[敬请读者注意] 本人保留本文的全部著作权利。如果哪位读者使用本文所描述内容，请务必如实引用并明白注明本文出处。如果本人发现任何人擅自使用本文任何部分内容而不明白注明出处，恕本人在网上广泛公布侵权者姓名。敬请各位读者注意，谢谢！

哲学逻辑(3) – 量子逻辑学(Quantum Logic) 

程京德

何谓“量子逻辑学(Quantum Logic)”？

“逻辑学是一门研究论证与推理之正确性的基础性学问，其目的为建立和建全用于判断各种论证与推理之正确性的一般标准。这里，所谓‘推理’，是指从若干前提经过一系列有序步骤得出结论的过程，其每一个步骤便是一个从若干前提得出一个结论的‘论证’”[1]。 

“在一般语境下被正确地使用时，作为一种抽象性质或者评价标准，‘逻辑’通常可以指的是陈述（请注意，并非思维！）的清晰性、合理（合规）性、或者一致（无矛盾）性；作为一种具体事项，“逻辑”通常又可以指某个客观逻辑规律、某个推理过程或者推理场景。”[2] 

“逻辑学”出自于对各种具体场景“逻辑”事例的系统性研究，以区分正确的“逻辑”和不正确的“逻辑”，以及寻求一般性判别标准[1-3]。

所以，如果从“逻辑学”的观点来看，那么被称为“量子逻辑学(Quantum Logic)”的，应该是以关于量子力学现象的论证与推理为研究对象，为关于量子力学现象的论证与推理之正确性建立一般标准的学问/学科。英国哲学家哈克将“Quantum Logics”划入“deviant logics”，作为其一个分支[4]。

但是，遗憾的是，尽管最早的“量子力学的逻辑(the logic of quantum mehcanics)”可以追溯至1936年（比许多现代哲学逻辑早很多），目前，似乎还没有真正可以满足上述定义的“量子逻辑学(Quantum Logic)”存在[5]（详见下文）。

“量子逻辑学”的必要性

“‘逻辑学’是所有科学的基础。任何科学探索发现及其验证都必然需要正确的论证和推理。因为在科学探索的过程中，最终的科学发现还是未知未被认识的，所以，尽管科学探索发现及其验证中的论证和推理通常是依赖于具体领域具体内容，但是，论证和推理的正确性判别标准不应该是依赖于具体领域具体内容的，否则就有可能陷入循环论证。正是因为‘逻辑学’能够为论证和推理提供最一般的、不依赖于具体领域具体内容的正确性判别标准，所以才被视为所有科学的基础。”[3] 

量子力学，作为一门科学，其研究当然也必须得到“逻辑学”的支撑。毫无疑问，量子物理学家们同其它物理学家们一样，在对量子物理现象进行论证和推理的时候，当然会用到“逻辑”及“逻辑学”，亦即，元逻辑，应该是经典逻辑。那么，为什么量子力学还需要“量子逻辑学”呢？这是因为，量子力学由于其波粒二象性、不确定性原理、量子纠缠等等特征，诸多量子现象（及悖论难题）很难仅用受限于基本假设和第一原理（经典抽象、弗雷格假定/外延原理、两值原理、经典有效性）[6]的经典逻辑来解释和支撑，所以需要建立量子力学的目标逻辑，“量子逻辑学”，用于支撑量子力学中具有特殊性的论证和推理。

另一方面，如同众所周知，现代电子数字计算机的通用性和局限性，本质上来自于从经典数理逻辑中孕育出的经典计算理论。可以想象，在研中的各种量子计算装置如果要具备通用性（作为工业产品的计算工具之必须）而成为真正的“量子计算机”，那么同样也需要基于“量子逻辑学”的“量子计算理论”的支撑。

各种“量子力学的逻辑(Logics of Quantum Mechanics)”

世界上最早出现的“量子力学的逻辑(The Logics of Quantum Mechanics)”，是由美国数学家伯克霍夫(Garrett Birkhoff, 1911-1996)和冯诺依曼(John von Neumann, 1903-1957)于1936年提出的[7]。

伯克霍夫和冯诺依曼的先驱工作是，将量子物理系统 G 的状态表达（对应）为相空间希尔伯特函数空间 Σ，使得作为 G 的观测空间之子集的、G 的任何实验命题都被表达（对应）为 Σ 的一个封闭线性子空间；于是，G 的观测空间子集之间的包含关系就被表达（对应）为 Σ 的封闭线性子空间之间的（偏序）包含关系，并且被作为相应实验命题之间的逻辑蕴涵关系，任何实验命题之否定的数学表达是该命题之数学表达的正交补，结果形成一个定义在希尔伯特函数空间 Σ 上的代数格（非分配的正交补格）[7]。伯克霍夫和冯诺依曼得出结论：“我们得出结论，量子力学的命题演算与抽象射影几何具有相同的结构(we conclude that the propositional calculus of quantum mechanics has the same structure as an abstract projective geometry.)”[7]。

追随伯克霍夫和冯诺依曼的先驱性工作，其他一些量子物理学家或者逻辑学家补充和修改了伯克霍夫和冯诺依曼的工作结果，提出了其它的代数格来作为量子力学命题演算的代数解释/结构[8-14]。尽管从伯克霍夫和冯诺依曼起，量子物理学家或者逻辑学家都主张，因为这些“量子力学的逻辑”都不能认可命题演算关于联言和选言的分配律所以都是非经典的，但是，笔者宁愿认为它们还是比较经典的（经典抽象、弗雷格假定/外延原理、两值原理、经典有效性），因为它们都基于两值原理和经典有效性。

这些“量子力学的逻辑”，从构建方法论来说，都是从对量子物理系统的抽象表达出发，基于经典数理逻辑同样的基本假设和第一原理，去尽量对应或符合经典命题演算。但是，与经典力学不同，量子力学本身的波粒二象性、不确定性原理、量子纠缠等等特征，原本就不是可以非黑即白地定义清楚，不是可以用二元真值函数刻画清楚的。所以，这些“量子力学的逻辑”从建立之初就并非完全合乎量子世界的道理，怎么可能为量子力学提供逻辑学原理上的支撑，被用来顺利地解决量子世界的难题？那些调查代数格各种性质的研究论文，与其说是在研究“量子力学的逻辑”，还不如说是在玩“代数游戏”。

一个基本事实是，伯克霍夫和冯诺依曼的“量子力学的逻辑”以及后续衍生出的各种“代数格量子逻辑”都原样保留着经典数理逻辑中的条件句表达，实质蕴涵，将其定义为代数格中的偏序关系。只要一个“代数格逻辑”以偏序关系来表达条件句/蕴涵关系并且以正交补的正交模格作为其代数解释/结构，那么它就一定满足关于蕴涵悖论的Sugihara标准，因此一定是一个具有蕴涵悖论的逻辑系统[15-17]。在这一点上，“量子力学的逻辑”与其它作为经典数理逻辑保存扩张的非经典逻辑一样[15-17]。

但是，也有一些比较非经典的“量子力学的逻辑”，比如：準协调的、直觉主义的、三值的、多值的、 模糊的“量子力学的逻辑”[11-14]。但是，这些“逻辑”似乎也还不能被称为“量子逻辑学”。

建立“量子逻辑学”的方向

自从伯克霍夫和冯诺依曼的先驱性工作开始，数学家、逻辑学家、量子物理学家们都是从量子物理出发来建立“量子力学的逻辑”。笔者认为，我们还可以有相反方向的方法论：从“最合适”的逻辑系统出发，根据量子物理的需要，来改造现有的逻辑系统而建立新的逻辑系统以使其能够满足作为“量子逻辑学”的必要条件。

那么，什么是“最合适”的逻辑系统？笔者认为是排除了蕴涵悖论的相关逻辑[15-17]。从四值语义相关逻辑[18,19]出发，以四个真值对量子力学实验命题给与解释和真值定义，应该远比基于两值原理的“量子力学的逻辑”有更丰富的手段。作为验证手段，可以先选择那些量子力学悖论难题[20]作为逻辑分析对象，给出它们新的逻辑解释。另外一个需要注意的点是，考虑来自量子计算方面的需求[21]。

更进一步的研究探讨，超出本科普文章范围了。 

参考文献

[1] 程京德, “逻辑学是什么？” 微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月25日。

[2] 程京德，“‘逻辑’与‘逻辑学’(1) -- 起源、定义、异同”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年10月12日；“‘逻辑’与‘逻辑学’(1) -- 起源、定义、异同（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年11月10日。 

[3] 程京德，“‘逻辑’与‘逻辑学’(4) – ‘逻辑学’是怎样的一门科学？”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年11月5日。

[4] S. Haack, “Philosophy of Logics,” Cambridge University Press, 1978; 中译：罗毅 译，张家龙 校，“逻辑哲学”，商务印书馆, 2003. 

[5] 程京德，“‘逻辑’与‘逻辑学’(5) – ‘逻辑学’的理性或经验性（‘量子力学的逻辑’为例）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年11月25日。

[6] 程京德，“为什么在逻辑学中存在有如此众多的不同逻辑系统？”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月28日。

[7] G Birkhoff and J. Von Neumann, “The Logic of Quantum Mechanics,” The Annals of Mathematics, Vol. 37, No. 4, pp. 823-843, 1936. 

[8] K. Svozil, “Quantum Logic,” Springer, 1998. 

[9] M. Redei, “Quantum Logic in Algebraic Approach,” Kluwer, 1998. 

[10] M. Redei, “The Birkhoff-Von Neumann Concept of Quantum Logic,” in K. Engesser, D. M. Gabbay and D. Lehmann（Eds.), Handbook of Quantum Logic, Elsevier, pp. 1-22, 2009. 

[11] M. L. D. Chiara and R. Giuntini, “Quantum Logics,” in D. M. Gabbay and F. Guenthner (Eds.), “Handbook of Philosophical Logic, 2nd Edition,” Vol. 6, pp. 129-228, Springer, 2002. 

[12] A. Wilce, “Quantum Logic and Probability Theory,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Stanford University, 2002-2021. 

[13] G. Cattaneo, M. L. D. Chiara, R. Giuntini, and F. Paoli, “Quantum Logic and Nonclassical Logics,” in K. Engesser, D. M. Gabbay and D. Lehmann（Eds.), Handbook of Quantum Logic, Elsevier, pp. 127-226, 2009. 

[14] C. de Ronde and G. Domenech, “Quantum Logic in Historical and Philosophical Perspective,” Internet Encyclopedia of Philosophy. 

[15] 程京德，“现代逻辑之未来 – 从相关逻辑到量子逻辑（纲要）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年7月25日。

[16] 程京德，“悖论集锦(2) – 作为逻辑学中最大难题的蕴涵悖论问题（上）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年3月18日；悖论集锦(2) – 作为逻辑学中最大难题的蕴涵悖论问题（上）（修订增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2023年4月11日；“悖论集锦(2) - 作为逻辑学中最大难题的蕴涵悖论问题（下）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年4月18日。

[17] 程京德，“强相关逻辑及其应用（上）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年6月18日；“强相关逻辑及其应用（中）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年8月8日；“强相关逻辑及其应用（下）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年8月12日。

[18] G. Restall, “Four Valued Semantics for Relevant Logics (and Some of Their Rivals)”, Journal of Philosophical Logic， Vol. 24, pp. 139-160, 1995. 

[19] E. D. Mares, “‘Four Valued’ Semantics for Relevant Logic R,” Journal of Philosophical Logic， Vol. 33, pp. 327-341, 2004. 

[20] Y. Aharonov and D. Rohrlich, “Quantum Paradoxes: Quantum Theory for the Perplexed,” Wiely-Vch, 2005. 

[21] M. L. D. Chiara, R. Giuntini, R. Leporini, and G. Sergioli, “Quantum Computation and Logic,” Springer, 2018. 

微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”