 观测和滤波问题的能重构丰富性应比关注初始状态 $x_{0}$ 观测和滤波问题的能观丰富性更有意义。