一个光滑的层流流动可以在一定的条件下转捩为混沌的湍流流动，这2种流动状态有完全不同的流动结构和流动特性，从物理学分析这应该是一种临界现象。一个湍流理论或者一个物理解释除了能够描述此现象本身以外，都必须能够合理解释这种临界现象的机理及发生条件。更重要的一点是，理论必须与实验取得一致性。如果不能与实验一致，理论的正确性就受到怀疑。如果存在一个反例，这个理论就是错误的，起码是存在重大缺陷。

 表一：湍流产生的物理机理汇总

图1 流场中的两类奇点。 (a) 流体速度随时间而加速，进而变为无界 Blowing up (1934年Leray猜想)； (b) 流体速度发生间断 Discontinuity (2021年窦华书根据自己所提出的能量梯度理论所发现 [1]，2022年用泊松方程分析方法再次发现 [2])。

过去100多年以来，许多著名科学家和科学工作者，都对湍流产生的物理机理进行了研究，并提出了相关的理论及机理，见表一。表中第1至第6行，都是基于小扰动的线性稳定性理论，即Orr-Sommerfeld方程。关于湍流转捩，线性稳定性理论与大多数实验结果不能取得一致。虽然此理论有时对预测线性失稳是正确的，但是它不能用来预测湍流转捩，因为湍流转捩不是线性失稳引起的，线性稳定性理论没有反应物理上的湍流转捩这个临界条件。第7至第8行是人们经过前面多年研究，发现线性理论失败后探求的进一步的分析方法，试图用更符合数学及流动现象的理论来解释湍流，也是基于线性稳定性机理，结果也没能解释湍流的产生，也没有对湍流产生的临界条件进行研究及预测。主要原因是湍流实际上是非线性失稳导致的，而与线性失稳没有直接关系,见[4]。

表中第9行，前苏联著名物理学家诺贝尔奖获得者Landau（1944）提出了非线性稳定性理论，来解释湍流产生，由于此理论的可行性困难较大，一直没有得到广泛应用。此理论的一个重要缺陷，就是只从研究扰动幅值的增长来研究流动是否会失稳，以及湍流是否能够发生，没有对湍流产生的临界条件给出物理解释和探索。

表中第10行，法国数学家Leray（1934）提出了一个著名的猜想(conjecture)，流动中某个位置流体的流动速度有可能被不断加速，最后引起速度和动能unbounded (blowing up), 产生奇点(图1a)，导致湍流产生。近一百年来，许多研究者（主要是数学家）做了大量理论、计算和实验研究工作，到现在为止，也没有找到这样的Blowing up发生，但也没有否定这样的Blowing up会发生(Fefferman 2006)。Blowing up 这个术语在Leray所提的这个问题中特指的是对于流场中某个空间点，流体速度越来越快，进而速度趋向于无穷大。

目前，国际上许多数学家利用现代数学工具，正在为找到Euler方程(无粘流动)以及Navier-Stokes方程(粘性流动)的Blowing up而努力着(如普林斯顿大学和加州理工学院的众多数学家)。文献中过去报道过的，通过直接数值模拟(DNS)发现的Blowing up，多数被发现是数值错误或者非正确的预测(见Yao and Hussain 2020里的Comments)。表中第11行，最近英国剑桥大学应用数学和理论物理系课题组Moffatt and Kimura (2019)利用Navier-Stokes方程通过对涡管碰撞和相互干扰的研究，发现流场中的涡量会产生峰值，并认为虽然数学上的奇点没有发生，这种峰值可以认为是物理上的奇点。最近美国德克萨斯工业大学课题组Yao and Hussain (2020) 通过对vortex reconnection的进一步数值模拟发现，涡量最大值随Re增长的速率远远低于模型预测的指数增长率，说明流场中这种预测的物理奇点(Blowing up)也是不可能发生的。

表中第12行，著名实验物理学家、美国斯坦福大学教授Kline et al (1967) 通过流动可视化实验发现的边界层中的湍流猝发现象(Burst)，已经被后来的大量的实验所验证，特别是最近30年来发展起来的各种现代的快速采集技术及计算机数据处理。湍流猝发现象被发现是引起其湍流大尺度结构和间歇现象及其他湍流现象的主要原因。Kline et al (1967)的实验结果被公认为是湍流研究史上里程碑式的重大发现。

目前，还没有什么理论能够预测和解释湍流转捩过程及完全发展的湍流中的湍流猝发现象。

表中第13行，Dou (2021, 2022)根据Navier-Stokes方程，用理论方法精确预测了湍流中的猝发现象[1,2,4]。理论证明湍流猝发是由于流场内部流动速度间断所导致的Navier-Stokes方程的奇点发生所致(图1b)。速度间断导致Navier-Stokes方程的奇点发生是层流到湍流转捩的一个临界现象。而速度间断的出现必然是基本流动与扰动之间非线性干扰发展的结果，奇点的release导致了湍流的Burst。理论与大量实验结果取得了一致，包括Kline的实验结果。根据Navier-Stokes方程，进一步证明，无论什么情况下湍流发生，速度间断所引起的奇点是湍流发生的唯一途径。至此，湍流产生的物理机理得以澄清（表1中第11-12行的实验结果及理论）。并得出定理：湍流转捩/湍流产生的必要及充分条件是流场中出现Naver-Stokes方程的奇点（即速度发生间断）[4]。

需要指出的是，图1中的第一类奇点(Blowing up)，过去的研究结果是认为同时可以发生在粘性流动及无粘流动中（还没有得到证明）,请见Yao and Hussain (2020)里的讨论。根据窦华书（Dou 2004; Dou 2022）提出的能量梯度理论，第二类奇点（Discontinuity），只能发生在粘性流动中，不可能发生在无粘流动中（Dou 2022)。并因此得出结论：无粘流动中不可能产生湍流 [2,4]。

最后，就图一中给出的两类奇点来说，到目前为止，没有任何实验数据的迹象表明，湍流是由于第一类奇点引起的(Blowing up)。然而，大量的实验数据表明，湍流是由于第二类奇点所致的(Discontinuity)， 包括 pipe flow, channel flow, plane Couette flow, boundary layer flow, Taylor-Couette flow, grid turbuelnce, wake turbulence, jet turbulence 等等 [4]。

参考文献

1. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553.  https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 ;  https://arxiv.org/abs/1805.12053v10

2. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339.

https://doi.org/10.3390/e24030339

3. Fefferman, C., Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation, in The Millennium Prize Problems (eds Carlson, J., Jaffe, A. & Wiles, A.) 57–67 (Clay Mathematics Institute, 2006).

4. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.

https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7

（按此链接，在国内外许多大学的校园网上，可以直接免费下载全书）。

5. Moffatt, H. K., Kimura, Y., Towards a finite-time singularity of the Navier-Stokes equations. Part 2. Vortex reconnection and singularity evasion, J Fluid Mech., 870, 2019:R1

6. Yao, J., Hussain, F., On singularity formation via viscous vortex reconnection, J Fluid Mech., 888, 2020:R2