希腊哲学家芝诺提出了三条悖论，其中一条是阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯是希腊神话里最擅长跑步的神。芝诺认为阿基里斯和乌龟的距离可以无限缩小，但是永远追不上乌龟。因为在竞赛中，追击者必须先到达被追者的出发点，才算追上。所以，当阿基里斯到达乌龟出发的那一点时，乌龟便又往前移动了，他就必须得继续追上乌龟，这就成了一个循环。

       比如，开始时，乌龟先爬了10米，阿基里斯开始追，当追到10米的时候，乌龟已向前爬了一段距离，新的出发点便再次产生了，阿基里斯便要继续追赶。所以，只要乌龟不停，新的出发点便会一个接着一个地产生，阿基里斯就得无限地追下去。

     当然，芝诺推论出现问题。阿基里斯无限地追下去，但所有的时间点之和是有限数。可采用无穷数列求和的方法，算出阿基里斯追上乌龟的时间。

     假设t₁代表阿基里斯跑到乌龟第一个开始点所花的时间；那么在t₁时间里，乌龟到达第二个开始点，两者距离为t₁*V_g，V_g为乌龟的速度；

      阿基里斯跑到乌龟第二个开始点所花的时间为t₁*V_g/V_r，V_r为阿基里斯的速度；那么在t₁*V_g/V_r时间里，乌龟到达第三个开始点，两者距离为t₁*V_g/V_r*V_g；

    阿基里斯跑到乌龟第三个开始点所花的时间为t₁*V_g/V_r*V_g/V_r；

     持续下去，

      阿基里斯追上乌龟的时间为t₁（1+V_g/V_r+V_g/V_r*V_g/V_r……）。

      当假如V_g小于V_r，阿基里斯肯定能追上乌龟的。采用无穷数列求和，获得最终追上乌龟的时间。无穷数列求和，得到公式t₁/（1-V_g/V_r）。

      不妨对这个公式进行一些更深的分析。假如乌龟是一只机器人乌龟，比阿基里斯跑得还快。本来计划是阿基里斯追上乌龟，由于乌龟速度更快，结果是两者之间的距离越来越远。

        假如V_g大于V_r，数列就变成了发散数列，按数学定义是没有意义的。如果按照求和公式计算，假如V_g大于V_r，分母就会变成负数，自然t会变成了负数。当t变成负数，好像没有什么意义，但可以重新定义。当t为负数，代表了在前面t时刻，阿基里斯和乌龟碰面了。

       通过重新定义公式的含义，仍然有意义。原来的公式定义为：阿基里斯追上乌龟的时间。现在定义为：阿基里斯和乌龟碰面的时间。并以某个时间开始点为“0”，作为计量的初始点。如果时间为“正”，就按通常的做法。假如时间为“负”，就代表阿基里斯和乌龟已提前碰面。

       对发散无穷数列的研究总能让我们得到一些有趣的见解，正如欧拉计算1+2+3+……。对无穷发散级数，进行重新定义总可以得到好的结果。

       数列发散代表着原有的假设可能不正确。假如乌龟比阿基里斯跑得快，阿基里斯肯定追不上乌龟。如果我们计算追上乌龟的时间，自然超出了原有定义之外。通过延拓定义或者改变公式形式，结果为负值，代表着乌龟与阿基里斯早早就已碰面，用负值给出了碰面时间。

      以上说明了一些问题，很多的数学公式也有自己的局限性。 本文给出了一个实实在在的解释和应用。