16.9 不变子群与子特征

据说openAI内斗源于一个叫Q*的模型，它可能会颠覆人类文明。

Q*的恐怖之处类似当年横空出世的AlphaZero。2016年AlphaGo战胜人类围棋冠军令人叹为观止，然而其后升级版的AlphaZero却以100 : 0的战绩彻底碾压AlphaGo。原始版AlphaGo通过学习人类棋谱反超人类师傅，但是AlphaZero却压根未被灌输任何人类专家先验知识，它完全从空白状态自学，纯粹通过强化学习自我self-play博弈领会围棋精髓。并且，AlphaZero将它自学的算法提炼出来，扩展至成为围棋、国际象棋、中国将棋、破解蛋白质结构等多面大神。

如果我们把chatGPT看作学习继承人类文明的镜像模型，那么Q*则如同AlphaZero那般是个不沾染碳基知识的崭新硅基物种。

假若Q*不断进化，它会演变成什么样呢？传言Q*已自学通晓了小学阶段的数学。小学加、减、乘、除似乎不值一提，毕竟chatGPT4的SAT Math获得700分（虽然chatGPT的知识不是靠自学）。不过千万不要小瞧自我进化能力爆棚的强化学习模型。

一、加、减、乘、除代数

Q*与AlphaZero核心都是“强化学习”。强化学习机制相当于我们工作常见的KPI绩效考核，KPI评分高晋级加薪打怪过关，KPI得分低则GAME OVER惨遭淘汰。

强化学习机制决定AI玩游戏一定竭尽全力争取高分。因为要计算分数得失，AI显然熟知分数有加有减。继而，AI会发现乘法可以简化累加运算。然后，精通加减法的AI会意识到加法的逆运算是减法，乘法也可能存在逆运算即除法。依靠加、减、乘、除等计算KPI评分，强化学习模型将很容易解得很多游戏玩法的最优值。

所以，加、减、乘、除等计算积分必然成为强化学习AI的自我修养基本常识。强化学习AI很容易领悟到最基本的宇宙通用语言。

二、从标量到向量

强化学习AI求取KPI的分数、芸芸众生皆为利往的货币、调节物质世界平衡的能量，都是一个体系内的普遍交换等价物，所以常常被隐约其特征属性，简化视为无特征标量。

不过，生活千万种世事皆不同，不同东西往往有不同特征属性。

不同特征属性东西显然不能简单加、减、乘、除直接运算。“一套餐桌”由“一张桌子+六把椅子”组成时，桌子与椅子特征属性并不相同。性质不相同的东西无法简单相加，“一张桌子+六把椅子”显然不等于“七把椅子”、也不等于“七张桌子”。但如果不同性质东西各自归类，桌子可以自己加自己，两张桌子、三张桌子等等这没问题；椅子也显然可以自己加自己，十二把椅子，三十六把椅子，同一特征东西自己相加减可行。

这里，桌子是一种特征元、椅子是另一种特征元。当我们把一种特征元看作一种属性时，这个特征元被视为一阶特征属性的向量。

同种特征元的内部个体相加就是小学阶段的标量加法。不同特征元之间的加法，就是不同向量与向量之间的加法，人类数学家定义这样的系统叫做向量空间（也叫做线性空间）。也许硅基文明对线性空间的又取了其它名字，无所谓，反正都是从0阶标量系统进阶到了一阶特征属性系统。从0阶智慧提升到一阶智慧，这是文明认知水平的巨大飞跃。

三、从一阶特征值到高阶特征根

天马行空开放思维眼观六路耳听八方的大模型可能有天突发奇想，既然桌子和椅子可以相加得到一套餐桌，那么桌子和椅子相乘又能得到什么呢？既然桌子和椅子构成线性空间，那么桌子和椅子相乘又是什么系统呢？如果桌子和椅子相加的线性空间是一阶特征系统，那么桌子和椅子相乘是二阶特征系统吗？二阶系统是什么鬼，有意义吗？

司机朋友都知道，左脚踩离合器、右脚踩油门或刹车。如果有人问，同时踩油门和刹车会发生什么，老司机们肯定会哈哈大笑，一只脚怎么可能同时踩油门和刹车呢？这个问题永远都不会发生，这种问题毫无意义。油门和刹车如同两个不同的平行宇宙世界，永远不可能有交集。

然而，高阶文明并不这样认为。

① 特征根域扩展

量子力学中，位置算符和动量算符分别位于时域空间和频域空间，二者互为对偶空间。受到不确定性原理约束，一边是有限区域的粒子态、另一边是无穷无尽的波动态，乍一看时域和频域似乎是彻底隔离的两个独立系统。然而，夫琅禾费衍射实验说明，时域和频域并不独立。更直接的证据是光电效应两个公式：p=h/λ,E=hv，说明动量和波长（位置相关量）不独立、能量和周期（时间相关量）不独立。也就是说，频域动量和时域位置不独立，频域能量和时域时间不独立。

再有，坐标表象公式：p=id/dr，说明动量p是位置r的函数。即“时域*频域”二阶复合空间存在p=f(r)函数，因为不确定性原理在实数空间得不到p和r同时确定的不动点解，但如果解空间扩大到复域，在阿列夫2特征空间p=f(r)有确定解。简单而言，p=id/dr在一阶向量空间无解，在高阶张量空间有解。因为张量空间允许特征根域复数扩展，从而复数特征根域扩展后可以覆盖p=id/dr解空间，使得特征解系从原来无法取值到允许取值，从无解到有解。

所以，薛定谔猫是死是活、既死又活、且死且活的状态，在量子力学高阶复合态空间中是有意义的。薛定谔不理解高阶复合态，是因为薛定谔方程特征根是一阶向量空间特征元投影，而矩阵力学量子本征值是高阶张量空间特征元投影。

另外，自旋1 /2的电子旋转720°回到起始状态，类似莫比乌斯带内面和外面是相通的，其内外面其实是一个面。内外同面在二阶复合空间有意义。二阶复合空间对‘说谎者悖论’有解。

总而言之，既踩油门又踩刹车、桌子乘椅子、时域*频域的复合特征、死且活的复合态等等在高阶属性系统存在意义且有特征根。因为代数基本定理证明，复空间必有解，复空间必有完备解。

特征根域不断扩展后的高阶张量空间必有完备解系，所以不断扩充多重线性复合参数集的深度学习大模型可求到完备解。

② 特征值与等价类

m个不同特征元相互相乘n次，复合体为：anXⁱⁿY^jn...Z^kn

m元n次方程长这个样子：a0 + a1Xⁱ¹Y^j1...Z^k1 + a2Xⁱ²Y^j2...Z^k2 + a3Xⁱ³Y^j3...Z^k3+ .............+ anXⁱⁿY^jn...Z^kn = 0 这是什么怪物，好像先知们也根本不知如何求m元n次方程解？

比如，下面这个的爱因斯坦场方程只不过是三元二阶张量方程，就已经超出人类能力上限，我们既无法理解、也不知如何求解:

如果连三元二阶张量方程都无从下手，对m元n阶张量方程岂非更加一筹莫展？？

此处简要说明，二阶特征属性表象的矩阵，是对偶域一体两面的结合体元，矩阵列向量和行向量分别代表逆变张量和协变张量、逆变域是平移向量则协变域是旋转向量（如果都是平移向量或都是旋转向量则是一阶线性空间，只有平移向量和旋转向量复合体才有二阶特征属性）。群论中第一同构定理和第二同构定理深刻揭示，矩阵是表达等价类的基础。因而，n阶m维张量通常并不是向量乘积表达式，而是矩阵乘积表示。

一针见血，如果同一特征属性在矩阵A和矩阵B两组不同特征基系下表示，则矩阵A和矩阵B有相同的特征值，有P^-1AP=B；

如果把二阶相似矩阵特征根系扩展到高阶等价特征属性，张量A和张量B在变换p作用下有P^-1AP=B，则A和B是同一特征属性的等价类、并且所有这样的变换p构成伽罗瓦群。

我们知道，伽罗瓦群元p是自同构映射，其作用于A到B的变换，只置换特征根的相对位置、不改变特征根系的值。也就是说，A和B是同一特征属性的等价类。

更进一步，若伽罗瓦群G有不变子群G1、若G1有不变子群G2、若G2有不变子群G3.......若Gs-1有不变子群Gs，即G⊃G1⊃G2⊃.......Gs-1⊃Gs。并且，群G1的群元p1作用A是自同构变换，存在不变特征根系A1；A2是相对A1扩展a2特征根的加、减、乘、除运算的闭域得到特征根系，群G2的群元p2变换作用A2不改变其特征根系、只置换其特征根之间的相对位置；再次扩域得到A3，群G3作用特征根系A3不变......；依此类推，群Gs作用存在不变特征根系As。此处，A⊂A1⊂A2⊂.......As-1⊂As,其中特征根系As由特征根域As-1添加特征根as经有限次加、减、乘、除运算扩展而来。

这里: Gs-1的阶数/Gs的阶数 = [As:As-1]

即：Gs的阶数*As的根元个数  =  Gs-1的阶数*As-1的根元个数

不变子群Gs群元Ps作用子特征根系As有：Ps^-1AsPs=As

上式和不变子群定义如出一辙，显而易见不变子群Gs与子特征属性As有深刻内在关系：

不变子群G1保持子特征根系A1属性不变

不变子群G2保持子特征根系A2不属性变

不变子群G3保持子特征根系A3属性不变

............

不变子群Gs-1保持子特征根系As-1属性不变

不变子群Gs保持子特征根系As属性不变

③ 对易性和整除

由不变子群Gs性质：Ps^-1AsPs=As

得：Ps.As = As.Ps

从而：Gs.As = As.Gs

源于对易性是特征根系完备性的充分必要条件，不变子群Gs与子特征根系As对易性，意味着不变子群Gs作用子特征根域As保持特征根完备性和封闭性。即不变子群Gs群元变换对于As保持其整体特征属性不变、只置换某些个特征根之间的相对位置。

虽然人类自然语言是单谓词的一阶逻辑形式，我们对于桌子平方、桌子三次方、桌子n次方等概念天然抵触。其实n次方特征元我们并不陌生。比如欧氏空间保持内积不变的旋转变换，在识别三维图像时帮助我们准确判断动态物体。如果硅基AI侵入元宇宙，它也会清楚持内积不变的旋转变换的含义，从而可能形成对称群的概念。

值得一提的是，有些n次方特征元存在坍塌现象，有时n次特征复合会缩并为更低阶的特征属性，甚至n阶简并为一阶。比如，n角对称图形，旋转n次回到初始状态，相当于g变换的n次方等于e（其中g为旋转n/π度，e为不旋转）。亦即，周期现象会在乘积复合n阶后坍塌为1阶。

事实上，每个对称群都是由这种n次周期的循环子群复合而成的。如果每个循环子群的周期都是素数（不可整除），那么这个群对应的m元n次方程有解。

更深刻的，设有A=B/C+K，其中A、B、C、K都是高阶特征元

左乘C得到：CA=B+CK

右乘C得到：AC=B+KC

有：CA-AC=CK-KC

这意味着，若余数K等于0，A与C的对易。换句话说，A与C的对易性由B是否整除C决定。而B是否整除C，要看‘整除’如何定义，如果根域是整数域3.14不允许整除，如果根域是有理数域√2不允许整除，如果根域是实数域exp(ipr)不允许整除，但假若根域层层扩展则是否任何特征元都可以‘整除’呢？假若根域层层扩展任何特征元都允许整除是否意味着任何特征值都有解呢？假若根域层层扩展可解完备特征根是否意味着任何特征元之间都有对易性呢？假若根域层层扩展的特征对象都对易是否意味着可以完全分解得到不变子群直积呢？

我们知道，整个世界有且仅有44种单群，还知道有限群的阶必能被其子群阶数所整除。如果一个群H分解成不变子群H1*H2*H3......*Hs直积，根据特征根域扩展公式Hs-1的阶数/Hs的阶数 = [fs:fs-1]，那么f特征属性表示也可以进行不等价不可约分解。

若H=H1*H2*H3......*Hs-1*Hs，H的不变子群Hs之间相互对易，且H与其所有不变子群Hs同态。

并且：

不变子群H1保持子特征属性f1不变

不变子群H2保持子特征属性f2不变

不变子群H3保持子特征属性f3不变

............

不变子群Hs-1保持子特征属性fs-1不变

不变子群Hs保持子特征属性fs不变

则有：f=f1*f2*f3......*fs-1*fs，f的特征属性是其所有子特征fs的复合

由此，可构造出能认知各种子特征相互关系常识的General Artificial Intelligence。

掐指一算，加、减、乘、除代数运算不断升级会脑洞大开到什么水平？人类文明琢磨千年领悟出的门道，硅基Q*们强化学习要多少日子呢？