1. 湍流控制方程Navier-Stokes动量方程（Navier 1822, Stokes 1845）：

2. 线性稳定性理论（Orr1907, Sommerfeld 1908）:

3. 湍流模型的混合长度理论（Prandtl 1924）:

4. 湍流壁面区的平均速度的对数律分布（Kármán 1931）：

5. 湍流的均匀各向同性理论(Taylor 1935, Kármán 1937)：

6. Kolmogorov的均匀各向同性湍流的能谱标度律(Kolmogorov 1941)：

7. Jean Leray的关于三维Navier-Stokes方程的弱解(Leray 1934):

8. 窦华书的能量梯度理论(Dou 2004; 2006; 2011; 2021;2022; Dou and Khoo 2010,2011):

流体运动的动量方程，纳维-斯托克斯方程已经建立了200年。自从雷诺实验1883完成以来，湍流研究已经进行了140年，虽然取得了很大进展，但是，众所周知，进展是非常缓慢的，特别是理论方面，可以说，在湍流领域，几乎没有理论。到目前为止，在流体力学的湍流领域，唯一被得到普遍认可的理论是Kolmogorov 的 K41理论，实际上K41理论不是一个真正的理论，只是一个依据统计力学分析，从因次分析得到的半经验公式，最多算是一个唯象理论。K41理论没有从第一性原理进行推导，所得到的能谱函数的表达式有很大可能是不正确的。比如，除耗散率和波数外，有可能还有另外的自变量，波数的指数-5/3可能应该为-2。

湍流的研究，理论方面远远落后于实验研究和数值模拟。过去几十年来，国内外的专家一直在呼唤新的理论。众所周知，100多年来，湍流研究，影响较大的只有两种理论：线性稳定性理论和湍流的各向同性理论，从事这2种理论研究的都是世界最顶尖的物理学家及应用数学家，包括至少7位诺贝尔奖获得者。上个世纪，大家对线性稳定性理论期望太高，结果是它即不能正确预测转捩临界条件也不能解释湍流产生。对湍流的各向同性理论的研究比较广泛，其中被大家认可的只有上述提及的K41标度律。可是自从1960's-1970's发现了湍流的拟序结构以来，湍流的各向同性理论的研究就失去了活力。在其他有些学科，例如超导研究和光纤通讯，是先有了理论，理论指导了物理现象研究和技术研发。因此，湍流的研究如果有理论作指导，是非常重要的，显然，过去100多年的湍流研究很少受到理论的指导，而湍流的研究方向在曲折迂回中摸索，所以说湍流研究真的是太难了。

关于什么是第一性原理，在湍流这里就是指的是下面的概念。根据物理学的基本原理，不增加任何没有得到证明的近似或经验参数，对湍流运动的方程和特性进行推导得出的理论。流体运动的物理学基本原理就是，质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律。纳维-斯托克斯方程是根据动量守恒定律得出的力学控制方程，已经被物理学界所认可。基于NS方程的理论，一般也被认为是基于第一性原理的理论。

湍流的理论非常非常少，下面综述过去200年来，湍流方面得到众多湍流研究者认可的和部分成功的理论成果。

1. 湍流控制方程Navier-Stokes动量方程（Navier 1822, Stokes 1845）：

不可压缩粘性流体的动量方程，Navier-Stokes动量方程（NS），是根据牛顿第二定律，由法国科学家纳维（Navier 1822）和英国科学家斯托克斯（Stokes 1845）建立的。此方程基于连续介质假设，即流体质点的行为尺度远远大于流体分子的自由程。对牛顿流体，此方程包含5项，时间导数，对流项，压力梯度，粘性力，体积力。对流项是非线性的，一般认为，此方程的复杂性主要在于非线性项。表征层流到湍流转捩的雷诺数，可以从NS方程推导出来，一般理解为对流项与粘性项之比。

由于NS方程的非线性特性，此方程只对简单的层流流动有解析解，目前只有几十个解析解。对湍流流动，没有解析解，目前只能通过数值方法对具体流动进行求解。采用的湍流数值方法，目前有RANS,LES和DNS方法。

Navier-Stokes方程的正确性也会受到质疑，主要问题有2个，一个质疑是流体介质的连续性假设是否满足，在湍流激烈的区域流体是否存在空隙。现在的研究结果是在远远大于分子自由程的尺度量级上是满足的，即由大量流体分子组成的流体质点，是满足NS方程的。另一个质疑是流体的应力应变关系是否满足线性关系，这是仅对层流流动来说的。目前看来，这个假定与实验数据也是基本一致的。

2. 线性稳定性理论（Orr1907, Sommerfeld 1908）:

Orr（1907）和Sommerfeld（1908）通过将Navier-Stokes方程的小扰动线性化，分别独立地得到了小扰动的四阶常微分方程，即现在的Orr-Sommerfeld（O-S）方程。后来，Heisenberg（1924）、Tollmien（1929）、Schlichting（1933）、Lin CC（1944）分别用各种方法求解了O-S方程。Squire（1933）得到了O-S方程的三维形式。Tollmien和Schlichting的研究发现了层流中小扰动产生的平面波的失稳现象，Schubauer and Skramstad（1947）通过平板边界层流动的实验验证了层流线性失稳的现象。实验发现的引起线性失稳的二维波，后来被称为Tollmien-Schlichting (T-S)波。Thomas (1952, 1953) 在John von Neumann指导下首次用数字计算机code计算求解了O-S方程。Orszag（1971）利用谱方法计算得到了槽道流动最精确的结果。线性稳定性理论预测的是小扰动引起的微分方程的特征值可以放大的临界条件，而不是湍流转捩的临界条件。实验研究发现，层流在线性失稳后是另一种层流流动，而不是湍流，例如平板边界层流动和Taylor-Couette流动。因此，线性稳定性理论是不能预测转捩的。但是，线性稳定性理论是一个精确的数学理论，预测了T-S波的失稳是正确的。在过去长达80多年中， 为什么它一直是湍流领域的热点话题的原因，是由于人们缺乏对线性稳定性理论的预测结果的物理上的正确理解。有专家认为，线性稳定性理论是20世纪中长达半个世纪的曲折而激动人心的突出成果（1920's-1970's），毕竟有这么多世界顶尖物理学家和应用数学家介入了此工作。关于T-S波的命名，后来曾经引起过争议，毕竟实验验证的2位专家的贡献也非常大。

3. 湍流模型的混合长度理论（Prandtl 1924）:

混合长度理论是一个唯象理论，也是一个半经验理论。Boussinasq (1877)提出了湍流的涡粘度假设，即湍流应力·定义为名义上的湍流涡粘度与平均速度梯度的乘积。德国著名物理学家普朗特在1904年提出了边界层理论，1924年基于湍流应力产生是由于流体层间动量交换的思想，对壁面湍流，提出了混合长度理论。基于这个理论，Launder and Spalding（1974）提出了k-epsilon两方程湍流模型。

混合长度理论，具有模型简单、物理概念清晰的特点，只是这些工作是在壁面流动，和一些近似条件下获得，对其他流动的适用性仍受到挑战。过去几十年来，由此得到的k-epsilon湍流模型与大量壁面流动的数值模拟和实验结果获得了一致。后来，许多研究者在此基础上进行了大量工作，得到了一些较小的改进，并衍生出了其他湍流模型。

4. 湍流壁面区的平均速度的对数律分布（Kármán 1931）：

1931年，von Kármán 提出了壁面湍流内层的对数律分布。此公式中，有2个待定常数k=0.40和B=5.5。过去一个世纪中，许多作者通过理论分析结果和实验数据处理，改进了这2个常数。湍流平均速度的对数分布律，对平板边界层流动，槽道流动，圆管流动，都是适用的，只是2个常数的大小需要调整。这个平均速度分布对采用各种数值方法进行湍流的数值模拟时，设置边界条件及划分网格时，作为参考特别有用（图1 overlap layer）。加州理工的Clauser （100岁时去世）, Coles, 英国帝国理工的Spalding等人都在此基础上，改进了壁面区平均速度的分布律。

图1 湍流壁面区内层的平均速度分布（F.M.White 2011）

5. 湍流的均匀各向同性理论(Taylor 1935; Kármán 1937)：

G. I. Taylor（1935）和von Kármán（1937）建立了不可压缩流体的各向同性理论。此理论的背景是风洞中气流经过网格格栅整流后的均匀气流，通过细小网栅后的流动，其特征是平均气流速度分布是均匀的，而在小尺度上的流动是不规则的，在下游大约1个到1.5个风洞直径后的一段长度上，这些不规则的分布是几乎相同的，成为各向同性湍流的典型模型。

1938年，Kármán and Howarth对各向同性湍流的结构函数，推导出了著名的Kármán-Howarth方程，方程由于未知数的个数多于方程个数，方程是不封闭的，目前还没有解析解。在此基础上，林家翘（1948）进一步推导出了Kármán-Howarth方程的下面简单而漂亮的形式，

此方程有的文献中也被称为Lin方程。后来许多研究者针对此方程，做了若干工作，但是仍然没有进一步的理论推进。

6. Kolmogorov的均匀各向同性湍流的能谱标度律(Kolmogorov 1941)：

1941年，前苏联著名的数学家Kolmogorov，根据美国气象学家、数值天气预报的开拓者Richardson的湍流漩涡的能量级串概念，推导出了均匀各向同性湍流中两点速度差值的结构函数为两点距离的2/3次定律。进一步地与他的学生Obukhov一起，通过无因次分析，得到了均匀各向同性湍流的-5/3次方的能谱关系，这是迄今为止，能够被湍流领域研究者所承认的唯一的一个理论。理论得到的能谱关系，与许多高雷诺数下的实验数据符合较好。该理论基于一个基本假定：在高雷诺数下，湍流中的局部小尺度旋涡流动是均匀各向同性的；2个相似性假设，（1）高雷诺数湍流的局部小尺度运动的统计学具有通用的形式，并唯一地由耗散率 ε 和粘度 ν 决定；（2）高雷诺数湍流的小尺度运动的统计学具有通用的形式，在惯性子区内，唯一地取决于耗散率 ε 而独立于粘度 ν。

但是著名诺贝尔奖获得者、前苏联物理学家朗道（Landau）对Kolmogorov理论提出了质疑，因为湍流中存在间歇性，这引起湍流的能量耗散率沿着波数分布是不均匀的，该理论所做的假设不可靠。后来1962年，Kolmogorov 对1941年得到的能谱标度律进行了部分修正，但是主要的问题并没有解决。比如，（1）能谱关系不是通过第一性原理或NS方程推导得到的，只是因次分析的结果。（2）此能谱函数表达式与NS方程是不相容的；（3）湍流能谱函数与平均流动没有关系，与Re数 没有关系。（4）实际湍流中是否能量按所谓级串传播，旋涡之间的非线性干扰怎么考虑。（5）能量级串间歇性的问题仍然没有解决。（6）存在大量高雷诺数实验数据与K41标度律不符合，而是更陡一些，波数k的指数接近-2，这与间歇性的影响相对应。（7）K41的标度律在非平衡湍流中不成立。

由于Kolmororov在数学统计学、湍流及诸多数学学科领域里的突出贡献获得了1980年的沃尔夫数学奖。他还培养了一批世界级的前苏联著名数学家及湍流专家。

7. Jean Leray的关于三维Navier-Stokes方程的弱解(Leray 1934):

法国数学家Leray(1934)对三维Navier-Stokes方程的柯西问题，提出规则解（对层流）和不规则解（对湍流）的概念。Leray假定湍流之所以产生，是NS方程在流场中某些位置，由于点涡或者线涡的存在，导致了局部流动的速度趋于无穷大blowing up（奇点）所引起。在这些点上，流动的解是不规则的（irregular），而在其余的点上（层流），流动的解是规则的（regular）。因此，Leray采用分部积分的方法，提出了弱解的概念。当流动中出现这些奇点时，当然，方程的精确值是不可求解的，但是可以求得奇点附近邻域平均值上的解，这称为弱解。NS方程的强解到现在还没有得到解决（即NS方程是否处处有解），这正是千禧年大奖难题之一。可是，Leray的提法，到现在即没有被证明，也没有被证否。“Jean Leray's conjecture concerning the appearance of singularities (blowing up) in 3-dimensional turbulent flows has been neither proved nor disproved.”

有专家评价，Leray的思想超前了我们80多年，但是现代人学习他的工作，仍然觉得他的思维那么独特、那么先进。由于Leray主要在NS方程二维和三维NS方程弱解方面的工作，他获得了1979年的沃尔夫数学奖。

Leray的弱解概念，是我们今天的CFD方法计算结果可以作为NS方程的解的理论基础。否则，我们无法说明我们的CFD模拟结果就是NS方程的解。

8. 窦华书的能量梯度理论(Dou 2004; 2006; 2011; 2021;2022; Dou and Khoo 2010,2011):

Dou和合作者提出了能量梯度理论（Dou 2004，2006，2011，2014，2021，2022；Dou et al. 2008；Dou and Khoo 2010，2011）。（1）根据能量梯度理论，湍流被认为是由流场中总机械能梯度的不均匀分布及其与扰动的相互作用引起的。与流线方向垂直的总机械能的梯度能够放大扰动，而沿流线方向的总机械能量的梯度（等于沿流线的能量损失率）可以通过粘性摩擦起到稳定作用。流动的局部稳定性可以通过总机械能在两个方向上的梯度的比值来表征，此比值定义为能量梯度函数K（无量纲），它是流场的一个变量，实际上表达了一个局部雷诺数，或者叫当地雷诺数（local Reynolds number）（Dou 2004）。（2）然后，从第一性原理推导出了能量梯度函数K，对自然转捩，预测出了在临界条件，K与无因次扰动成反比关系，与湍流转捩的相关实验数据取得了一致（Dou 2011）。（3）再然后，对转捩流动，从NS方程推导出了NS方程的奇异性，而这正是湍流产生的核心机理，与实验一致（Dou 2021,2022）。

能量梯度理论是关于湍流产生与湍流转捩的理论，解决了湍流最基本的问题，进而也是完全发展的湍流维持的理论。湍流转捩的准则可以表达为：湍流转捩（湍流产生）的充要条件是能量梯度函数K为无穷大; 或者，湍流转捩（湍流产生）的充要条件是Navier-Stokes方程出现奇点，速度发生间断u=0。据此得出，在转捩流动和湍流中，Navier-Stokes方程不存在全局域上的光滑解（Dou 2021）。这些结论从作为泊松方程形式的Navier-Stokes方程的分析中得到了再次证明（Dou 2022）。这些结果为千禧年大奖难题之一，纳维-斯托克斯方程的存在性与光滑性的问题，给出了正确的答案。

能量梯度理论预测了在湍流转捩的临界条件，出现了奇点，速度发生间断u=0，引起湍流猝发，理论与实验取得了一致。能量梯度理论解释了湍流转捩过程及湍流中的诸多流动现象，如湍流猝发，间歇性，拟序结构，压力波的产生，湍流旋涡产生，旋涡拉伸，涡量增长，扰动对转捩的临界条件的影响机理，能量是怎么从平均流动向湍流脉动传递的，等等，这是以前的任何理论都做不到的 [1-11]。对所有的湍流，不管起始条件如何，奇点是通向湍流的唯一路径。

由于湍流转捩和湍流都是由NS方程同一个方程所描述，所以湍流转捩的机理和完全发展的湍流的机理是相同的。那么，能量梯度理论可以同时描述湍流转捩和完全发展的湍流，湍流转捩是由于NS方程的奇点产生所引起，而完全发展的湍流是由大量NS方程的奇点的产生所维持。现在，用于工程应用上预测层流到湍流转捩的“间歇因子gama方法”正是基于这样一个原理。转捩流动与完全发展的湍流的主要区别，只是奇点的数量不同而已，而“间歇因子gama”代表了这样一个奇点数量的变化。现在，用奇点来解释湍流，无论是数学上还是物理上，简直是太完美了。

备注：Leray（1934）所定义的奇点与窦华书（2021）所定义的奇点，不是一回事, 参考文献 [9]。Leray的奇点是猜测，NS方程中有可能会出现速度无穷大的点，发生blowing up，是否会出现这类奇点，没有得到数值验证，更没有实验验证（极有可能是不可能的事）。Dou的奇点是流场中速度发生瞬时间断u=0，压力出现峰值，涡量也会由此出现峰值，这类奇点已经得到数值计算验证和实验验证，即湍流猝发。

Leray的奇点，只是猜想，没有理论推导，没有数值验证，没有实验验证。Dou的奇点，从NS方程精确推导出来，有数值验证，有实验验证（negative spike; or burst），与湍流产生测量结果一致。Leray和Dou都认为是奇点导致了湍流，而在奇点不存在规则解。从而，根据奇点存在与否判断NS方程的正则性。

综上可见，自1941年以来的80多年，就再没有湍流理论出现。直到最近20年才有，窦华书的能量梯度理论的建立，解决了湍流产生/湍流转捩的物理问题，并证明了NS方程不存在全局域上的光滑解。最近研究发现，窦华书的根据能量梯度理论得到的奇点导致湍流产生的理论是一个普遍适用的理论，无论壁面流动、尾迹还是射流流动，也是唯一的与所有实验数据符合一致的理论。

参考文献

1. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.  https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7   (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Energy Gradient Theory of Hydrodynamic Instability, The Third International Conference on Nonlinear Science, Singapore, 30 June-2 July, 2004. 链接如下： https://arxiv.org/abs/nlin/0501049 

3. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 ; https://arxiv.org/abs/1805.12053v10 

4. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339. https://doi.org/10.3390/e24030339 

5. 窦华书，我是怎样创立能量梯度理论的？https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA

6.新书访谈，专访《湍流的起源—能量梯度理论》作者窦华书教授，Springer。https://mp.weixin.qq.com/s/unFxknnohDUwp11150OfZw

7.窦华书教授成功破解了百年湍流难题，中国教育日报网。http://chinaedutech.com/dfjy/2022/1117/1327.html 或者 

https://mp.weixin.qq.com/s/1nh4SLMaLHC511d8uDeI8Q

8.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm  或者  https://mp.weixin.qq.com/s/QfC9d4Cn5ujzUMltyhvQyg

9. 窦华书，湍流是怎样产生的? 最新研究进展！https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1341235.html 或 https://mp.weixin.qq.com/s/1HWD7ZR3tB69uyfl4JCZYg

10. 窦华书，一个力学公理的建立揭开了湍流的秘密。 https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1383011 或  https://mp.weixin.qq.com/s/LhMV3gRmhu0aP75vt9myIQ

11. 窦华书： Navier-Stokes 方程可以描述湍流吗？  https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1386583 或者  https://mp.weixin.qq.com/s/Djq14TpgrvKHbKXvRnPftw