图1 圆管流动中的puffs (van Doorne and Westerweel, 2009)

湍流是国际上科学界公认的物理和数学方面的世纪难题，从雷诺1883年做的著名的层流到湍流转捩的圆管流动实验以来，至今已经经过了140年。今天，湍流这一世纪科学难题已经得到破解了 [1-4]，且理论与实验数据完全一致。为了让读者更加容易理解，今天再次简要叙述一下湍流破解的核心问题。

作者于2004年建立起了能量梯度理论（Energy Gradient Theory, EGT），研究层流向湍流的转捩。经过利用能量梯度理论的研究，后来发现，在所有的剪切流动中，湍流转捩都是通过在流场中形成Navier-Stokes方程的奇点而完成的。在这些奇点处，总的机械能的梯度垂直于流线，流动具有接近于零的速度，局部具有特别高的涡量，如边界层流动中的猝发及形成的湍流斑，圆管流动中的puffs（图1）等。怎么从Navier-Stokes方程及其理论上论证这些点是Navier-Stokes方程的奇点，怎么定义这类奇点，奇点的特性要同时符合数学和物理上对奇点的定义，还要让读者信服，这些成为了一大难题。在过去的20多年里，作者通过持续不断地努力，创立了一系列公理，其中一个公理架起了论证奇点的桥梁，论文于2021年发表，从此揭开了湍流的秘密。

计算流体力学(CFD)一般基于两种方法，一是连续力学方法，即Navier-Stokes方程（NS方程），具体采用的数值方法主要有有限差分方法、有限体积方法和有限元方法。二是基于粒子力学的离散方法，如SPH、DPD、LBM等方法。这两种方法的基础和出发方程都是牛顿第二定律。

牛顿第二定律是物质运动的动量方程，对不可压缩流体，其沿路径积分就是机械能方程，如果是无粘流动，就是伯努利方程。

上面所提及的CFD的两种数值方法，实际上都是隐含了这样一个事实，即消耗在流体微元体或者流体粒子上的机械能与流体的速度成正比。因为流体微元体消耗的能量就等于其周围流体对其做的功，根据做功的定义和功率的定义，我们有 A=Nt=Fut。我们对比下面2个例子：

(1)对流体质点或粒子做的功为 A=Nt=Fut，其中F为粒子所受的摩擦阻力，u为速度，N为功率，t为时间。如果对流体粒子做的功A=0（也就是流体质点消耗的机械能为零delta E=0 或者dE/dx=0），则此粒子速度u=0，如图2。

(2)一台汽车的动力学支配方程也是，A=Nt=Fut，如果一台运行的汽车，当汽车的发动机熄火，即功率N=0，则汽车的速度立刻变为零u=0 (不考虑汽车惯性；考虑惯性也没有问题，就是需要经过很小的一段时间，u才变为零)，如图2。

图2 （a）行驶中的汽车；（b）运动中的流体质点。

现代力学中，上面的2个例子是自然界存在的事实，简单的道理也是显而易见的，但是科学史上不存在这样的公理或者定理。窦华书为了论证和揭示湍流的产生原理，针对不可压缩流体，创立了这样一个公理：如果消耗（作用）在流体质点上的机械能为零，则质点的速度为零。正是基于这样一个公理（书中的公理5.3 [1]），窦华书通过理论推导，发现并证明了湍流产生的物理机理（图3），这就是国际上几代科学家奋斗了140年（1883-2023），都未能找到的湍流的秘密 [1-4]。

上述公理实际上就是对能量守恒定律的另一种描述，首先对固体力学里的物体是适用的，然后才把这个原理用到流场中的流体质点上。只不过是，以前流体力学里从来没有对流体质点的这样的描述。如果流体力学里，以前就有这样的公理，可能湍流产生的问题早就解决了，也不会等上140年。

当大量流体质点在牛顿第二定律支配下流动时，都服从A=Nt=Fut这样的规律。当流动速度比较高时，如果在扰动作用下，流场里面突然有的流体质点，消耗的能量突然消失即N=0（在NS方程中写为dE/dx=0），则这个流体质点的运动立刻停止即u=0，这个流体质点，就成为了流场中的奇点。因为其它大量的流体质点，都是在流动，速度都不为零（边界除外），都要消耗能量，这个粒子突然速度为零，就和周围的流体粒子之间形成了间断。在非定常流动中，这个间断在扰动的一个周期内，只有一个瞬时，即发生间断的时间长度为零，但又是存在的。虽然时间极其短暂，但是为了满足Navier-Stokes方程，u=0是必须确实要发生的。这个发生间断的流体粒子（奇点）引起了速度的valley（spike产生）和压力的peak，这导致了三个速度分量及压力的涨落（脉动），以及涨落的对流，湍流就此发生了。

导致湍流产生的奇点指的是非定常流动中速度的间断（瞬时的u=0），而不是爆破（blowing up）。湍流中的这类奇点是窦华书首次发现的，也是窦华书首次给予定义的。在此之前，从来没有人知道湍流中存在这类奇点，窦华书从NS方程推导出了这类奇点，然后从实验数据和直接数值模拟数据得到验证，发现理论与实验完全一致。到现在为止，无论理论、实验，还是NS方程的计算，都没有人发现湍流中出现爆破（blowing up）。

上述湍流发生的物理机理，是通过NS方程严格而精确地推导出来的（图3），是实验严格验证的（图4），也是DNS模拟结果验证的，互相印证，完全一致，至此，研究了200年的NS方程和研究了140年的湍流，就此露出了真面目。

湍流的问题100多年没有解决，就是缺少上面这样一个公理。建立了这样一个公理，湍流的秘密就此揭开了，NS方程的秘密也就找到了[1-4]。如果用公式表述一下这个公理，就是，沿着流体流动的流线方向（速度矢量的方向）：

       当 dE/dx=0,  我们有  u=0 （theoretically）。

实际上，作者在2004和2006年的文章里，就指出了在速度剖面的拐点处，粘性项为零，此处机械能梯度垂直于流线，沿流线的速度应为零。在2008年的APS文章里，指出机械能梯度垂直于流线的位置是NS方程的奇点，并指出转捩流动通过这个奇点转捩为湍流。可是，根据什么理由来得出在拐点位置，此处u=0的结论，是一个难题，虽然心里非常明白这个结论是正确的。为了得出这个结果，作者创立了上述这个公理。公理是不需要证明的，而定理需要证明。

图3 奇点（速度间断）的精确推导，假定初始的三维channel flow沿展向没有变化。方程如果写为三维的即沿展向有变化的，只要拉普拉斯算子为零（此点无能量损失），结果都一样。在扰动流动中，速度分布是畸变的，流场中存在Laplace算子瞬时为零的点。据此，得到了在非定常流动中，在Laplace算子瞬时为零的点上，pu/pt=0, pE/px=0，根据公理5.3，在此时此点，u=0。预测结果如图中右下角的picture。

图4 转捩流动中奇点的实验验证（channel flow），这是层流到湍流转捩的开始阶段。上面的信号记录的为x方向的速度随时间变化。下面的信号为上游输入的扰动信号随时间的变化。可以看出，当扰动经过一个周期，速度u就发生一次间断u=0（negative spike）。而且，间断点发生在扰动的top pu/pt=0的时刻，与图3中的理论推导完全一致。实验表明，在进一步的下游，这个速度间断形成的spike, 会变为2个spikes, 三个spikes，多个spikes，再进一步地，变为湍流斑。

现在解释一下图3（理论）和图4（实验）中，速度间断u=0为什么只发生在扰动的上面pu/pt=0的位置，为什么没有发生在扰动的下面pu/pt=0的位置。周期性的扰动导致速度剖面发生周期性的变化，一个周期内速度剖面在“胖”和“瘦”之间交替变化，大量实验数据证实了这种变化（如Kachanov 1994）。当扰动在top的pu/pt=0的位置时，速度的剖面是“瘦的”，有拐点，Laplace算子为零，这样根据NS方程推导，pE/px=0，导致速度发生间断u=0。当扰动在bottom的pu/pt=0的位置时，速度的剖面是“胖的”，没有拐点，Laplace算子不为零，这样根据NS方程推导，pE/px不等于0，没有发生间断。

爱因斯坦的相对论很简单，一个质能关系式E=mc^2。湍流产生的理论也非常简单，就图3一张PPT，所有理论推导就全包括了，这样的推导结果严格精确。在转捩流动中，所有拉普拉斯算子为零的点，都是NS方程的奇点（压力驱动流动），都是湍流的生成中心，即大涡产生的位置。然后，由第一级大涡的影响导致的流场，按同样的机理逐级产生小涡，最后形成完全发展的湍流。这与Kolmogorov的K41理论的概念是一致的，与分叉理论，与分形理论，都是一致的。另外，作者发现的NS方程的奇点，就是动力系统中的鞍点。需要指出的是K41理论那只是假设，而作者这是理论，通过NS方程的精确推导得出的理论。

归根到底，层流到湍流的转捩是因为NS方程的奇点生成，湍流是由大量NS方程的奇点组成。图5中许多研究者所研究的若干湍流有关的现象或者湍流机理，其产生根源都是窦华书所发现的NS方程的奇点。如果把NS方程的奇点理解了，所有这些现象就都清楚了。

过去140年来，国际上没有任何人能够通过理论，精确预测和解释湍流的产生。窦华书在国际上首次通过能量梯度理论和NS方程分析解决了这个问题，理论结果与实验数据完全一致，并且得到了湍流转捩的准则。即，湍流转捩/湍流产生的必要及充分条件是流场中出现NS方程的奇点（速度间断）[1-4]。

图5 转捩流动及湍流中的所有现象和机理都是来源于NS方程的奇点

作者的湍流专著[1]2022年3月底在Springer出版后，引起了读者的极大关注，12个月已经被下载了26000多次，在工程类书籍排名第一（一般的工程、力学、机械类书籍一年下载量也就1千次左右）。为了使读者理解湍流的产生机理，作者已经在科学网和知乎网及流体空间、风流之音、声振之家等微信公众号写了20多篇科普文章。为了使读者更容易理解，今天以3页PPT作为素材，再次简明扼要地讲解了NS方程是经历了怎样的变化过程导致了湍流，且理论与实验数据完全一致。

参考文献
1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  

https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7  ps://10.1007/978-981-19-0087-7 (全书下载地址).

2.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。  

http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html   或者 https://mp.weixin.qq.com/s/1nh4SLMaLHC511d8uDeI8Q

022/1117/1327.html3.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。  

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm 或者 https://mp.weixin.qq.com/s/8letL1Z5XiFf-6Lw4GLe5Q

 https://mp.weixin.qq.com/s/QfC9d4Cn5ujzUMltyhvQyg033/41169.htm

4. 窦华书：我是怎样创立能量梯度理论的。 

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1373263 或  https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA