一、不完备性定理简述

1931年哥德尔发表论文《论数学原理和有关系统的形式不可判定命题》，即著名的哥德尔不完备性定理，其核心脉络大致可以分为这样三个步骤：

（步骤一：数字化同构）不完备性定理证明方法,关键是把自然语言数字化，即把自然语言映射为数字。因为自然语言可以转换为形式逻辑、形式逻辑可以演算成命题范式、而命题范式可以展开成为标准的逻辑门、并且逻辑门可视作一种二进制代码。然后二进制数再转换成小数。也就是说‘自然语言系统’通过转换为命题逻辑门，恰巧可以对应于一个‘算术公理系统’的小数（有理数）。

哥德尔通过一种十分新颖的同构映射形式，把‘自然语言系统’和‘算术公理系统’联系到了一起。然后，对于原本并不严谨的自然语言的语义的证明，也就变成了惯常熟知的相对简单的严格算术证明。哥德尔天才的洞察力，发现了‘自然语言系统’和‘算术公理系统’的映射同构关系，这是解决自然语言系统语义歧义的关键。

（步骤二：代数数与超越数的区别）历史上，有一些悖论，比如理发师悖论提出后，数学家们发现可以通过对集合论进行改造、通过对集合补充定义来排除悖论。当一个形式逻辑体系出现上述悖论时，就用一个更大的逻辑体系去包络它，让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又可能产生新的矛盾。但这也没关系，只要类似地一层一层地包下去，逻辑系统空间从n维扩充为n+1维，以致于无穷维。依此类推，似乎所有的问题命题总能通过递归嵌套，从而针对性化解。希尔伯特、罗素等数学家都坚信，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能依靠不断扩张的n+1维公理的逻辑系统将其整合到数学的大厦中。简单来看，把一个有歧义的命题分而析之各个击破，相当于细化切分问题。类似于“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”我们知道，以这种一刀一刀砍出来小段，其实就是一个分数（有理数）的数列。哥德尔把这种可以通过层层外延扩张的n+1维公理系统称为递归集。

但是，哥德尔发现，还存在另外一些逻辑悖论，比如说谎者诡论，相当于“非递归集”，并不能通过递归集得到完整表达。这类似于“超越数”，它超出了整个代数系统解答能力，超越数对代数系统而言，是不可判定命题。

（步骤三：阿列夫0维线性空间对阿列夫1维度特征系统的不完备）超越数是无理数的主力军，也是稠密实数的主要组成部分。康托尔证明了‘不可列’超越数比‘可列’有理数要多得多。可列集合的势为阿列夫0，不可列集合的势为阿列夫1 。类似于阿列夫1之多的超越数对于阿列夫0维度的代数系统的不可判定，哥德尔印证了不可列的“非递归集”对于可列的的形式逻辑系统是不可判定的。

可见，不完备性定理的本质，是阿列夫0特征维度参照系对于阿列夫1特征维度系统不完备。

二、不确定性原理

希尔伯特提出连续谱分析理念，将微积分看作连续无穷维线性参照系，构建了著名的希尔伯特空间，满足柯西序列内部收敛性，普遍观点认为这意味着数学上的完备性。

那么，如果线性空间维度由阿列夫0维扩充到阿列夫1维参照系，真的能确保完备性吗？

著名的‘波爱之争’中，波尔坚信构建于Hilbert谱分析的矩阵力学是完备的。因为Hilbert空间是连续无穷维线性空间，通常认为这意味着完备函数系。

但爱因斯坦却坚持认为量子力学是不完备的。依直觉而言这似乎是显然的，因为参照系的不完备将导致数据记录的不完备，因而出现不确定性。参照系维度不完备往往是不确定性概率现象产生的根源，如果参照系维度完备，则分析对象必然呈现确定性。这就像六个面的骰子，如果我们在骰子的每一个面都有一台摄像机记录，那么对骰子的记录是全面完整确定的；只有当骰子投掷只显示一个面情况时，记录是概率性不确定的。

以“不确定性”为基本原理的量子力学到底是不是完备的理论体系，在波爱之争之后也一直未有定论。本文尝试对这一问题作进一步探讨。

   第一，我们知道，不对易矩阵是不确定性关系的充分必要条件。

第二，为此我们先来探讨一个不确定性原理的典型代表——高斯函数。

虽然高斯函数原函数与其傅里叶变换函数存在一组共同本征函数exp(ikx)，但是因为二者存在不确定性关系，所以高斯包的共同exp(ikx)本征函数系是不完备的。

这个结论是非常令人费解的，因为傅立叶分析同构于连续无穷维矩阵，这是一个阿列夫1阶无穷大维度的线性空间。难道满足柯西序列内部收敛性的阿列夫1维度的希尔伯特空间参照系仍然不完备吗？

这里我们再回头进一步审视高斯函数。高斯函数是傅立叶变换的特征函数，所以高斯函数可以通过傅立叶谱分析，即以exp(ipx) 为特征基底来表征高斯函数：

傅立叶变换是把exp(ikx)作为特征基，而把原函数ψ(x)看作其傅立叶变换函数φ(k)的投影值，这意味着exp(ipx)是φ(k)的本证态。 同理，exp(ipx)也是ψ(x)的本证态。也就是说，在微分形式下，平方指数（非线性）形式的高斯函数可以转化为以exp(ipx)为基的线性结构。

而且因为exp(ipx) 是任意线性时不变系统的共同本证函数系，所以矩阵力学下的所有量子特征属性应该都可以通过exp(ipx) 本证态来表达。如果我们以exp(ipx)作为连续无穷维矩阵的元素，正如时域和频域之间的傅立叶变换矩阵那样，那么这种矩阵是不是可以完整表达所有的量子态呢？若如此，哥本哈根矩阵力学又为什么会出现“不确定性”呢？

问题的关键是：当p或x为自变量连续取值两两不同时可以得到exp(ipx)本证函数系正交基，因为不确定性原理不满足不动点定理，因此我们推断完备的exp(ipx)空间特征维度为阿列夫2阶无穷大，也就是说线性无关的量子态有阿列夫2阶无穷大之多。

三、以相互正交的量子本征态exp(ipr)函数为元素的集合的势为阿列夫2阶无穷大

（其中exp(ipr)是二元复指数函数,i是虚单位,p、r是实数。）

证明：【（步骤一）

          根据：

得到：

【注：一般而言正交需要度量“内积”，但“内积”空间（即Hilbert空间）下，对本问题所涉及的δ函数等广义函数的内积无定义、对exp(ipr)函数的内积也无定义。在张量理论中常常将“标积”作为基底正交的度量。】

（步骤二）

因为在坐标r表象中，动量p等于（－id/dr），即p为r的函数,记为：p＝f(r)

因为动量p确定时，p＝f(r)是一个有限值，此时坐标r取值范围是从－∞到＋∞ ，此时如果p×r空间集合全体元素与实数集满足一一映射，则p和r之间满足不动点定理。

即，如果p×r共同空间的全体元素与连续实数空间点可以一一映射，根据实数稠密性不动点定理，则存在r0，使f(r0)=r0

即有：p0=r0 ，即动量和坐标可以在某一点同时确定 (这意味着信号在空域和频域上的分布同时有限)。这与不确定性原理矛盾！

所以，p×r共同空间集合全体元素与实数集合不满足一一映射。

所以，p×r共同空间互不相等元素的集合的势不等于阿列夫1

又因为p×r共同空间的r和p可连续取值，所以 p×r共同空间互不相等元素的集合的势大于阿列夫0

所以，p×r共同空间互不相等元素的集合的势大于阿列夫1

即，互不相等r、p的元素个数大于阿列夫1

即，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2

【注：“不确定性原理”和“不动点定理”二者不可调和，这是本证明的关键：

1、不确定性原理：频域和时域不能同时压缩到一个点值：

2、不动点定理：定义域和值域存在不动点，即可以同时为压缩到一个点值。】

（步骤三）

互不相等r、p的个数等于δ(r-p)为零值的个数，根据步骤一，δ(r-p)为零值的个数等于δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函数的个数

根据步骤二，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2，所以δ(t-r)和δ(t-p)相互正交函数的个数大于等于阿列夫2

即，两两正交的δ(t-r)、δ(t-p)函数集合的势大于等于阿列夫2

即，全体δ(t-r)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2

（步骤四）

因为：

即，傅立叶正反变换均不是一对多的映射

即，傅立叶变换非退化，是非退化的线性变化

（步骤五）

因为：

即，基元函数δ(r-p)和基元函数exp(ipr)是一一映射

（步骤六）

根据步骤三和步骤五， 全体exp(ipr)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2

[证明方法2：

因为频域和时域互为对偶空间 ,所以动量表象和位置表象的维度一样。

根据：

取动量表象的一组基 exp(ir)pi [pi表示动量连续取值]

位置表象的一组基 exp(ip)rj [rj表示位置连续取值]

则有：

   又因为：p=(－id/dr），r=(id/dp)

   即：p和r互为一元函数

   所以：当且仅当 p=r 时，基exp(ir)pi 和基exp(ip)rj 标积不为0

  根据步骤二，互不相等r、p的元素个数大于等于阿列夫2

  知：标积互为0的基exp(ir)pi 或基exp(ip)rj的个数大于等于阿列夫2

  得：全体exp(ipr)函数集合空间的维度大于等于阿列夫2

]

（步骤七）

又因为：

【注：阿列夫级无穷大是对集合中元素个数的评估，如果按照某种一一映射规则把集合元素按有序集排列，当最大元素映射值不超过阿列夫2 时，则集合元素个数不超过阿列夫2 。量子态空间可以考虑把系统能量（哈密顿算子）作为排序映射规则，此时坐标表象中最大排序元素映射值不可能超过阿列夫2 】

（步骤八）

根据步骤六和步骤七，因为空间维度不大于空间元素个数。

所以， 完备的exp(ipr)函数集合空间的维度为阿列夫2

证毕。】

四、以不确定性为基本原理的量子态是阿列夫2维度的高阶张量空间

 第一,单电子夫琅禾费点孔衍射实验，在经典物理实体图像下的推断:

通常的夫琅禾费衍射是“一束”平行光（或一束电子）通过一个方形小孔，形成sinc函数的衍射图形。这个实验形象地定格了量子在频域和空域的波粒二象性的现象，和不确定性原理理论完全一致。一头是‘矩形’小孔、另一头是‘sinc函数’衍射，而‘矩形’图的傅立叶变换正好是‘sinc’函数图象。

一束电子的衍射大家都非常熟悉。但是单个电子穿过夫琅禾费实验的点孔的衍射图会是个什么样子呢？答案可能会让人很意外。我们可以大致推断单电子夫琅禾费点孔实验，最有可能出现以下三者情况：

1、假设接受屏上出现一个均匀分布的光板：因为电子是费米子，不具备波色凝聚效应，所以单电子不可能打出一个均匀分布的光板。

2、假设接受屏上是一个sinc衍射图形： 也会出现谬误，根源在于其中隐含假设电子波是‘实体波’，违背量子态‘概率波’属性。因此单电子夫琅禾费点孔实验接受屏上不可能出现一个sinc函数衍射图形。

3、假设接受屏上出现一个点光：因为夫琅禾费装置的两端对应于傅立叶变换的两对偶域，比如障碍屏和接受屏分别对应于频域和时域，相当于障碍屏和接受屏同时为“点”，这实际上符合了经典物理连续普分析的“不动点定理”，违背量子态“不确定性原理”。因而接受屏上也不会出现一个点光。

既然上面的三种情况的推演都会出现谬误，那么单电子夫琅禾费点孔实验到底会发生情况呢？显然不能适用经典机械物理的参照系。

第二,单电子夫琅禾费点孔衍射实验唯一合理的解释是“量子态空间是高阶张量”

上述的夫琅禾费衍射分析之所以进入死胡同，究其根本是因为其逻辑推演过程拘泥于粒子实体空间推断，困扰于经典物理的机械论局限思维。

如果我们仔细审视，会发现上文关于单电子夫琅禾费点孔实验的分析中，混淆了粒子实体坐标{x}和位置算符的本征值x 的概念。在量子力学中，实体坐标和算符本征值是完全不同的两个概念。上面探讨中所谓的“单电子”和“点孔”的概念都是经典物理的实体坐标的概念。但在量子力学中，量子态的意义要广泛得多，不仅仅局限于实体坐标φ(p2)，还包含了傅立叶谱分析展开后的‘概率本证态’φ(p21)、φ(p22)......φ(p2n)等等新要素。这时，原来的平面矩阵的一个元素φ(p2)扩张成了高阶张量中的一列元素φ(p21)、φ(p22)......φ(p2n)等。需要特别指出的是，这里的φ(p21)、φ(p22)......φ(p2n)既不是实体小孔的数值、也不是实体投影点的数值，它们不是任何实体的夫琅禾费实验的演示设备或图形的实体坐标值，而是单个电子“穿过”障碍孔的逻辑概率。很早物理学家们就注意到量子现象与经典物理现象有本质不同。在经典物理中，一个物体绝对不可能穿过比它自身更小的障碍孔，当障碍屏“点孔”非常小时，经典粒子将会比“点孔”大，这时经典粒子不能通过比其更小的“点孔”。但是对于量子现象则有所不同，类似贯穿势垒的量子隧穿效应，具备某能量（频率）电子将会闯过障碍“点孔”、另一些则穿不过去。这对于单个电子而言，相当于逻辑上的概率性，而这种表征不同频率（可能还包含自旋方向、角动量等等不同属性）的电子的穿透性的概率幅，表征了‘概率本证态’。相应地，经典物理实体动量φ(p2)由一个点值扩张成了一系列概率本证值φ(p21)、φ(p22)......φ(p2n)等。需要注意的是，这种概率本证态的概率幅相当于动量算符的本征值p，而不是实体动量{p}。而这正是问题的关键。【注：为方便表述，可连续取值的张量空间这里以离散值简化。】

 “单个电子通过夫琅禾费点孔的衍射图”的现象，阿列夫0形式语言逻辑解释不了，阿列夫1维度实体空间思维解释不了。只有在高阶张量模型中，才可以对单电子夫琅禾费点孔实验的“实体”的‘单电子’、‘点孔’和“非实体”的量子隧穿效应的‘概率幅’等要素一一对应完备表达、才可能把时域和频域统一参照系、才可能把量子本证态x和粒子实际坐标｛x｝的波粒二象性结为一体，才能满足不确定性原理，才能与傅立叶谱分析自洽一致。

五、连续无穷维平面矩阵的不完备性

我们发现单电子夫琅禾费点孔实验推断三种结果之所以产生狭隘解释，追根溯源是因为经典物理所依托的实体机械论的线性空间参照系的局限性。因为线性空间同构于平面矩阵，所以大家自然会想，如果我们把平面矩阵扩充到无穷维，以至连续无穷维，能不能解决类似的局限性问题呢？我们知道连续无穷维矩阵，正是哥本哈根矩阵力学的根基。不过，我们发现建立在傅立叶连续无穷维谱分析基础上的高斯包体现不确定性关系，从而推导出傅立叶连续无穷维谱分析上的特征基exp(ipr)不完备。

根据康托尔的理论，连续无穷维平面矩阵所包含的元素为ℵ 1 ^{^2}，这还是阿列夫1 ；而连续无穷维高阶张量所包含的元素为 ℵ 1^{^ℵ 1}，这已不再是阿列夫1，而是比ℵ 1 更高阶的ℵ 2阶无穷大。

也正因为此，所以连续无穷维平面矩阵在量子态空间会出现不完备性。这也是平面矩阵出现不对易现象的本质。也是不确定性原理的根源。即，阿列夫1阶特征维度参照系对于刻画阿列夫2阶特征属性对象的不完备性。

究其根本，因为全体的相互正交的exp(ikx)本征函数系的势为ℵ 2，所以完备的量子本征态exp(ikx)是一个ℵ 2特征维度的高阶张量空间，这超出了线性空间乘载范围（线性空间最多仅为连续无穷维度）。所以，高斯包在傅立叶连续无穷维谱分析参照系中的exp(ipr)共同特征基（仅有ℵ 1维度）不完备。

这就是问题的关键，因为ℵ 2阶无穷大的元素之多，已经远远超出了平面矩阵的逻辑范畴（平面矩阵的表达范围不能突破连续实数所能度量的ℵ 1维度极限）。因此，如果以平面矩阵（ℵ1维度的向量空间）对ℵ2维度特征属性的量子态进行度量，会出现不完备性。所以在单电子夫琅禾费点孔实验中，我们不得不由平面矩阵扩展到高阶张量，才可能把“实体”图形和“非实体”概率幅等要素完备表达、才可能把量子本证态p和粒子实体坐标｛x｝的波粒二象性结为一体，却又保持逻辑的严格一致性。

进一步分析，三维实体粒子坐标{x}的微积分与连续无穷维平面矩阵是等价的，所以三维实体空间中其微分基矢量dx1>、dx2>、dx3>......dxn>的完备空间维度是ℵ1 。而位置算符的本征值x可以是基于exp(ipx)本证态而言的，所以其完备空间维度是ℵ2 。因为此，平面矩阵无法完备地表达它。所以本征值x在ℵ1维度实体空间的投影会出现概率性。这和六维度骰子投掷显示一维面情况一样。高维度属性投影到低维度空间，因为其维度不完备就会出现概率性。所以位置算符的本征态是概率本征态。

六、结论

　　我们不难发现，‘不完备性’和‘不确定性’本质都是线性空间（或多重线性）的维度问题。“不完备性定理”的实质是特征维度的不完备，“不确定性原理”的实质也是特征维度的不完备。

上面的现象可以概述为：

   1、不完备性定理说明，ℵ0阶无穷大维度的特征基（ℵ0维度参照系）相对于ℵ1维度的对象系统不完备；

   2、不确定性原理说明，ℵ1阶无穷大维度的特征基（ℵ1维度参照系）相对于ℵ2维度的对象系统不完备。

七、后记

 值得一提的是，ℵ2特征维度高阶张量不仅是量子态空间的完备参照系，正如5.3节所示，同样一条“不确定性原理”数学结论在多个截然不相干的学科分支中都满足，这说明了ℵ2特征维度高阶张量在不同学科中广泛存在。我们甚至可以说，凡是符合“不确定性原理”的系统都是具有ℵ2维度特征属性的高阶张量空间。相反的，凡是满足“不动点定理”的系统一定是具有ℵ1维度特征属性的连续无穷维线性空间。  

  由于高阶张量空间的广泛性，所以当高阶张量空间结构的人工智能“深度学习”模型面世后，在很多领域获得了迅速突破。那么复杂的高阶张量系统为什么会具有很高的分析智能呢？

   至少因为以下两方面因素：

  1、高阶张量有时能融会贯通为简洁的性质。比如，以ℵ2特征维度量子态的哥本哈根矩阵力学为基础的高阶张量系统，特殊情况下会转化为连续无穷维线性空间，这对等于薛定谔波动方程，如下：

2、高阶张量是一种域扩张结构，这种结构具有多层次抽象的特点，因此可以由群论入手深入挖掘其层次化的同态特性。根据erlangen纲领，基于不同变换群结构的“深度学习”将催生分析层次性特征属性的通用人工智能。