（一）湍流研究的学科分布： 

湍流的研究分为基础研究和应用研究，其应用范围比较广泛，因此有若干个学科从事湍流的研究，进展残差不齐。湍流的重点是基础研究，可是，众所周知，近200年来，这个方面的进展非常缓慢 【1-7】。

1.数学学科：研究纳维-斯托克斯方程的正则性。自2000年这个问题被美国Clay数学研究所确定为7个千禧年大奖难题之一以来，研究很热门，可是在数学理论方面仍然没有突破，数学理论上还没有人确切证明光滑解是否存在。文献[1-3]通过流体力学的理论研究，发现了NS方程的奇点，得到了这个问题的正确答案，即纳维-斯托克斯方程不存在全局域上的光滑解 [1-3]，且理论与实验符合一致。

2.物理学及天体物理学科：湍流的统计力学，各向同性湍流，标度律，混沌，分岔，能量传递等，特别在天体物理学中，能量是怎么传递的，如黑洞，星际流动等。天体的运行和演化，能量是引起运动变化的推动力。弄清楚这个问题，会有助于理解黑洞和引力波，理解关于宇宙大爆炸的起源以及宇宙的形成。

3.流体力学及其工程应用学科：包括航空航天、机械、化工、建筑、动力、能源学科等。研究湍流结构及流动物理机理（u,v,w,p变化），阻力变化，介质混合特性及热传导特性等等。在这里，湍流研究与湍流控制联系在一起，控制湍流可以在工程应用上获得经济及安全效益。

4.大气和海洋学科：大气流动的湍流的演化，能量传递，分层流动，标度律，重力影响，大气对流，斜压影响等等。2000年之前，这个学科的流体力学研究基本都是基于无粘流动的理论。近些年进行了一些基于Navier-Stokes方程的研究。因此，有必要进行开展在粘性影响下的理论研究，这对灾害防治、天气预测都有重要意义。

5.其他交叉学科：2000年以来，湍流在非牛顿流体力学里面的研究发展迅速，特别是弹性和粘弹性湍流的开展，以及在化工、生物、以及其它微流动领域的应用，例如血夜动力学，微流动传热，芯片流动应用等 [1,8,9]。目前，由于湍流的新的应用要求，迫切需要开展多相流动湍流的理论及机理研究。

自从1960's~1970's由斯坦福大学和加州理工学院的研究团队，发现了湍流的拟序结构以来，湍流取得的成就主要是在上面的第3个学科，推动湍流研究进展较大的是第3个学科，但是对湍流结构的研究还是没有统一结论，如Adrian等人的发卡涡结构学说及Hussain等人的条带结构学说。

（二）湍流理论前100年及近20年进展：

湍流研究分为理论研究、实验研究、数值计算，这么三个方面，可以说湍流理论是最难的。在上个世纪的100年，与现在的科研条件相比，由于实验设备及条件较差，计算机能力较弱，湍流试验和模拟的数据库较小；因为理论研究不是凭空想出来的，是基于对数据库的分析，加上科学家自己的思路所建立，所以理论成果就很少。另一方面，研究湍流的人数也相对较少，世界各国投入的资金也是较少。现在，已经有一个庞大的湍流数据库展示在众人面前，其实面对湍流实验和模拟结果这样的图画，做出一个可靠的湍流理论已经并非难事！

在上个世纪的100年，能够拿得出手的湍流理论就是只有2个：线性稳定性理论和湍流各向同性流动的统计理论。后来的研究发现，这2个理论对湍流的理解的帮助其实非常小，且与实验真实性相差甚远。

当1944年林家翘先生用数学渐进性分析验证了海森堡（1924）关于槽道流动可以线性失稳之后，当在1947年，Schubauer and Skramstad通过实验发现了边界层流动中的TS波后，当1952年Thomas在冯纽曼指导下，用计算机验证了林家翘先生的结果后，人们就认为湍流是线性失稳产生的了。当时已经引起了物理学界、应用数学界及流体力学界的广泛关注和轰动。可是到了1980~1990年前后，人们发现线性稳定性理论与湍流根本没有任何关系，线性失稳不一定导致湍流，没有线性失稳的流动，也可以产生湍流，那你怎么能坚持说这个理论有效? 所以说这个理论也失败了。这样后来在1970~1990年代，人们发明了一个新词：旁路转捩（bypass transition），这是没有办法的办法，即要维持原来不可靠的理论，又要解释新的物理现象。这就是当对湍流产生机理不理解时，科学家对湍流做的勉强的理论解释。

1930年代发展起来的湍流各向同性流动的统计理论，被众多著名科学家（Taylor, von Karman, Kolmogolov, Kraichnan等人）研究和应用了40年。当1970年左右，当人们发现了湍流看似是具有组织性的拟序结构，而湍流运动不是随机运动，湍流不能用各向同性流动的统计理论来描述，这个理论关注的人就少了，后来实际上被放弃了。特别是湍流的生成机理，与这个理论没有任何关联。

因此，在上世纪末和本世纪初，国内外著名湍流专家呼吁湍流急切需要新理论的出现，如美国加州理工的Liepmann，康奈尔大学的Lumley，以及国内的前辈庄逢甘、张涵信、周恒、张兆顺先生等，都曾撰文指出湍流研究的突破需要新理论。

因此，整个上个世纪，尽管许多数学家和物理学家做了长期的努力，直到2000年，也没有其他的可以令人信服的湍流理论发展出来，可以说湍流理论太难了。这就是为什么湍流称之为百年难题的主要原因。作为对比，相对论和量子力学，都各有一套完整的理论体系，且后来都得到了实验数据和观测数据的验证。

最近20年来湍流理论有什么新进展？ 自2000年以来，由于交叉学科的研究碰撞，由于研究湍流的思路的突破，在湍流相关方面，湍流理论才有了新的进展。但是，除了下面2个新的理论进展，还没有发现其他的可靠的具有说服力的理论进展。

（1）湍流的能量梯度理论的建立，理论研究和实验验证阐述了湍流是由于奇点产生【1-7】。奇点产生是通过Navier-Stokes方程精确推导出来的，这个理论与国际上若干国家的许多研究者100多年来获得的大量实验数据一致，且找不到任何反例。以前的所有理论都存在反例。特别需要指出的是，作者认为，描述湍流的理论与湍流产生/湍流转捩的理论应该是同一个理论，而过去100多年不是这样认为的。过去湍流转捩和湍流被当做2个研究领域，对层流-湍流转捩采用一种概念，描述完全发展的湍流采用另一种概念。

（2）纳维-斯托克斯方程的弱解的进展,数学家证明了不可压缩流动的三维纳维-斯托克斯方程的弱解的非唯一性（Princeton）。现代计算流体力学能够用数值离散格式预测湍流的数学基础是Navier-Stokes方程存在弱解，其弱解的非唯一性解释了利用不同的数值方法得到的结果，有可能不是完全相同的。

需要指出的是，什么是理论？理论是首先有一个完整的物理学概念，并且基于第一性原理，有一整套精确的数学公式推导，通过所有公式推导，得到一个严格的物理学结论，这就是理论。进一步地，这个理论的结果必须与所有能够得到的实验数据相一致，不允许存在反例。

如果根据数值模拟或者实验结果或者因次分析，得到了对某些物理现象的新观点或者新看法，或者在某些合理的假定下得到了新的半经验公式，那么这不是理论，最多可以称之为唯象理论，如Kolmogorov(1941) 的K41理论（湍流能谱与波数的-5/3次方的标度律）。

（三）湍流研究方向展望：

（1）纳维-斯托克斯方程光滑解的偏微分方程的数学理论：即纳维-斯托克斯方程的强解。对此问题的研究进展缓慢，在这方面似乎还缺乏正确的思路及数学工具。问题主要是缺乏对此方程的数学和物理学的深刻理解。尽管对此问题的标准答案已经存在了，即三维纳维-斯托克斯方程不存在全局域上的光滑解 【1-3】，但是从数学理论上进行通用的证明，从数学家方面考虑来说，似乎好像是必要的。

（2）湍流生成演化及维持的物理机理：对湍流的多层次结构的物理机理的深刻理解，以及湍流生成机理和湍流维持机理的深化和应用扩展。在这方面所取得的突破性进展已经奠定了进一步研究的基础 ，这个问题的研究应该围绕流场奇点的生成和演化展开【1-3】。这些成果需要进一步扩展到超音速流动、化学反应流动、非牛顿流动、多相流动、磁流体流动等等。

（3）湍流的通用模型：工程和应用需要一个通用的湍流模型（没有必要区分壁面湍流、自由湍流），这必须建立在对湍流的充分理解之上，特别是湍流多尺度结构。如果能建立起这样一个模型，湍流计算就没有必要采用很密的网格，湍流在工程上的应用可以达到事半功倍的效果，也就没有必要在工程上开展DNS的研究了，工程设计可以以更快地速度完成。因为湍流的产生机理是唯一的【1】，那么，建立一个通用的湍流模型是可行的。

（4）所有上面三个基础研究方向的工程应用。

湍流的基础研究和工程应用的反馈，互相促进，即使走了多少弯路，也都是推动湍流研究的进步。

据公开报道，1990年我们全国招了60万本专科生，当年硕士只招3万人，博士招了3000人（作者1988年读博，大约为3000人之一）。2020年，本专科招了967.45万人，硕士招了120万人，博士招生也超过10万人。另据教育部信息，2021年我国在读博士达到50.95万人。每年毕业博士人数在7万人左右。2022年9月份之后我国在读博士或将达到56万-57万之间。预计到2025年我国年度博士研究生招生人数将突破15万，在读博士将达到70万！2023年硕士生报名477万，录取了125万。预计2025年在读硕士生将达到大约400万。

因此，每年在这70万博士和400万硕士研究生中，必然有着数万名博士研究生和几十万名硕士研究生从事研究湍流以及相关工作，相信未来20年湍流研究将会取得很大的进展。 

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.   https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7   (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553.  https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063   (AAMM); 或者 

https://arxiv.org/abs/1805.12053v10   (Arxiv) （通过物理学推导出奇点）

3. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. 

https://doi.org/10.3390/e24030339   （通过数学推导出奇点）

4.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻， 2021。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm （此学校网页白天能打开，晚上打不开）

或者  https://mp.weixin.qq.com/s/8letL1Z5XiFf-6Lw4GLe5Q     或者   https://mp.weixin.qq.com/s/mnkwE67OPbGwHccqrePRrQ

5. 窦华书，一个力学公理的建立揭开了湍流的秘密， https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1383011.html

6. 窦华书，千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明, 科学网博文，2022年5月。

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1337452

7. 窦华书，我是怎样创立能量梯度理论的？ https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA

8. 窦华书： 为什么流动弯曲的地方更容易发生湍流？  https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1375993.html

9. 窦华书，为什么人体主动脉血管里血液流动会由层流变为湍流？  https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1356764.html