7.3  阿列夫2维度的偏线性相关性

  智慧有个要点，在于识别系统特征属性的结构和联系，从而判断事物间内在相关性。

  而所谓相关的“关系”，大概国人都耳熟能详。拉关系、搞帮派、扩人脉、充势力，人际关系网在我们生存之地是如此重要。有人甚至说，在我泱泱华夏，一个人人际关系网有多大，他的成功就会有多大。

  其实科学界对“关系”亦为重视，尤其是如何量化关系。

  量化事物间的相互关联度，有很多种方法，其中最直接最显而易见的是“线性相关性”

  如果一组数据点，能够排列到一条直线上，那么我们就说这些点关于x和y是线性相关的，如下图：

  一维线性相关性很容易辨别，比如一个苹果5元、两个苹果10元......十个苹果需要50元，幼儿园的小朋友也明白。

  数学表达为：Y＝aX

  其中Y为价格、X为苹果个数、a为每个苹果的单价

  二维偏线性相关性稍微复杂些，比如你买了一篮子水果，包含苹果和梨子，其中一个苹果5元、一个梨子6元。那么这一篮子水果的价格就具有二维偏线性相关性

  Y＝a1X1＋a2X2

  其中Y为价格、X1为苹果个数、a1为每个苹果的单价、X2为梨子个数、a2为每个梨子的单价

  n维偏线性相关性类似，比如你买了一篮子水果，包含苹果、梨子、桃子、西瓜、荔枝......橘子等等，其中一个苹果5元、一个梨子6元、一个桃子3元......一个橘子9元等等。那么这一篮子水果的价格就具有n维偏线性相关性

  Y＝a1X1＋a2X2＋a3X3＋......+anXn

  其中Y为价格、X1为苹果个数、a1为每个苹果的单价、X2为梨子个数、a2为每个梨子的单价、X3为桃子个数、a3为每个桃子的单价........Xn为橘子个数、an为每个橘子的单价

  当然，n维偏线性可以西格玛连加扩充到无穷维【这是阿列夫0维度的偏线性相关性】

  还有一种相关性，做投资的人会经常用到。比如你买了一种股票，每年的收益率是171.8%（取这个值主要为了方便计算），你是个长期价值投资者所获红利不取而是再投资，这样利滚利，那么你的复利收益率曲线将会如下图：

  这实际也是一维线性相关性，如果我们做个变量变形，把Y轴以lnY代替，那么它的图形会成为大家更熟悉的样子：

  这是最简单的函数相关性。

  更深一步看，任意光滑（即可微分）曲线（函数），可以表达为∫f(x)dx

  记得有个老师说过，如果遇到超级难题，没有解题方向时，则不管三七二十一先微积分看看，说不定原本无关的函数，一经过微积分就线性相关了。

  这实际上可以看作一个个无限小的直线段（微分dx）的线性组合【这是阿列夫1维度的偏线性相关性】

  用狄拉克符合可能更直观些，投影分解图像如下：

  这是连续无穷维的向量空间。

   还有一种更为复杂的线性相关性，即“张量”。

   比如你买了一篮子水果，包含苹果、梨子、桃子、西瓜、荔枝......

   其中，苹果分为红苹果、绿苹果、半红半绿苹果......

   其中，红苹果又包含大苹果、小苹果......

   其中，大苹果中有些是新鲜苹果、有些是不新鲜苹果......

   其中，新鲜苹果又分为南方苹果、北方苹果、美国苹果、泰国苹果......

   其中，南方苹果又有甜苹果、酸苹果......

   这样的属性细分，是可以无限细分的

   ..............

   其中，梨子分为红梨子、绿梨子、半红半绿梨子......

   其中，红梨子又包含大梨子、小梨子......

   其中，大梨子中有些是新鲜梨子、有些是不新鲜梨子......

   其中，新鲜梨子又分为南方梨子、北方梨子、美国梨子、泰国梨子......

   其中，南方梨子又有甜梨子、酸梨子......

   这样的属性细分，是可以无限细分的

   ..............

  、、、、、、、、

   这样的种类细分，是可以无限细分的

   如果我们定义一个红色的大的新鲜的南方的甜的苹果5元......一个绿色的小的不新鲜的北方的酸的梨子2元、、、、、、。那么这一篮子水果的价格就具有“多重线性关系”

  如果我们把水果价格定义为“张量F”，水果的各个种类/属性的单价定义为“张量M”，每种种类/属性的数量定义为“张量A”。则各个子属性分量具有以下多重线性关系：

   初学张量的同学往往分不清张量空间和向量空间的区别。

   似乎，无穷维的向量空间完全可以表达高阶的张量空间。只要把张量的各个“子属性”等价映射到向量空间的“基矢量”，向量空间和张量空间不就等价了吗？

   何必脱裤子放屁多此一举，再引出个忒麻烦的张量呢？

   因为，请注意，根本区别在于：

   1、向量空间的对象只有一个特征方向（一阶特征属性），而高阶张量可以是n个特征属性复合乘积（n阶复合特征属性）；

   2、向量空间特征属性仅限于阿列夫1维度，而高阶张量空间特征属性可以是阿列夫2维度。

   比如，广义相对论中测地线方程的导出，就是利用偏微分的多重线性相关性。与微分相关性不同的是，无穷维偏微分多重线性相关性的表达式多达‘无穷大的无穷大次方’【这是阿列夫2维度的偏线性相关性】

   我们知道，以单一性质的同类定义的向量是一阶逻辑的，而具备多重线性属性的高阶张量对应于高阶逻辑。

   所以说，一阶逻辑的线性空间和代高阶逻辑的张量空间并不是一回事。高阶逻辑意义广大广阔广泛得多，后面会详述，这就是深度学习AI大放光彩的理论基础。