[注：下文是群邮件内容，标题是另拟的。以后学习的主题都用卡通形象标识/区分。]

继续读 Edwards 的书 S41... 

* * * 16:45

The Galois group of the given equation f(x) = 0 with roots a, b, c, ... is the group with the following presentation.

---- 下文给出 Galois 群的表述 (关乎方程的根).

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简记：Galois group ~  f(x)=0  ~ a, b, c, ...

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Let each of the roots a, b, c, ... be expressed in terms of the Galois resolvent t...

---- 每个根用 “Galois resolvent” 表达.

---- “resolvent” 这个词最早由莱布尼兹提出...

---- 是指线性方程组的行列式.

---- 对于多项式方程，拉格朗日曾提出一种 resolvent.

---- Galois resolvent 记作 t.

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评论：resolvent 大概指 “对问题的解具有决定作用”.

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...say a = φa(t), b = φb(t), c = φc(t), ..., where φ's are polynomials with coefficients in K.

---- 每个根表达为 t 的多项式 (根作为参数).

---- 比如，根 a 表达为φa(t).

---- φ是关于 t 的多项式 (系数在 K 中).

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玩一下四角图 (用 r 表示 “根”)：

φr(t)     K

   r          t

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评论: K 是所谓 “已知量” 的集合.

---- f(x) 和φr(t) 的系数都在 K 里面.

---- f(x) 是待研究的多项式.

---- {φr(t) } 是由 r 和 t 决定的一串 辅助多项式.

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As above, let F(X) be the polynomial of degree n! whose roots are the n! distinct elements ASa + BSb + CSc + ... of K(a, b, c, ...)...

---- 引入另一(辅助)多项式 F(X).

---- F(X) 是 n! 次的多项式.

(比较：f(x) 是 n 次多项式)

---- F(X) 有 n! 个根，它们是 K(a, b, c, ...) 中的元素...

---- 样子为 ASa + BSb + CSc + ...

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... where t = Aa + Bb + Cc +... and where S is one of the n! substitutions of a, b, c, ....

---- 上文说 t 是 Galois resolvent.

---- 此处给出了 t 的表达式：t = Aa + Bb + Cc +...

(说白了：n个根配上n个系数做内积)

---- n 个根 {a, b, c, ...} 有 n! 个置换.

---- S 是这 n! 个置换之一.

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评论：上面有点绕，最好从 t 开始简化记号.

---- 用 “[ ]” 表示内部元素求和. 则 t = [Rr].

---- R 取遍 {A, B, C,...}，r 取遍 {a, b, c, ...}.

---- 对于 f(x) 而言 t 只有一个.

---- 用 Sr 替换 r 得到 T = [RSr].

---- S 有 n! 个，这样 T 也有 n! 个.

(S 是 n 个根的置换, 总共有 n! 个置换)

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玩一下四角图

F(X)     T =[RSr]

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  r         t =[Rr]

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注：给 n 个根 { r } 配 n 个系数 { R } 做和，得到 t =[Rr]；用 Sr 替换 r，共有 n! 个结果 (每个结果是 T =[RSr])；令 F(X) 是 n! 次多项式，它的 n! 个根为 { T }.

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小结：以上建立了 {φr(t) } 和 F(X) 两组辅助多项式. (这是准备工作).

* * * 19:30

 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ Ø ∀ ∃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ⁺ ₊ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .