在博文精选中有一篇“数学史课为什么那么难上？”，就想着把自己对数学的理解做个记录，免得忘了。因为本人非数学专业，记录的也是浅显东西。高手略过。

   公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得写了《几何原本》。此书后来流传到世界各地，甚至在明末流传到中国。大家普遍认为《几何原本》很重要，它开创了一种数学书的写法。《几何原本》先定义了点、线、面，然后提出公理。点、线、面是几何中必备的元素。而公理则定义了元素之间的关系。《几何原本》的内容与现实世界完全独立，另创了一个世界，第一个采用“公理化的方法”的书籍。

   《几何原本》的处理方法代表着数学的独立。数学不再与社会中的其他方面纠缠在一起，独立发展。数学家做研究，不再以应用为前提，也不用考虑实用性问题。《几何原本》的处理方法与象棋、围棋类似。棋类游戏包括：棋子和走子规则。人类语言也同样类似，有名词，有动词。如果去掉“与时间有关的词汇，人类情感方面的词汇”，就剩下名词和动词了。名词是元素，而动词则是关系。

   《几何原本》最大价值在于形式的“开创性”，即写作形式。其实形式与思想是联系在一起的。在形式上，把几何从现实世界中分离出来。在思想上，也代表着几何与现实世界的分离，代表着几何独立发展，不再受制于现实世界。

   《几何原本》开创出新形式。形式和内容是一对哲学范畴。一般来说，内容更重要，形式容易被忽略。然而，形式却约束着内容。举两个例子，简单说明形式的价值。

   宋朝人的“词”很有名，“词牌”是与曲子相配合的。一般人喜欢大词人，可很少关注“词牌”的创作者。在学校学习“宋词”，老师一般不会把曲子放出来配合，这就导致大家不喜欢宋词，觉得约束太多。

   在《圣经·旧约》的故事中，人们建造巴别塔。人类联合起来希望能建设通往天堂的高塔。为了阻止人类的计划，上帝让人类说不同的语言，使人类相互之间不能沟通，计划因此失败，人类自此各散东西。语言是形式，形式出了问题，事情同样不成。

   我等普通人学习数学往往是痛苦万分，味如嚼蜡。面对着数学证明题，我也是一点点往下捋，绞尽脑汁，没有一丝乐趣。假如我们把思路放开一些，把数学与游戏、语言练习在一起，就能很好拓广思维，也能增加乐趣。数学要一点点分析别人的证明过程，学习人家的技巧。如果把数学推广一下，自然感觉到数学就是一个游戏，如同象棋、围棋之类的游戏。按学习游戏的方法，分析别人出题思维，分析解题思路，把数学当成一个游戏，用来玩。

   数学解题与郭德纲的相声也能联系上。我们会发现“笑点”就在一些巧合上。巧合成为笑点，那么数学题中巧合就成为解题的关键点。阴差阳错，巧合在一起，本来处理不了的问题能处理了。比如说到派出所收保护费。

   数学解题能成为一门技术。我们学了很多的解题技巧，如同厨房的各种刀，碰到什么骨头就用什么刀。在解题过程中，也是碰到什么问题用什么刀。可最终还是只能成为技工。当然，造刀的人是很厉害的，一般会成为大数学家了。

   因为大学只是学了点微积分、集合论，后来自己看书，也都看得很浅显，只能谈这个了。微积分、集合论也是一套规则，也是游戏。因为此时已经很难找到现实中的例子。 比如可以用一根绳子表示线段，可以表示一维的闭集，闭区间。怎么用绳子表示开集？无法想象。如果要用绳子表示一个开区间，就必须加上一句话：去掉边上的点。

   微积分当中最重要的定义是无穷小。无穷小是一个非常特别的存在。几百年来，数学家们对“无穷小”做了很多的思考。虽然有很多成果，但很多人并不满意，为什么不满意？可能这涉及到思维模式的转变：操作思维和存在思维。

   古希腊有三道不可解题目，其中一道是：尺规做图实现角三等分。能不能实现角三等分？能实现，在网上搜索能找到好几种方法。但是按照尺规做图的规则，无法实现。完全按照尺规规则，解决不了角三等分问题。

  “无穷小”不是包打天下的，而是有自己的使用范围。因此，在涉及到极限运算的时候，首先要分析前提条件。如果我们看无穷小的定义，有一个先后顺序。

   接着无穷小，讨论开集。网上有定义，设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集。“A中的每一个点”是什么意思？存在思维与操作思维代表着两个不同的理解。“任意一点”有一种绝对性；“任取一点”则有相对性。“任取一点”代表用“操作思维”来理解，即“以现有的数学手段，用数学公式写出来的“点””。“任取”的限定条件是“取”，受限于手段，有些能“取”，有些则“取”不到。用“存在思维”来理解任意点，则很麻烦。开集难以理解。有的时候，“任取”也写成“任给”，意思一个样子。

  操作思维存在“先后”动作。在开集定义中，必须先确定一个点，然后再找以该点为中心的邻域。有了“先后”，只能用操作思维来理解。当然，数学中一般不含有时间的，所以“操作思维”自然就带来了一些混乱。

   实分析和泛函分析只是有简单的记忆。因为思考不多，没有特别的想法，本文就此结束。