【注：下文是单位群邮件的内容，踌躇满志ing】

进入文章第二部分：Preliminaries. （预备知识）

.

评注：这部分串了若干知识点，准备了若干引理。（共22小节）。

评论：本文似乎涉及到多个数学分支，作者串联有关知识点，或出于效率考虑。

考虑：打算优先“过内容”，间或学习基本概念、基本知识。

.

2.1. Divisors. Let X be a normal variety and D = Sum d_i D_i be an R-divisor where D_i are the distinct irreducible components of D. The coefficient d_i is also denoted as mu_{D_i} D.

.

评注：提及三个概念、四个符号（X, D, D_i, d_i）。

点子：忽然想到给概念加链接的办法。

评论：看上去R-divisor可以分解为“不可约”分量。（数学中的元思想/元操作：凡有可能，必作分割/分解，止于不可）。

考虑：X 可以做分割/分解吗？

.

Let X, Y be normal varieties projective over some base Z, and phi: X ---> Y a birational map /Z whose inverse does not contract any divisor. Let D be an R-Cartier R-divisor on X. We usually denote phi_*D as DY. Now assume DY is also R-Cartier. We say phi is D-negative if there is a common resolution g: W --> X and h: W --> Y such that E:=g*D - h*DY is effective and exceptional /Y, and Supp g_*E contains all the exceptional divisors of phi.

.

评注：给出映射phi和 “D-negative”的定义.

评论：用意不明，后必呼应。（形式化表述的毛病在于，引入许多术语，乃至淹没了主观意图和认知路径）。

.

特评：“D-negative” 应该是构造出来的，就像事先下的一个“套儿”，浓缩了一系列操作。这种东西不可能一下子从脑子里冒出来，肯定有起源（即原始的上下文、原始的摸索）。起源可以帮助理解，但事事追求起源就变成了“起源家”，没办法做别的事情了...其实，很多时候提出定义，只是为了方便说话，特别是需要反复那样说的时候。这种情境诱发的定义不妨称之为“预编程”。（“D-negative”的定义很像预编程）。

.

Let X be a normal projective variety of dimension d and let A, D be R-Cartier R-divisors. We define the degree of D with respect to A to be the intersection number degAD:= A^{d-1}D when d>1 and degAD:=deg D if d=1 where deg D denotes the usual degree of divisors on curves. If A - D is pseudo-effective, then one easily see degAD ≤ degAA. 

.

评注：给出D关于A的“度数”或“阶数”. 

评论：第一句限定了说话的范围或上下文，即对有限维度正规投影簇X上的R-Cartier R-divisors而言。（这里，X的属性是大前提）。

考虑：X改为别的属性，还会有R-Cartier R-divisors？（还是说，R-Cartier R-divisors总是针对“有限维度正规投影簇”而言？待考）。

.

The volume of an R-divisor D on a normal projective variety X of dimension d is defined as vol(D)=lim_{m->oo} sup { h^0(\mD/)/(m^d/d!) }.

.

评注：定义了D的体积（通过极限式子定义）。

.

小结：2.1小节完结。共四段，涉及divisor的四个要点：不可约分解、D-negative 类型的phi映射、（相对）阶数、体积。

注：divisor 有很多方面，这里仅突出了四个方面，应该是“划重点”了。

* * *

行进的过程中，我也时常生出怀疑，不知道现在的选择是否正确。但有一点是肯定的，作为学数学的，有理由了解最前沿、最新的数学进展。至于“会不会太难？”这类问题，也不时地会自己冒出来。我想是这样，至少加入了为数不多的读者中间，其中大比例也会中途退出（不排除我自己），但总不会一无所获。至于风险，总是有的。或许，放不下手头的研究阅读名作才是真正的风险。让自己拭目以待！