[注：下文是群邮件的内容，标题来自内文。]

magma*中的“运算”实际上就是(二元)“变换”。a·b=c 可以写成 ·(a, b) =c。也可以按习惯，把“·” 换成 f，就得到 f(a, b) = c。

如果想象有一个中间量 i，也可以把二元变换“拆成”复合变换：对于任意的 a，有 f(a) = i，再假定 f(i) = c，总起来即：f(f(a)) = f(i) = c。

上面这句话写到半道感到不对，是错的，坚持写完，本质想法是把 i 看作“寄存器”。也许可以改一下：把中间量改成 b，即 f(a) = b，再假定 f(b) = c，总起来即 f(f(a)) = f(b) = c。这种考虑可能也有问题，暂时看不出来。也许换个变换的符号，把 f 改成 g 会更合适。就是说，把 f(a, b) = c，看成 g(g(a))= g(b) = c。

更准确地，可以问：对于任何 f: M x M --> M，是否存在 g: M --> M，使得 f 和 g^2 等价 ？如果回答是否定的，可以问，对什么样的 f 可以有肯定的回答。看上去这是一个非常基本的问题，说不定已经有了引理或定理。

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这两天头脑中产生一个更大的问题：抽象代数究竟在研究啥？可以把 magma 看作 “组织” 的统称，然后(按约束的强弱/多寡)细分出其它组织并起上名字（如，半群、幺半群、群、环、域，等等）。最初，这些组织是为了解决问题而引入的，处于工具和辅助地位。只是到了后来，才转而对这些组织本身展开研究 —— 一句话，抽象代数是研究 “组织” 本身。这里“组织” 是我采用的通俗说法(folklore)，对应的正式说法是 “代数结构”。

在本科时代，曾头疼于“结构”究竟是指什么。比如，北大编写的《高等代数》里忽然冒出个“同构”，定义是知道了，但当时理解不了。这是因为当时不了解背后更大的原理：数学是通过映射来理解世界。大二曾提出关于数学本身的问题(数学是什么？*)，感觉好多大学数学老师从不思考这类问题。倒没有打算研究这里头的“哲学”问题，而是说，粗略但准确的观点对于从宏观上把握事物有很大的好处，遇到一些具体情况时不至于感到 “突兀”。

星号注：有一本同名的书《数学是什么？》，但我不欣赏那种长篇累牍的枚举式探讨，更何况我并不喜欢和善于阅读，也没有那么多时间啊。此书的书名是普世的，但内容充其量是作者的探讨，而不是普世的；特别是，几乎没有涉及代数。

前两年注意到，丘成桐老师计划从初中生中选拔数学特长生。这类尝试有一定的道理，也可以搞，算是一种自由。不过最近想到一点：这类做法也是“功利”的典型表现，而不是普世的。可以说，功利性在亚洲文化中非常突出，看重奖项，而不是追寻知识本身的意义。就好像，假如你没个奖项，就没有影响世界的力量。这在西方学者的传统观念中似乎*是不可思议的。(星号注：加上“似乎”的意思是，对于那种传统观念我也只是想象，或指 “不可动摇的平等观念” )。

何为“理想的数学家”？写下这个问题后，忽然领悟到代数中的“理想”为什么叫做 “理想” 了：从一个组织 S 中划出一个团伙A，则 SA 就构成 S的(左)“理想” —— 团伙中的每个成员和整个组织的作用全都能在 “理想” 中实现。(从正常的角度看，这明明是“团伙的理想”，为何会看作“组织的理想”呢？)。如果团伙中只有一个人 a，则 Sa 就构成 S 的“主理想”。可以认为，SA 或 Sa 就是理想的数学家！(原本想表达的是：“理想的数学家” 能够自由地进入数学的任何领域)。

由此，可以有一部理想的数学书，阅读它就能掌握全部的数学。