前面说了，大爆炸奇点与黑洞奇点虽然本性不同却也相似，这意味着可以将二者真正地联系起来——实现这个联系的，就是共形几何。（“共形”即conformal，过去学复函数论和流体力学时，它叫“保角”，角度不变，只是尺度变了——也就是平面几何里的“相似”。）

大爆炸是“各项同性过去奇点”，黑洞是“各向异性未来奇点”，前者的特征是Weyl曲率为零，Ricci曲率为无限大；后者则正好相反，Ricci为零而Weyl无限大。宇宙演化是熵无限增大的过程，也是Weyl从零到无穷大的过程，这体现了Weyl张量与熵的直观联系。关于初始奇点与终结奇点，彭老师20年前在《皇帝新脑》里就讨论过；关于Weyl曲率假设，彭老师与霍金也有过争论，见《时空的本性》。

那么，我们未来的高熵状态又如何能成为下一个世代的大爆炸（低熵态）呢？彭老师说：“在大爆炸的共形‘扩张’会将无限大的密度和温度降到有限的数值，而无限远处的共形‘收缩’会将零密度和温度提高到有限的数值。这正是令两者重叠的重新标度过程……”

牛津的Paul Tod为实现这个自然过程提供了数学依据。他证明，通过用一个随时间变化的函数（共形因子）来重新标度时空，初始的各项同性奇点是可以清除的。在共形的标度变换下（即与时空距离无关），我们其实感觉不到那个初始状态的时空曲面是什么，因而可以将它移到遥远的未来。彭老师通过一个“中间度规”来连接过去世代的度规（通过标度因子W）和我们世代的度规（通过标度因子ω）。向界面趋近时，W趋于无限而ω趋于零，两个因子“互为倒数”。有趣的是，那个共形因子ω所代表的“幽灵场”（phantom field），可以解释为新生的暗物质的原初形式，并担起初始引力场的自由度。

W趋于无限是与前世的暴胀相联系的，它使Weyl曲率在界面为零。但是，曲率在界面的法向导数不为零，这样就可以将“前世”的信息传给“后世”——导数的磁部分决定3维界面的共形曲率，而电部分则度量新生暗物质（由W描述）的非均匀性，那个非均匀性是受了前世引力波的轻轻的“冲击”（彭老师用的词儿是kick）。

那个给暗物质带来的冲击，将穿过界面到达我们世代的最后散射曲面（也就是开始产生微波背景辐射的曲面），在CMB中留下痕迹。什么痕迹呢？