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博文“谈蝉说生死”提及周作人《看云集》。“看云”二字来自唐·王维(701~761)诗句“行到水穷处,坐看云起时”。读诗之后又回味了30多年前学习“无穷”时的惊奇,因而略述几句,以为纪念。
1 自然数1、2、3、4、5、6 …… 一一数下去,没有穷尽。2、4、6、8、10 …… 是偶数,其余是奇数,当然都是无穷的。又,0 是印度人发明的,并不能算作自然数。
自然数乘以2 就是偶数,因而每一个自然数都能找到一个偶数与之对应,即自然数不会比偶数“更多”;当然偶数也不会比自然“更多”。就“无穷多”而言,偶数与自然数级别相等,称为“可列集”。集或集合就是具有某一性质东西(雅称元素)的全体。
有限个乃至可列个可列集的总合,其元素也是可列。可列集 A1、A2、A3、A4 ……
A1 ={a11,a12,a13,a14,a15,…… }
A2 ={a21,a22,a23,a24,a25,…… }
A3 ={a31,a32,a33,a34,a35,…… }
A4 ={a41,a42,a43,a44,a45,…… }
………………………………
所有元素可按下标之和逐步列出
A={a11,a12,a21,a13,a22,a31,a14,a23,a32,a41,a15,a24,a33,…… };
集合An的第m 元素anm 列于第(n + m -1) (n + m -2)/2+m位.
有理数是自然之比值。若记anm= n/m,则每一个正有理数对应于无限个anm,而后者可列,有理数的全体当然也是可列的。需要知道,有理数之平均值还是有理数,因而任意两个有理数之间有无穷个有理数;而全部有理数竟可以按顺序一一排列出来,竟与自然数同等“(无穷)多”。这是何等地令人惊奇啊。
2 古希腊的毕达哥拉斯(约前580-前500)发现直角三角形两直角边平方之和等于斜边之平方,即勾股定理。直角边为3和1时,斜边平方为10。以反证法说明该斜边不是有理数。
若斜边是有理数,则有 (n/m)^2=10,当然,自然数n和m不能都是10 的倍数,不然就先进行约简。于是,n^2=10 m^2;n 得是10 的倍数,n =10 k;也就有10 k^2=m^2。这必然要求m也是10 的倍数,与前述条件不符。顺便说一句,毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现,任何有理数的平方都不可能等于2;该认识不能得到老师的认可,又因将此传到学派之外而被判罪溺死。其时中国的孔子大约已经五十而知天命啦。
有理数并不是数的全部。我们要问,所有的数能与自然数对应而可列吗?不能!仍反证法说明。0~1之间的数可以小数表示,假设其可列
B1 =0. b11b12b13b14b15……
B2 =0. b21b22b23b24b25……
B3 =0. b31b32b33b34b35……
B4 =0. b41b42b43b44b45……
……………………………
若bnn ≠ 5令bn=5,若bnn=5令bn=4;则小数B=0. b1b2b3b4b5…… 不在上述排列之中,因而原假设不能成立。0~1之间的数为不可列,其比有理数要“无穷得多”。
3 为叙说便利,将a ≤ x ≤b的数x全体记为闭集 [a, b];而不包含端点则记为开集 (a, b)。基于一一对应的观点,由y=3x知道[0, 1]与[0, 3] 的数或点具有相同数量;由y=tan(180 x -90) º知道[0, 1]与所有数或整个数轴上点具有相同数量。局部并不少于全体!
若建立直角坐标系,边长1的正方形内点可用一对小数表示。
X=0. x1 x2 x3 x4 x5 ……
Y=0. y1 y2 y3 y4 y5 ……
其与小数C =0.x1y1x2 y2x3y3 x4y4 x5y5 ……对应,即平面内每一个点(X, Y)都有不重复的[0, 1] 数C与其对应;因而正方形内点不会多于线段[0, 1]内的点,至于少当然也是不会的!很容易说明,线段[0, 1]内的点与整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多”。
4 在介绍“最惊奇”的无穷之前,先简单说一下数的进制。时间之外,我们用十进制,逢十进位:34表示3个十、4个1;而0.54则表示5个“十分之一”、4 个“十分‘十分之一’”。计算机以线路之通、断表示0、1,采用二进制。十进制的9写成二进制就是 1001;小数也可换成二进制,十进制0.25和0.75 写成二进制就是0.01和0.11。三进制则用0、1、2来表示数,并不用符号3。
将数集[0, 1] 挖掉中间三分之一,用三进制表示时所余两段是[0, 0.1] 及[0.2, 1]。方括号表明包含端点,而新增端点标为红色。再挖掉这两段中间三分之一,则所余为[0, 0.01] 和[0.02, 0.1] 及[0.2, 0.21] 和[0.22, 1];第三次挖后是[0, 0.001] 、[0.002, 0.01]和[0.02, 0.021] 、[0.022, 0.1]以及[0.2, 0.201] 、[0.202, 0.21]和[0.22, 0.221] 、[0.222, 1];依次挖除不止。显然,端点不会因挖除消失。最终整个[0, 1]被挖掉,留下称为康托尔尘集(1883)的无穷多个点。
对上述红色数字作“1改为0,2改为1”的变换,得 0.0,0.1;0.00,0.01,0.10,0.11;0.000,0.001,0.010,0.011,0.100,0.101,0.110,0.111;……。每组数字分别是1位、2位、3位……的二进制小数全体。这就是说,[0, 1]中每一个二进制数都在康托尔尘集中找到(无穷多个)对应点,因而点数不多于康托尔尘集,当然后者也不会更多。
总长为零的康托尔尘集与[0, 1]数集、整个平面、整个空间的点具有相同的“无穷多”;而尽管任意两个有理数之间有无穷个有理数,全部有理数却只是与自然数同等“(无穷)多”。说到无穷,真是不能想当然啊。
附录:
20年前用扑克牌算24。偶尔遇见些有趣的算例:如(13*7 + 5) / 4 和 (13*11 + 1) / 6 等。也曾主动作些研究,如7 * (3 + 3 / 7 ) 和 8 / (3 – 8 / 3 ) 可是在梦里想出来的啊。引入分数而在有理数范围内计算,思路开阔也就“生存空间”增加!自那以后就将“这算不出来”改口为“我算不出来”。文史研究“说有易,说无难”,真是这样呢。
意大利人L. Fibonacci (1170 – 1250)以兔子繁殖为例引入数列:
兔子月初出生,两个月整后即可每月生育一对,
其前十个及第20和30个的月底数是:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …, 6765, …, 832040, …
该数列可定义为:F(0)=0,F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n)
方程 q2=q+1的根q1=(1+sqrt(5))/2 和 q2=(1–sqrt(5))/2:
数列可表示为 F(n) =(q1n–q2n)/sqrt(5),abs(q2)<1可不予考虑,
F(n) 近似于公比q1=1.6180… 的等比级数,倍增时间1.44月。
为表示整数列竟引入无理数sqrt(5),得在实数范围内计算才行。
假设老鼠生育三胎后月底前死亡。前十个月及第20和30个的月底数是:
1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, …, 1278, …, 58425, …,
满足 S(n+3) =S(n+2) +S(n),
老鼠有初生及1~3月四龄,在n+2月底的数量分别为s0,s1,s2,s3。
因s3 在n+3月生育后死亡,对总量增加没有贡献;而s0 尚不能生育。
S(n+3) 比S(n+2)的增加量是s1+s2。
s1 就是n+1月的初生鼠;而s2是n+1月的1龄鼠、n月的初生鼠。
n+1月初生鼠数量s1 就是n月1~3龄鼠数量,与n月的初生鼠数量即s2 之和等于n月总量S(n)。
特征方程 q3=q2+1;记q = r +1/3即r3– r/3– 29/27=0;
拆分r= x+y,x3, y3= [29/27±sqrt(31/27)]/2
实数三次方根为X=1.02370…, Y=0.10854…。记ω=(–1+i*sqrt(3))/2,
q1= X+Y+1/3 =1.46557…,q2= Xω+Yω2+1/3,q3= Xω2+Yω+1/3
S(n) = aq1n+bq2n+cq3n满足递推关系,由S(0)=1, S(1)=1, S(2)=1 确定a=0.61149…
q2和q3为共轭复根,由维达定理知模长为sqrt(1/q1)=0.82603…< 1;
S(n) 近似为公比q1= 1.46557… 的等比级数,倍增时间1.81月。
计算表明,S(n) 就是 aq1n 的整数取值。
(本段内容摘自笔者未完成的文章,相关分析计算为自己所做)
为确定整数列的通项公式竟引入虚数i,需在复数范围内计算才行。
解决问题可能需要在高于问题的层次上进行;陷入困境也得登高望远才能寻找出路。
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