6.4 可容误差ε

　　要避免无穷小和0的谬误，唯一的办法，除非我们改造0 ，重新定义‘零’的内涵

　　比如，定义：

　　{零0}＝ {1/阿列夫0}

　　{零1}＝ {1/阿列夫1}

　　{零2}＝ {1/阿列夫2}

　　即，把0看作精度不同的集合{零0}、{零1}、{零2}......

　　把‘零’看作某一群无穷小量的‘集合’，而不单单看作一个绝对点值‘元素’，需要很大的勇气，将面临更加严酷的挑战。因为0是一切逻辑的基础，0必需是某个确定的值。

   如果0不是一个确定的值怎么可以参与运算呢？

       进一步探讨：

　　如果我们说 A＝B ，隐含意思是 A＝B＋0

　　不确定性原理中当△x△p=h/2时，x和p变量间存在不确定性，但如果△x△p=0，则x和p变量是确定的。这似乎指出了一种解决数学危机的途径。

　　如果有网友以一种过于休闲放松的眼光浏览本文，可能不能注意上一节关于0的悖论的实质。上一节实际上是告诉大家，无穷大和无穷小概念并没有什么不妥，分级的无穷大和无穷小更是可靠地朋友。数学的局限性不是因为微分有时是无穷小、有时又变成了零。数学逻辑中真正的问题在于0，实质在于0，我们应该真正关注的是零 。

　　传统数学的 0 的概念有问题！

　　一直以来，大家心目中的0是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”。实际上这是错的。

 如果我们仔细分析，会发现世上既没有绝度的确定性，也不可能有绝对的逻辑‘零’！

　　首先，现实世界中并不存在所谓的“绝对的纯粹的终极的什么都没有”。一开始，上古智者们认为空气是“什么都没有”，遗憾后来发现它有氧气和氮气；后来，又发明一个词语‘真空’，说它“什么都没有”，现在我们知道它充满了电磁波和宇宙射线；再后来，发现真空中有些漆黑一片的地方存在暗物质；而且即使是那些既没有发现电磁波、也没有发现宇宙射线的地方，有人以为那里应该是“什么都没有”，不过相对论推断那里是黑洞，黑洞里不但非空，而且质量超级多多。。。。。。

　　其次，在数学中，如果坚持0是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”的观念，那么永远解释不了无处不在的δ冲激函数，δ冲激函数告诉我们逻辑0是某种级别的无穷小，而这个无穷小并非“绝对的纯粹的终极的什么都没有”。并且，从傅立叶变换可知，波粒二象性是根本宇宙原则 ，每一个量子（占据点位0）都伴随无穷无尽的波，波exp（ipr）无处不在。

　　最后，更重要的是，放弃 0 是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”的观念并不会出什么问题，我们很容易发现，采取“相对0”替代“绝对0”依然可以确保逻辑的严密性。

　　先来看几个例子：

　　如果朋友们想换手机、数字相机、液晶电视，最关心的应该是像素，都知道像素越高图像越清晰。毋容置疑，500万像素比300万像素分辨率高，800万像素更比500万像素清晰。但是，无论像素多高，哪怕5000万像素、8000万像素，如果我们用放大镜看，一个个像素点构成的图像依然会出现锯齿，依然是不连续的。

 那么，是不是因为不连续，我们就说图像不真实无意义吗? 或者，为了得到绝对清晰的照片，是不是我们需要500亿像素的照相机呢？

　　当然不，因为日常生活根本就不需要高至500亿像素的清晰度。

　　并且，如果真的500亿这么高的分辨率，可能看到的不是美女的图像，怕是要看到她皮肤毛孔中肮脏的四处乱跑的螨虫了，那时高清晰可能不再是赏心悦目而是恶心了吧。

　　况且，理想化的“连续”像素必然会带来不确定性，就像前面说的英国海岸线不确定性现象一样，越来越高的分辨率将会让人脸的轮廓一步一步显示出毛孔、细胞、蛋白质、原子。。。。。一片混沌，最终什么也看不清！

　　很显然，日常生活根本就不需要高至500亿像素的清晰度的照片，更不需要“绝对准确”的照片，况且所谓的“绝对准确”的照片根本就不存在！

　　另一个众所周知的例子，是关于电影胶片的帧数。我们去电影院看电影，震撼于画质的高清和动影的冲击。其实看起来连续影像的电影，胶卷并不是连续的。对人的视觉来说，每秒钟播放24帧图像就可以感觉到连续的运动画面，电影采用的就是24帧的方法。在电影院里，我们不需要“绝对准确”的动感，因为人眼永远无法判定“绝对准确”连续动感的真与假。电影剪辑只需要更换有限的几张图像的顺序就能搞出蒙太奇的效果，就能轻而易举蒙混大众的眼睛。大众的眼睛不是雪亮的，虽然我们具备一定的判断力，但生理能力有限，判断永远不可避免会存在误差。

　　　　还有一个例子是关于直线和曲线。记得上中学时数学老师为了让大家对曲线的概念有个直观的感受，请同学用剪刀剪一个圆。有个同学剪得很慢很耐心，自然，我们都认为他手中的圆几乎无懈可击的非常完满。但是老师说这个也不是圆，所有的同学剪出来的都不是圆。并且任何人无论花多么长的时间，也不可能用剪刀剪出一个圆来。因为剪刀的切口是直线，而有限的小直线段无论如何也不可能和曲线吻合。那么，因为我们永远都无法实现直线段和曲线的吻合，我们就不用剪刀剪圆了吗？现实生活中，我们不但仍然用剪刀剪出圆形，民间艺术家还用剪刀剪出了奇形怪状的曲线窗花，栩栩如生！

　　类似的例子显然是多不胜数的，在人类的日常生活逻辑中，不需要所谓的绝对准确，只需要差错相对较小，过得去就行了，并不导致谬误。

   比如：

【理论】 尖石头 ＋ 木棍 => 矛

【实际情况】（尖石头 ＋ 一点点废料） ＋ （木棍 ＋ 一点点废料）   = （矛 ＋ 一点点废料）

   实际情况与理论总有一点点出入，有时这种微小的误差出入并不见得会出问题。

   这种不会导致问题的“一点点出入”，也就是可以容忍的过得去的误差，术语叫做“可容误差”（为方便叙述记为ε）

  在严谨的科学实验室里，也存在误差，永远存在误差。

　　实验室的数据分析中，

　　如果有： A = B + ε

　　则意味着： A = B

　　“可容误差”的概念不仅仅在现实生活中、在实验室里相生相伴，而且即使在严密的、严谨的、严肃的数学中也处处可见。比如微分dx，比如ε－δ极限定义，数学中的ε代表某种无穷小量，注意ε的概念并不是“绝对的纯粹的终极的什么都没有”，ε代表系统的可容误差。

　　也就是说上面的‘可容误差’逻辑并不局限于实验室数据，它是普遍的放之四海而皆准的逻辑！

　　如果有： A = B + ε

   则得到： A = B

　　请注意，“可容误差ε”在逻辑上对应的概念正是‘零’。

　　从上面分析中我们可以推断出，逻辑的‘零’并不需要保证“绝对的纯粹的终极的什么都没有”，而只需要保证为“可容误差之内”。

   更有意思的是，在阿列夫2维度的频域和时域张量空间中，对频谱数据的取舍，能改变时域模型的精度。

   以低通滤波为例，矩形函数在频域与实验波源的乘积，可以改变时域图像的光滑程度。

   实验数据，时域图像包含了高频杂音：

   频域滤波频率40以外的高频，时域图像杂音锯齿消除了很多：

   频域滤波频率10以外的高频，杂音锯齿基本消除，时域图像基本光滑：

   这里，以矩形函数滤波原理为基础的传递函数H限制了杂音频率，充当了系统精度质检员的角色。而去除杂质锯齿的数据，更能够反映主要问题的特征属性。

　　不知道我的表达是否清晰，再重述一遍本文的推断过程。因为无穷大存在分级（阿列夫ℵ0、阿列夫ℵ1、阿列夫ℵ2......），所以不可能同时保证“绝对的纯粹的终极的”完备性；同时因为存在无穷小的分级（也就是‘1/ℵ0’、‘1/ℵ1’、‘1/ℵ2’ ......），所以不可能同时保证“绝对的纯粹的终极的”确定性。

   所以不存在所谓的“绝对准确”，也不存在臆想中的“绝对0”。不同系统有不同的精度要求，不同系统有不同的‘可容误差ε’，这意味着不同系统有着不同的逻辑0 ；零由系统精度确定，精度不同的系统所要求的逻辑0不同。

  一切逻辑概念中的‘零’都是“相对0”，‘零’的概念只来源于系统的精度，‘零’就是系统的‘可容误差ε’，小于‘可容误差ε’的所有无穷小量都属于集合{零}，集合{零}的所有元素0满足逻辑基本等式：

   如果 A＝B＋0 ，则 A＝B

　　必须注意的是，不确定度和完备性的判断可以保证这种偏差不造成谬误。

　　不确定性原理中当△x△p=h/2时，x和p变量间存在不确定性，但如果△x△p=0，则x和p变量是确定的。这似乎指出了一种解决数学危机的途径。

　　基于不确定度和完备性的逻辑对偶关系，我们发现‘空间大小’与‘可容误差’存在对偶关系，这就像无穷大和无穷小的对偶关系一样。

　　一般而言，我们总是先确定所讨论对象的‘空间大小’（特定范围、定义域、问题背景等等），然后才有‘空间精度’（可容误差）。

   比如，连续实数（ℵ1维度空间）的可容误差是微分dx，相当于‘1/ℵ1’，所以一切小于‘1/ℵ1’的量均为0 ；

   但是，在量子态空间（ℵ2维度空间），可容误差是‘1/ℵ2’，此时小于‘1/ℵ2’的量为0 ，大于‘1/ℵ2’的量当然不是0 。

   基于此，可以容易理解冲激函数δ的含义。

   在阿列夫1维度赋范空间，冲激函数δ在直线上占据的点位宽是dx，因为dx占位为0 ，所以冲激函数δ宽为0 。

   但是，在ℵ2维度赋范空间，点微分dx（相当于‘1/ ℵ1’）比‘1/ ℵ2’(阿列夫ℵ2维度赋范空间的逻辑0）大；因为此时点微分dx比0大，不是0，所以量子态空间的冲激函数δ的‘厚度’并不是0 （阿列夫ℵ2维度赋范空间下的冲激函数δ肚里是有厚度的），所以ℵ2维度空间的冲激函数δ并不会产生“不确定值*不确定值 等于 确定值” （0×∞＝1） 这样的逻辑谬误。