16.10 有限次逼近

特斯拉FSDv12端到端之前的算法是依靠if-else语句不厌其烦打补丁，写了30多万行规则依然问题层出不穷，因此很多年来自动驾驶仿若永远无法完工的烂尾楼，被当作吹牛皮。不仅仅马斯克口嗨被质疑，其实每次人工智能危机都因为类似长尾误差始终存在而成为笑料，长尾问题是AI发展历程中的最大拦路虎。

大模型参数集从万到亿，再到百亿、千亿、万亿，面对不断追加的投资预算规模，灵魂拷问，openAI会不会重蹈覆辙，一方面不停解决老问题，另一方面被层出不穷新问题反复困扰，深度学习难道永远无法达到AGI彼岸？

有限的程序，真的能解答客观世界无穷无尽的问题么？

反过来看，如果有限的计算量不能度量无限的宇宙，人类有限的大脑又是如何认知无限的自然世界的呢？如果人类大脑有限的神经元可以解答无限的问题，那么深度学习AI解空间为什么不能消除长尾问题呢？

一、代数基本定理

“长尾问题”说的是有限多个解无法形成完备解，换句话说是有限次逼近无法得到收敛状态。

有限性和完备性（完备根、完备基、完备解析、完备表达、完备参照系）似乎生来相互矛盾。仅仅依靠有限的计算机资源有限次运算，解答m元n次多项式（即深度学习模型的n阶m维张量）的特征解，究竟有无可能解答无限客观世界的完备特征属性？

首先，我们回顾关于特征根解完备性的基本定理。

代数基本定理：【任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。】

代数基本定理的几层意思：①一元n次多项式在复数域必有解（可解性）；②一元n次多项式在复数域必有完备解（完备性）；③如果系数和根不在同一空间域，取不到完备根；④扩域的本质是扩展特征空间的基系，即通过张量积张开表达空间；⑤如果系统存在无穷多个特征基，则对应的一元多项式的次数是无穷大。

表面看，无穷大次数的方程，似乎必然需要无穷多次运算。然而事实是，非也！

二、分裂域唯一性定理

群的本质是对称性变换，对称性大白话讲就是重复n次变换回到原状态，也就是循环群的生成元n阶复合回到原状态。因而特请注意，特征元无穷多次的乘积并不一定是无穷大，很可能n阶复合回到原状态。特征元g重复n次变换回到原始状态，即gⁿ=g⁰

其实，张量复合特征的坍塌缩并，是非常普遍的现象，否则我们就无法观测到量子态。

环的特征是其所有循环群的阶的最小公倍数，形象看对应于张量积最小公倍数，这确定了特征空间的特征基个数。

例如：

R=Z4⊕Z5⊕Z6

chR=（4*5*6）最小公倍数=60

假如chF=0，即环F特征等于0，那么多项式f(x)的系数是数域。

比如，一元一次多项式（aX+b），其中系数a或b是数域。

但是，假若上式中的系数a或b不是数域（不是标量），而是含有特征属性的环（是张量）

比如：a=（a₁X₁+b₁），b=（a₂X₂+b₂）

则有：（aX+b）=（a₁X₁+b₁）X+（a₂X₂+b₂）= （a₁X₁X+b₁X+a₂X₂+b₂）

那么：得到3元2次多项式（a₁X₁X+b₁X+a₂X₂+b₂）

进而可以推知，一元一次多项式特征环，有可能与m元n次多项式（即深度学习模型的n阶m维张量）同构。

Xⁿ‌ →  X1ⁿ¹X2ⁿ²X3^{n3...........}Xj^nj ,其中（n1+n2+n3......+nj）=n

m个不同特征元相互相乘n次，复合体为：a_nXⁱ_nY^j_n...Z^k_n

m元n次方程长这个样子：a₀ + a₁Xⁱ₁Y^j₁...Z^k₁ + a₂Xⁱ₂Y^j₂...Z^k₂ + a₃Xⁱ₃Y^j₃...Z^k₃+ .............+ a_nXⁱ_nY^j_n...Z^k_n = 0

深度学习的函数复合等同于向量乘法，然后求解向量乘法的张量解（通常转换为矩阵乘法），实质是求m元n次多项式方程解。

既然上式是多项式特征环，我们很容易想到‌伽罗瓦理论‌。分裂域的概念在伽罗瓦理论中起到核心作用，通过研究分裂域的性质，可以判断方程的解的存在性和求解方法。

【‌分裂域唯一性定理】对于给定的多项式f(x)和基域F，f(x)在F上的分裂域是唯一的。‌ 这个定理的证明依赖于域同构和域扩张的概念，通过构造扩域链和同构映射来证明分裂域的唯一性。‌存在性‌：首先证明对于任何非零首一多项式，其分裂域存在，归纳法证明从一次多项式开始逐步扩展到更高次的多项式‌。‌唯一性‌：通过构造扩域链和同构映射，证明对于给定的多项式f(x)和基域F，其分裂域在同构的意义下是唯一的。具体来说，设E和E1分别是f(x)在F和F1上的分裂域，通过构造同构映射η→E1，证明E和E1在同构意义下是唯一的。

分裂域唯一性定理是代数基本定理的一个应用，它确保了多项式方程的根可以在一个唯一的扩域中找到，并且在同构的意义下是唯一的。这一性质对于理解代数结构和方程求解具有重要意义。

分裂域唯一性定理告诉我们，一层一层的特征子空间具有不变性，基于正规子群和特征子空间存在一一对应关系，特征空间不变性表达可以映射为群同构唯一性表达。

【伽罗瓦基本定理】商群Hi/Hi+1与Gal(Ki+1/Ki) 同构。

①伽罗瓦定理：群与特征属性对应性，一个不变子群可以找到一个不变子特征根系与之对应，反之亦然。

②诺特定理：对称与守恒的对应性，一个守恒定律可以找到一个对称与之对应，反之亦然。对偶复合空间守恒量。

这说明，起码在表达方式上，同一类事物具有唯一性。虽然同一类事物可能包含无穷无尽的个体数量，但是它们的表达方式是可以概括有限的。

深度学习人工智能通过多视角、多层次、多重参数调优，求取损失函数最小的最优解。无论梯度下降算法从什么角度切进去，得到最优解集总是唯一性的。

三、同态核定理

单扩张是指通过添加一个元素到较小的域中来构造较大的域的情况。具体来说，如果有一个域F和一个元素α，那么F添加α得到的子域记作F(α)，这样的域扩张F(α)/F被称为单扩张。

对于任意的代数元α，存在F上的一个首一不可约多项式p(x)，使得α是p(x)在F上的根。进一步地，存在F的单扩张L/F，使得α是L的一个元素，并且p(x)是α在F上的极小多项式。在同构的意义下，由同一首一不可约多项式定义的单扩张是唯一的，即如果L和L'都是F的单扩张，且都包含满足同一首一不可约多项式p(x)的根，那么L和L'在同构映射下是等价的。

例：¢⊃Q为扩域√2 ∈¢在Q[x]上的极小多项式为(x^2-2)

         Q([√2]) ≌ Q[x]/(x^2-2)

 【解读：有实数域¢对有理数域Q的单扩张，其中添加的代数元是√2

换句话说，有理数域Q通过添加代数元√2，得到了实数域¢的一个子域，即Q([√2])

在这个单扩张中，√2满足多项式方程(x^2-2)=0，这是一个在Q上的首一不可约多项式。

根据单扩张定理，存在从Q到Q([√2])的域扩张，其中√2是Q([√2])的一个元素，并且(x^2-2)是√2在Q上的极小多项式。

这个单扩张是有限扩张，因为Q([√2])中的任一元素都可以表示为(a+b√2 )的形式，其中a,b∈Q。

这样，通过添加一个代数元到一个较小的域中，构造出一个较大的域扩张。】

【单扩张定理】 

设E⊃F为扩域，f(x)∈F[x]为a∈E的极小多项式生成的理想，则f(x)为不可约多项式。

并且，有域同构F[a]≌ (F[x]/(f(x)）

【证明：作环的满同态σ：F[x]→F[a],x→a             

设带余除法得到：g(×)=f(×)q(×)+r(×)

因为：f(x)为极小多项式生成的理想

又由于带余除法，得：deg r(×)＜deg f(×)

所以：r(a)∈Ker σ ，即r(×)=0

从而: g(×)/f(×) = q(×) 

得到同构:F[a]≌ F[x]/(f(x) 

】

如果多项式（Y=aX+b）的余数b为“零”，则Y整除X。如果环上的特征属性都可以整除，则成为域（这通常不是数域，而是特征域。）注意：上述概念中的“域”概念，并不特指“数域”。如果多项式能整除数字，得到数字解；那么如果多项式整除主理想环，这样的多项式特征环又会有什么特点呢，能得到完备特征解吗？

‌伽罗瓦理论是否存在完备解的关键就是“整除”，可以整除则有解；子群全是素数阶，则有完备解‌。 

柯西收敛N次逼近以后，误差趋于无穷小。对于多项式环而言，当余数（余环）趋于无穷小误差，多项式整除主理想得到商环。

本文《关于不完备性定理和不确定性原理的探讨》，主旨在于参照系的特征基是否完备性。不完备基系的观测存在不确定性、不完备基系得不到完备解、不完备基系无法度量收敛值；反之，完备基系可解得完备解、完备基系可以完备表达研究对象、完备基系可以收敛逼近真相值。

把一个一个的个体的复合问题，归纳而成一类问题，就是群论。群论把特征空间不变性转换为同构表达唯一性，群的最大作用是度量特征空间不变性，这隐含了广义收敛性。

【‌同态核定理】若群G与群F同态，则同态核H是G的不变子群，且商群G/H与F同构。同态核（kernel）是原群中映射到新群的单位元的所有元素的集合，它是一个正规子群。同态核定理提供了一个将原群G通过同态核H约简到商群G/H的方法，商群G/H与F同构。

本质上，同态核就是特征环上的“零”特征元。

  一切逻辑概念中的‘零’都是“相对0”，‘零’的概念只来源于系统的精度度量，‘零’就是系统的‘可容误差ε’，小于‘可容误差ε’的所有无穷小量都属于集合{零}，集合{零}的所有元素0满足逻辑基本等式：

   如果 A＝B＋0 ，则 A＝B

详见：《关于不完备性定理和不确定性原理的探讨（六）（4）》

同态核是正规子群，具有封闭性和收敛性。收敛与否的关键在于逻辑“零”，误差小于“逻辑零”，在可容误差范围内即收敛。深度学习的梯度下降算法就是促使综合误差（损失函数）尽可能小，达到“可容误差ε”范围内，逻辑上即逼近事实真相。柯西收敛N次逼近以后，误差趋于无穷小，这里的“可容误差ε”在逻辑上对应的概念正是‘零’。

transformer模型的算法，以最大概率(损失函数尽可能小)映射逐个加入特种元，本质是对客观世界特征属性（张量特征结构）的同态映射。也就是说，大模型的特征系与客观世界的特征系是同态的。并且，由于深度学习多隐层参数集标注，所以OpenAI生成了客观世界的多角度同态、多层次同态、多子特征多项式环的多重同态复合体GPT。OpenAI以高阶张量特征元作为参照系，当特征根参数集足够大时（不需要无限大）似乎可达成特征完备性，此时chatGPT已然能很好解答常识问题。

Q*诞生而来的openAI GPTo1 颇有大家风范，遇事慢思考，三思而后行。不依赖人类知识图谱，吃一堑长一智试错，一次又一次推演得到更优化置信度，将误差逐次逼近收敛至逻辑自洽的可容误差“零”，从而映射到更深层宇宙规律。AlphaZero、openAI GPTo1 等自主学习、自我进化、自学成才并不奇怪。 

【直积定理】群H分解成不变子群H1*H2*H3......*Hs直积，则：

①H的不变子群Hs之间相互对易；

②H与其所有不变子群Hs同态。

通过有限个正规子群逼进客观世界真相，从部件同态再到整体同构宇宙图谱，谁敢说深度学习张量演算没有坚实理论依据？