0   如果不考虑摩擦，则两端支承于壁面的细杆在重心高度达到极小值时稳定平衡。抛物线是距焦点P和准线的距离相等的点轨迹。细杆AB只要长度L大于2p就可以通过焦点；中点M距准线的距离为 (PA+PB)/2；因三角形两边之和PA+PB大于第三边L，知道细杆通过焦点时重心最低，也就是稳定的平衡位置，而水平放置是不稳定平衡。杆长小于2p则只能在焦点下方的水平位置平衡。细杆重心的稳定平衡集在焦点处杈式分岔，为焦距p/2 的抛物线。该问题的极坐标下分析是高中数学的内容。

壁面总是具有摩擦的。摩擦阻碍相对运动，是一个被动因素，作为支承反力而具有不确定性；通常所说摩擦力等于正压力乘以摩擦因子是滑移时才能达到。以下分析设细杆右侧A 不低于左侧B，且抛物线焦距p为1，即长度参数均以p无量纲化。

1   在自身重力作用下细杆有三种滑动情形：焦点下方的顺时针运动①，即B点向下而A点向上；焦点上方的逆时针运动②；两端同时下滑③。后者低端B处法线在细杆的下方，因而细杆与法线一致即垂直壁面是相应区域的边界H。

具体给出长度L=8细杆的位置。其通过焦点时倾角θ₀为60^o；倾角为θ_H=15.65^o以及56.90^o时低端B垂直于壁面，而右端A则达到最高和最低点，两者之间即区域③内细杆低端与下方壁面的夹角大于90^o，即使摩擦平衡，扰动也可使其失去支承而滑脱。

不同长度细杆的中点轨迹和运动方式以及无摩擦时平衡集。杆长小于L_h=3*sqrt(3)时，则不存在整体向下即两端同时下滑的可能。

2    摩擦力达到摩擦锥的边界是平衡的临界状态。设摩擦因子μ=tanφ，φ为摩擦角，则基于抛物线的法线可以确定细杆两端的摩擦锥左、右界斜率；对前述三种运动趋势，可以分别确定相应的细杆倾角θ₁、θ₂和θ₃。摩擦角φ为30^o和15^o时，不同细杆长度的计算结果在下图给出。细杆无摩擦时稳定平衡的倾角θ₀以及整体下滑区域边界的倾角θ_H，也在图中绘出。

细杆在θ₂、θ_H及θ₃之间的区域Ⅳ，不能依靠摩擦而避免两端同时下滑；不过，若先放置低端B并阻止滑动后再放置高端A (实际操作时可稍稍下压)，细杆也可在A端向下、B端向上的摩擦作用下平衡，因而称为半平衡；但扰动之后下端就会失去支承，即摩擦平衡是不稳定的。

不同平衡状态的细杆中点轨迹在下面给出，相关符号的含义与上图同。各种极限状态的讨论参见论文。

抛物线壁面光滑时细杆中心的平衡集在焦点处发生杈式分叉，而摩擦使“杈”具有了宽度；杆长、倾角和摩擦系数不同，细杆可具有不平衡、稳定或不稳定的平衡和摩擦平衡等多种状态。

3  《辞海》2000版缩印本 570页的条目：“力学 物理学的一个部门。研究宏观物体机械运动规律及其应用的学科”；而2010年版彩图本1352页 则删除红色文字，在“学科”前添加“一门”二字。这样的解释似不够准确。笔者给出如下定义和解释http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-747329.html：

力学以物理为基础、以数学为工具，研究物体的受力与运动、变形和破坏之间的关系，以及电、光和热等因素对该关系的影响。力学具有科学和技术的双重特征，是独立于数学和物理的一级学科，已成为天文、地质、机械、建筑、水利等众多学科的基础。

力学问题明确而具体，物理原理清晰而简单，数学计算复杂而烦难。

尤明庆. 抛物线壁内细杆的摩擦平衡分析.力学与实践, 2017, 39(4): 359-364.

尤明庆. 均匀细杆在光滑圆锥曲线壁内的稳定平衡分析. 力学与实践, 2016, 38(2):186-188