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相关逻辑 (1) - 背景和前史 

程京德 

自20世纪50年代起至今，相关逻辑(Relevant/Relevance Logic)已经发展成为哲学逻辑中一个非常重要的分支。笔者主张，相关逻辑必将成为支撑智能科学及人工智能技术的统一基础理论之逻辑基础。本系列文章将全面介绍相关逻辑及其应用。

相关逻辑之背景

“逻辑学是一门研究论证与推理之正确性的基础性学问，其目的为建立和建全用于判断各种论证与推理之正确性的一般标准。”[1] “逻辑学是最最重要的学问，没有任何其它学问比逻辑学更重要，因为逻辑学是任何其它学问之基础。”[2] “形形色色、多种多样的现代哲学逻辑系统，都是其创立者从某个哲学观点出发来建立用于判断各种论证与推理之正确性的一般标准的结果，不同的标准当然导致不同的逻辑系统。”[3] “从逻辑学的角度来说，条件句的必不可少、不可或缺是因为它被用于任何一种论证形式（演绎、归纳、溯因）当中，而各种形式的论证是我们人类所有文化活动中所必须的。”[4] “只要任何逻辑系统中被发现有与我们人类思维直觉相悖的‘悖论’问题，那么，我们就应该并且也必须去解决它们，这是逻辑学作为最最基本的规范性学问义不容辞的‘学科责任’！” [5] 

从古希腊时代至今，准确清晰地定义“条件句”概念和在逻辑系统中正确地表达“条件句”概念，避免各种“蕴涵悖论”，就一直是逻辑学中重要的核心问题 [4-6]。

“条件句”概念在我们人类文化中至关重要，但是时至今日却仍然没有一个让各个领域学者们一致认可的准确清晰定义，各类逻辑系统均对其之表达有着不同的观点和形式，形式化的经典数理逻辑系统和经典模态逻辑系统中都存在有被称为“蕴涵悖论”的、与我们人类日常思维直觉相悖的逻辑定理。因此，当然就有思想敏锐、责任感强烈的逻辑学家/哲学家们持续不断地努力试图解决这个难题。这就是相关逻辑创生的历史背景。

相关逻辑之前史 

德国逻辑学家阿克曼(Wilhelm Friedrich Ackermann, 1896-1962)于1956年在“The Journal of Symbolic Logic”上发表了题为“Begründung Einer Strengen Implikation,”的论文，提出了用一个初始内涵联结词“Strengen Implikation (Rigorous Implication，严密蕴涵)”来表达和刻画条件句概念/关系的思想，并提出了一个公理化逻辑系统（第一个完整的相关逻辑系统）π’来刻画“严密蕴涵”（以及其它逻辑联结词）的性质/行为，是相关逻辑的创始者 [7,8]。[详细的介绍请参阅本文的后续文章]

在阿克曼的工作之前，还有三位逻辑学家曾经发表论文，提出过“相当于”相关逻辑系统片段的逻辑系统[9-15]。但是，其中奥尔诺夫早在1928年的工作，直到1990年才被世界上相关逻辑学家们所知。

俄国（苏联）逻辑学家奥尔诺夫(Иван Ефимович Орлов, 1886-1936/1937)于1928年提出了一个逻辑系统，“相当于”相关逻辑系统 R 的关于蕴涵及否定的片段 [9,10]。奥尔洛夫为了“用符号形式表示命题之间的相关性(represent relevance between propositions in symbolic form)”[10]，公理化了如下的逻辑系统 [9,10,15]：

A –> not notA   [double negation introduction]     

not notA –> A   [double negation elimination]     

A –> not(A –> notA)   [contraposed reductio]     

(A –> B) –> (notB –> notA)   [contraposition]     

(A –> (B -> C)) –> (B –> (A –>C))   [permutation]     

(A –> B) –> ((C –> A) –> (C –> B))   [prefixing]     

A, A –> B => B   [modus ponens] 

这个系统“相当于”相关逻辑系统 R 的关于蕴涵及否定的片段 [9-15]。

奥尔洛夫的这些公理和规则没有明确地表达任何明晰的相关性概念，没有“相关地”或“相关于”运算符，而是一个刻画蕴涵和否定之应有性质/行为的公理系统。关于相关性，该系统告诉我们的是它排斥了什么，而不是它包含了什么。比如，下列两个公式在奥尔洛夫系统中都不是可证的: 

A –> (B –> B),  not(B –> B) –> A 。

这就使得他的逻辑系统有别于经典的和直觉主义的命题逻辑，因为如果“–>”被理解为经典和直觉主义逻辑的实质蕴涵关系，那么这两个公式在经典的和直觉主义的命题逻辑中都是可证的。然而，这两个公式都犯了一个明显的相关性谬误：主条件句的后件未必一定与前件有任何关系 [15]。

我国逻辑学家莫绍揆先生(1917-2011)于1950年[11]，美国逻辑学家丘奇(Alonzo Church, 1903-1995)于1951年[12]， 各自独立地提出了一个逻辑系统，都“相当于”相关逻辑系统 R 的关于蕴涵的片段 [13-15]。 

莫绍揆先生于1950年提出的逻辑系统有如下公理模式 [11,15]：

A –> A   [identity]  

(A –> (A –> B)) –> (A –> B)   [contraction] 

A –> ((A –> B)–> B)  [assertion] 

(A –> B) –> ((B –> C) –> (A –> C))   [suffixing] 

丘奇于1951年提出的逻辑系统有如下公理模式 [11,15]：

A –> A   [identity]  

(A –> (A –> B)) –> (A –> B)   [contraction] 

(A –> (B –> C))–> (B –> (A –> C))   [permulation] 

(A –> B) –> ((C –> A) –> (C –> B))   [prefixing]  

细心的读者可能注意到了，笔者在上面分别介绍奥尔洛夫、莫绍揆、丘奇的逻辑系统时，都使用了“相当于…”的表达方式而没有用“就是”或者“等价于”的表达方式。现在对此做澄清说明。

如同我们在前面言及的：阿克曼提出了用一个初始内涵联结词“严密蕴涵”来表达和刻画条件句概念并构建了“严密蕴涵”的相关逻辑系统。而相关逻辑仍然包含有表达“否定”及“联言/选言”的真值函数逻辑联结词，经典数理逻辑中的真值函数联结词“实质蕴涵”仍然能够以在经典数理逻辑里完全同样的方式用“否定”及“联言/选言”来定义。所以，相关逻辑的形式语言是经典数理逻辑的形式语言的保存扩张。

如果将奥尔洛夫、莫绍揆、丘奇的逻辑系统中使用的逻辑联结词“–>”就视为经典数理逻辑中的真值函数联结词“实质蕴涵”，那么这三个逻辑系统各自都“就是/等价于”经典数理逻辑的片段（真子集），这也完全符合三位逻辑学家试图公理化出一个弱于经典数理逻辑的逻辑系统的初衷。正是在相关逻辑已经发展起来，相关逻辑学家们考查历史上的逻辑系统时，才发现如果将这三个逻辑系统中的蕴涵联结词视为“相关蕴涵”，那么它们“相当于”相关逻辑 R 的片段。

最后，还需要澄清的一件事情是，经典模态逻辑[16]并非相关逻辑的前身，与相关逻辑相互独立。这是因为：经典模态逻辑，无论是麦柯尔的早期工作还是刘易斯的工作，都是引入模态算子来表达“必然性”或“不可能性”，然后用模态算子来定义“严格蕴涵”，构建“严格蕴涵”的模态逻辑系统[16]。而相关逻辑则不同，阿克曼是直接引入一个初始内涵连接词“严密蕴涵”来表达“条件句关系”，构建相关逻辑公理系统来刻画出“严密蕴涵”应该具有的性质/行为 [7,8,15]。

参考文献 

[1] 程京德，“逻辑学是什么？”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月25日。

[2] 程京德，“逻辑学之重要性”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月27日。

[3] 程京德, “为什么在逻辑学中存在有如此众多的不同逻辑系统？”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月28日。

[4] 程京德, “条件句：逻辑学中的最核心概念及最大难题”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月29日。

[5] 程京德, “悖论集锦 (1)--逻辑学中也有悖论意味着什么？”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年1月20日；“悖论集锦(1) -- 逻辑学中也有悖论意味着什么？”（增补版），微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年1月25日。

[6]程京德,“悖论集锦 (2) -- 作为逻辑学中最大难题的蕴涵悖论问题（上）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年3月18日；“悖论集锦 (2) -- 作为逻辑学中最大难题的蕴涵悖论问题（上）（修订增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年4月11日；“悖论集锦 (2) -- 作为逻辑学中最大难题的蕴涵悖论问题（下）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2024年4月18日。

[7] 程京德, “相关逻辑的创始者 - 阿克曼”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年5月15日。

[8] W. Ackermann, “Begründung Einer Strengen Implikation,” The Journal of Symbolic Logic, Vol. 21, pp. 113-128, 1956 (in German). 

[9] I. E. Orlov, “The Calculus of Compatibility of Propositions,” Mathematical Collection, Vol. 35, No. 3-4, pp. 263-286, 1928 (in Russian). [= И. Е. Орлов, “Исчисление совмест-ности предложений,” Математический сборник, 35 (3-4): 263-286, 1928.] [Orlov’s work now is known as the earliest version of relevant logic, but it was known by the community of relevant logic from a report in 1990 by Došen.] 

[10] K. Došen, “The First Axiomatization of Relevant Logic,” Journal of Philosophical Logic, Vol. 21, 339-356, 1992. 

[11] S-K. Moh, “The Deduction Theorems and Two New Logical Systems,” Methodos, Vol. 2, pp. 56-75, 1950. [Moh’s work was known as one of the earliest versions of relevant logic before the work by Orlov was known by the community of relevant logic in 1990.] 

[12] A. Church, “The Weak Theory of Implication,” in A. Menne, A. Wilhelmy, and H. Angsil (Eds.), “Kontrolliertes Denken, Untersuchungen zum Logikkalkul und zur Logik der Einzelwissenschaften,” pp. 22-37, 1951. [Church’s work was known as another one of the earliest versions of relevant logic before the work by Orlov was known by the community of relevant logic in 1990.] 

[13] A. R. Anderson and N. D. Belnap Jr., “Entailment: The Logic of Relevance and Necessity,” Vol. I, Princeton University Press, Princeton, 1975. 

[14] A. R. Anderson， N. D. Belnap Jr., and J. M. Dunn, “Entailment: The Logic of Relevance and Necessity,” Vol. II, Princeton University Press, Princeton, 1992.

[15] G. Restall, “Relevant and Substructural Logics,” in D. M. Gabbay and J. Woods (Eds.), “Handbook of the History of Logic, Vol. 7: Logic and the Modalities in the Twentieth Century,” pp. 289-398, Elsevier B.V., Amsterdam, 2006. 

[16] 程京德, “哲学逻辑 (2) – 模态逻辑”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年8月30日；“哲学逻辑 (2) – 模态逻辑(Modal Logic)（增补版）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，2024年5月20日。 

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