（一）湍流问题与三体问题之对比：

三体问题是低维的（具有有限多个自由度），而湍流问题是高维的，并且是无限维的（理论上具有无限多个自由度）。当然，答案是湍流问题比三体问题更难解。

现在，大家知道的是“三体问题”没有解析解，可以在建立的力学模型下进行数值求解。对于湍流问题，也不存在解析解，也只能进行数值求解；数值求解（DNS, LES）得到的是Navier-Stokes (NS) 方程的弱解(逼近的近似解)，因为湍流中奇点存在，无法得到NS的强解（精确值），因此通过数值求解方法不可能得到湍流的精确值。

德国物理学家、湍流专家 Bruno Eckhardt（1961-2019）曾经用有限自由度的低维的动力系统理论模拟了层流到湍流的转捩问题。

三体问题，最早是法国数学家庞加莱在100多年前提出的，它就是混沌理论的早期版本。三体问题之所以是混沌的是由于方程的非线性，对初值敏感，一个微小的变化就会引起运动结果的很大的变化。湍流问题，虽然有人用混沌理论研究了50多年，并没有实质进展，现在看来，湍流是不是混沌的还不一定，仍然需要研究湍流和混沌的关系。湍流的计算发现，对初值的敏感，只是在计算开始后的一段时间内；而在长时间后，湍流处于一个确定性的准稳态的动态状态。湍流运动中，虽然非线性会趋于把初值的微小差别放大，但是粘性作用会damp这种趋势，最终通过奇点产生把扰动限定在一定范围之内。所以在雷诺数足够高，初始扰动大于一定值后的湍流DNS计算，结果是确定的。

混沌理论仍然是一个不成熟的理论，甚至没有一个确切的混沌的数学定义。混沌理论研究者甚至说，混沌有多种表现形式，没有统一的模式。混沌的主要特点是（1）混沌是由于方程的非线性产生的。（2）对初值的敏感性，初值微小的变化导致了结果的巨大差异。（3）确定性的方程导致了不确定的结果，但不是随机的。（4）通向混沌的道路有周期倍分岔、准周期性和阵发式等，这些道路都展示了混沌的多尺度特性(针对湍流相关研究的道路)。（5）永不重复的相空间的奇异吸引子。1885年，庞加莱对三体问题的计算，发现了计算的运动轨道对初始变化的敏感性。1963年美国气象学家洛伦兹通过对气象学对流问题的简化的非线性方程组的计算，发现了初值变化对计算结果的放大影响，即所谓的“蝴蝶效应”，开启了现代混沌理论的研究。

现在有一个重要问题是，洛伦茨的混沌理论（Chaos），具有非线性系统的初值敏感性、结果多样性和多尺度特性，而三体问题的研究结果只有非线性系统的初值敏感性及结果多样性，并没有结果表明多尺度特性，那么三体问题属于不属于混沌问题？还是说按照混沌的多样性，混沌也可以不具有多尺度现象。按照Tien-Yien Li (李天岩 1945-2020) and York（1975）的理论，通过三个周期就可以达到混沌。

湍流问题和三体问题的主要区别不仅仅是哪个更难求解的问题，而是物理上的巨大差异。虽然都是属于非线性问题，但这2个问题是完全不同类型的数学物理问题，湍流问题更难以理解。即使现在假如有一个无限计算能力的超级计算机能够模拟湍流，可是湍流的物理你不一定能够完全理解。

本人这里需要指出的是，三体问题是一个纯碎的动力系统问题（非线性动力学问题），而湍流问题是一个更复杂的多尺度的耗散系统；即除了非线性问题，还有粘性作用的问题。

NS方程的湍流问题与三体问题比较，多了一个粘性问题。那么Euler方程只有非线性问题，没有粘性问题，是不是就和三体问题类似了呢？那还是不一样的，三维Euler方程有涡量守恒和能量及螺旋度不变量，这些都限制了流动参数的变化，而边界条件也导致了解的不唯一性。

然而，许多人把NS方程中粘性的作用仅仅理解为耗散，这样太简单了，没有发现问题的实质，这也可能是湍流问题100多年没有得到解决的原因之一。很多科学家把湍流发生理解为Navier-Stokes 方程中非线性项的作用远大于粘性项的作用而引起，而把注意力集中在研究扰动幅值的增长方面，Landau等人并且还把幅值作为湍流转捩的准则。自从Navier-Stokes方程建立的近200年来，人们只是想到了NS方程的非线性，没有想到的是粘性可以引起奇异性。窦华书首次发现了由于粘性引起的NS方程的奇异性，才发现了湍流产生的物理机理，解开了百年湍流的秘密。也就是说，NS方程因为有奇异性才产生了湍流，如果没有奇异性，NS方程描述的永远是层流 [1]。

备注：因为窦华书发现了NS方程的奇异性，由此解决了2个世界科学难题：（1）湍流产生是由于NS方程的奇异性引起；（2）由于NS方程的奇异性，NS方程不存在全局域上的光滑解。这对千禧年大奖难题之一纳维斯托克斯方程的存在性及光滑性问题给出了正确的答案。

众所周知，湍流问题已经成为经典物理学领域的最后一个尚未解决的难题。提到湍流研究很难，为什么很难，许多人就说，因为NS方程的对流项是非线性的，难就难在非线性，这样太笼统了，没有去追究物理细节。作者这里要强调的是，不只是非线性，还有粘性的相互作用。如果只有非线性，没有粘性，比如三维Euler 无粘流动，是不会产生湍流的。湍流是非线性项与粘性项相互干扰，产生了奇异性，才产生了湍流。

多尺度现象是湍流的一个主要表现特征，许多以前的理论都涉及这个概念。如果能弄清楚到底这个多尺度的问题是怎么形成的，湍流这个问题，也就差不多能解决了。理解不了多尺度，就不能理解湍流。美国密西根大学的应用数学家 Charles Doering (1956-1921) 教授讲过，湍流问题的最终目的是能建立一个理想的通用湍流模型，代替NS方程的直接求解。那么，将来的通用湍流模型必须是多尺度的。

（二）湍流的诸多的多尺度的原始研究如下：

(1)英国数值气象学家Lewis Fry Richardson（1881-1953），是最早提出湍流的多尺度概念的, 他在1922年写的小诗众所周知 [2]，这既是大家所知的能量级串概念（cascade of energy）：

Big whirls have little whirls  大涡里产生小涡

that feed on their velocity  速度供给旋涡能量

and little whirls have lesser whirls  小涡产生更小的涡

and so on to viscosity.  直到最后耗散于粘性

(2)Kolmogorov （1941，俄国著名数学家，1980年沃尔夫数学奖获得者），根据Richardson的思想，利用统计力学分析，提出了均匀各项同性湍流能谱惯性子区的-5/3次方的标度律，即K41理论。在惯性子区，湍流能量从大涡依次传给小涡，而没有能量耗散（假定了惯性子区波数空间粘性耗散率是一个常数）。能量耗散是在更小的尺度上，在波数的耗散区产生的。虽然许多科学家认为K41理论仍有基础性问题，但此概念已经深入人心，且与若干数据符合良好 [3,4]。

(3)Landau（1944，俄国物理学家、1962年诺贝尔物理学奖获得者）和Hopf（1948，德国著名数学家）根据非线性动力学分析，分别提出了湍流的分岔现象，认为湍流是按照周期倍分岔的规律形成的，直到无限，如图1 [5]。

(4)Ruelle（法国数学物理学家，2022年狄拉克物理学奖获得者,88岁获奖）和Takens（法国数学家）在1971年从数学上证明了流体湍流系统只需要产生三个不同频率的扰动，系统就可以产生混沌，导致湍流。研究表明，系统随着非线性参数（雷诺数）的增大，稳态解失去稳定性，系统相空间中的三维环面在临界点衰变为一个奇怪的吸引子。这里由三个频率组成的运动并不完全是周期性的（称之为准周期道路）[6]。

(5)Mandelbrot（波兰人、法国美国多重国籍，1993年沃尔夫物理学奖获得者）在1974年，提出了分形理论，分形理论解释了多尺度的湍流，在不同尺度上的湍流结构具有尺度相似的几何规律 [7]。

(6)佘振苏和Leveque在1994年提出了湍流的层次结构理论，描述了湍流的多尺度规律, 得到了充分发展的湍流的能谱标度律 [8]。

(7)窦华书在2021年根据流体力学原理，基于NS方程的推导，得到了湍流转捩是NS方程的奇点导致的，而完全发展的湍流是奇点的逐级产生而完成，湍流由大量不同尺度的奇点所组成 [9]。

需要指出的是，物理上（即根据速度和压力变化）是什么原因导致了多尺度现象？这才是解决湍流问题的关键。

窦华书的能量梯度理论显示了多尺度的生成是由于速度场的变化，引起了NS方程的奇点产生，导致湍流猝发，从而产生更多的奇点，以此类推，产生了多尺度现象。从第一层奇点，第二层奇点，...直到最小尺度的奇点。因次，多尺度现象是非线性与粘性相互作用导致的结果。

总结：上述这些湍流的多尺度现象的研究，其隐含的物理概念是一致的，反映了从不同角度研究湍流的统一性。这也相互佐证了上述这些理论概念都是基本正确的，只是利用了不同的方法而已。

能量传递的级串现象、湍流的几何分形是其外在表现形式，分岔现象是非线性力学的过程描述，湍流的层次结构理论是对多尺度现象的理论解析，速度场的奇异性是多尺度现象的动力学根源（即湍流的根源 Origin of turbulence）。

另外，通过上面讨论，可以看出，是粘性作用，才产生了多尺度现象。对于无粘流体，没有粘性，可能会产生多尺度现象吗？也就是无粘流体会产生湍流吗？

图1 Landau-Hopf 周期倍分岔，定性地展示了湍流产生的多尺度现象 (Kundu et al. 2016)

References

1.Dou, H.-S. 2022. Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7 

2.Richardson, L. F. 1922. Weather Prediction by Numerical Processes, Cambridge University Press, Boston.

3.Frisch, U. 1995. Turbulence: The legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge University Press, Cambridge.

4.Kolmogorov, A. N. 1941. The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers, C. R. Acad. Sci URSS, 30, 301-305.

5.Landau, L.D., Lifshitz, E. M. 1987. Fluid Mechanics, 2nd Ed., Oxford.  

6.Ruelle, D., Takens, F. 1971. On the nature of turbulence, Communications in Mathematical Physics, 20 (3), 167-192.

7.Mandelbrot, B. B. 1974. Intermittent turbulence in self-similar cascades: divergence of high moments and dimension of the carrier. J. Fluid Mech. 62: 33 1-58

8.She, Z.-S., Leveque, E. 1994. Universal scaling laws in fully developed turbulence, Phys. Rev. Lett., 72(3), 336-339.

9.Dou, H.-S. 2021. Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 527-553.