物体的运动与一些阀值有关，因而完全对称的周期扰动可以引起单向运动而产生不对称的结果。

1  空间尺度的阀值

黄豆和大米均匀混合放在圆桶里而上下振动，部分黄豆和大米位置发生变动，出现一些不同尺度的自由空间。黄豆和大米在重力作用下都有向下运动的趋势，但大米尺度较小得到向下的几率较高，最终体积较大的黄豆全部到达大米的上部。相关现象是容易理解的。重力、扰动和空间尺度是系统的三个因素。

戈壁学名为砾漠，多在山前地区由洪积-坡积物组成的倾斜平原，地表覆盖着大小砾石和粗砂，而下方只有沙土全无砾石，如哈密至额济纳的黑戈壁。初期风力会将上方细粒泥土吹走；此后温度升高砾石和沙土整体向上位移，温度降低时砾石和沙土体积减小所形成的自由空间尺度较小，将被微小的沙土充填，而尺度较大的砾石将难以降低到原位；历经数以万年的地质时间砾石全部到达地表。远处吹来的沙尘降落后也会因雨水充填到砾石缝隙再向下移动。

以上两图及相关的一段文字摘自“单之蔷．亚洲的心脏是戈壁．中国国家地理，2007,(10): 90-121”。特此致谢

与此类似，水结冰之后体积膨胀，而融化时泥砂因空间原因易于向下充填空隙；因而周期性冻融将引起河床沉积物的分选。借旅游说些没有公式的力学 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-1063810.html

2  摩擦力的阀值

   摩擦力阻碍相对运动，其上限与正压力成正比；相对运动未发生之前，摩擦力大小由力平衡条件确定；若存在多个摩擦力则成为静不定问题，系统可在状态参数的一定区域内平衡。摩擦约束与铰支、固支不同，其反力需考虑加载历史，即加载、卸载时摩擦力大小和方向都会不同，除非系统处于失稳的临界状态。

对称斜面支承刚性直杆，不同倾角下的重心M 轨迹为椭圆：水平位置最高M₀，斜靠在平板上时最低 M₁或 M₂ ，没有摩擦时细杆在水平状态是不稳定平衡；直杆重心的高度差异随着支承平板的坡度减小而减小。请参阅“尤明庆. 摩擦作用下直杆在对称斜面间的稳定平衡分析. 力学季刊，2016,37(2): 381-388”

下面讨论支承板倾角变化时处于稳定平衡状态的直杆姿态。为简单起见，假设支承板始终保持对称，且运动速度缓慢，直杆处于准静态而不必考虑其速度和加速度。

支承板倾角β增加时，直杆两端将受到压缩力R和竖直向上的力W/2，对其进行力分解，即可得到支承板对杆端作用力的法向分量N_A和N_B以及切向分量即摩擦力T_A和T_B，有

摩擦力与正压力的比值达到摩擦系数则开始滑移。基于上面公式，只要直杆不是水平状态，那么两端不会同时达到摩擦力极限值而滑移。高端A会优先达到向上滑移的条件，从而使直杆倾角θ增大。支承面对称地增大倾角，即使直杆原始处于水平状态，两端也不会平行地向上移动，总有一端摩擦稍大而保持静止，使系统丧失对称状态。

杆端A向上滑移时有T_A=N_Atanφ，即R cos(β–θ+φ) =(W/2) sin(β+φ)；据此可求得系统中载荷参数。需要说明的是，若β–θ+φ=90^o则出现摩擦自锁，支承面倾角β不能继续增大。

支承板倾角β减小时，直杆两端将受到拉伸力R和竖直向上的力W/2，进行上述分析后可知，高端将保持固定而低端向下滑移，即两端距支承板底端距离的差异增大。这样直杆能够获得更低的重心位置。若直杆高端据支承板底部距离大于其长度，则在支承板坡度减小过程中一定会失去平衡：滑到底部或跳跃到一侧板面上。

直杆倾角θ较大时重心位置较低，因而支承板转动时直杆必然单端移动以得到较大倾角。处于稳定平衡状态的直杆，支承板倾角作微小的周期性变化，则直杆高端间断地向上而低端间断地向下，倾角θ持续增大而重心降低，最终将失去稳定：滑到底部或跳跃到一侧板面上。支承斜面处于振动环境，那么依靠摩擦平衡的跳板之类一定会失去稳定；对相关工程构件的安全状态需要保持谨慎。

台阶若略向外倾斜，上面条石会因热胀冷缩，利用摩擦力的阀值 而逐步向下蠕滑，十年的时间移动量就可达到3~4 cm。

谁移动了台阶上的条石http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-764612.html。

基于同样的原理，平缓坡面上的块石也会因热胀冷缩而向下运移形成“石河”。 

3  结语

周期性扰动引起单向运动的事例还有很多。例如，模仿鱼摆尾向前的船橹，在船后尾流区内左右推水，其效率高于在船侧向后划水的桨棹；人体前后摆动或左右扭动也可以驱动活力板向前滚动。

关于桨棹橹的注记http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-827335.html

活力板的力学原理http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-763153.html

1  尤明庆. 周期扰动引起的物体单向运动. 力学与实践，2010, 32(4)：117-118

2  尤明庆. 均匀细杆在光滑圆锥曲线壁内的稳定平衡分析. 力学与实践，2016,38(2)：186-188.

3  尤明庆. 抛物线壁内细杆的摩擦平衡分析. 力学与实践，2017, 39(4): 359-364

4  尤明庆. 摩擦作用下直杆在对称斜面间的稳定平衡分析. 力学季刊，2016,37(2): 381-388